Table Of Content˜ `
INTRODUC¸AO A TEORIA DO CAMPO
(Vers˜ao de 22 de Fevereiro de 2021)
Jorge Crispim Rom˜ao
Departamento de F´ısica
2021
Conteu´do
1 A Equa¸c˜ao Relativista para o Eletr˜ao 1
1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 A equac¸˜ao de Klein-Gordon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 A equac¸˜ao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Covariˆancia da equac¸˜ao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Transformac¸˜oes de equivalˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Demonstra¸c˜ao da covariˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Invers˜ao no espa¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Covariantes bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.5 Sistema de unidades naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Spin e a equac¸˜ao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 O operador de spin na equac¸˜ao de Dirac . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 O spin e o operador de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Solu¸c˜oes para a part´ıcula livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 O spin das solu¸c˜oes de onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.3 Projetores de energia-momento e spin . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.4 Grupos de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Antipart´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7.1 A teoria dos buracos de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.2 A interpretac¸˜ao de Feynman-Stu¨ckelberg . . . . . . . . . . . . 31
1.7.3 Operadores e os spinores das antipart´ıculas . . . . . . . . . . . 31
1.7.4 Conjuga¸c˜ao de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8 Spin e helicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.1 Helicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.2 Spinores de helicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9 Part´ıculas de spin 1/2 sem massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.9.1 Descri¸c˜ao em termos de 2-spinores: Equa¸c˜ao de Weyl . . . . . 38
1.9.2 Descri¸c˜ao em termos de 4-spinores . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9.3 Relac¸˜ao entre quiralidade e helicidade com m = 0 . . . . . . . 40
1.9.4 Relac¸˜ao entre quiralidade e helicidade com m = 0 . . . . . . . 41
6
1.10 Acoplamento eletromagn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11 Limite n˜ao relativista da equac¸˜ao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 43
iii
iv Conteu´do
1.11.1 Part´ıcula livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11.2 Equa¸c˜ao de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Complements Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Complemento 1.1 Definic¸a~o de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Complemento 1.2 Equa¸co~es de Maxwell na forma covariante . . 47
Complemento 1.3 Tensores sim´etricos e anti-sim´etricos . . . 49
Complemento 1.4 Precessa~o de Thomas . . . . . . . . . . . . . . . 49
Complemento 1.5 Propriedades do operador de Pauli-Lubanski 53
Complemento 1.6 Prescric¸a~o mı´nima e teorias de gauge . . . . 54
Complemento 1.7 Lagrangianos em teoria do campo . . . . . . . 55
Complemento 1.8 A equa¸ca~o BMT para o spin . . . . . . . . . . . 57
Problemas Cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 Propagadores e Fun¸c˜oes de Green 77
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2 O propagador n˜ao relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3 C´alculo de G (x,x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
0 ′
2.4 O propagador da teoria relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 Os elementos da matriz S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Problemas Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Regras de Feynman para QED 91
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2 Difus˜ao de Coulomb para eletr˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Teoremas sobre tra¸cos de matrizes γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4 A sec¸c˜ao eficaz de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4.1 C´alculo usando a t´ecnica dos tra¸cos . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4.2 C´alculo usando spinores de helicidade . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5 Difus˜ao de Coulomb de positr˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6 Difus˜ao eletr˜ao-mu˜ao (e +µ e +µ ) . . . . . . . . . . . . . . . 101
− − − −
→
3.6.1 Fun¸c˜ao delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.2 O espa¸co de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.6.3 O fluxo incidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.6.4 A sec¸c˜ao eficaz de difus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.7 Corre¸c˜oes de ordem superior a e µ e µ . . . . . . . . . . . . . . 110
− − − −
→
3.8 Foto˜es em linhas externas: o efeito de Compton . . . . . . . . . . . . 113
3.9 Regras de Feynman para QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.10 T´ecnicas Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.10.1 C´alculos simb´olicos com Mathematica . . . . . . . . . . . . . . 116
3.10.2 QGRAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.10.3 C´alculos num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.10.4 Calculando com CalcHep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Complements Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Conteu´do v
Complement 3.1 Transformada Fourier potencial de Coulomb . 123
Complement 3.2 Normaliza¸ca~o do fluxo do fot~ao . . . . . . . . . 123
Complement 3.3 Properties of Dirac δ . . . . . . . . . . . . . . . 124
Problemas Cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4 Wick’s Theorem and Feynman Rules for QED 131
4.1 The Schro¨dinger, Heisenberg and Interaction Pictures . . . . . . . . . 131
4.2 Brief review of second quantized free fields . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.1 Real scalar field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.2 Charged scalar field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2.3 Time ordered product and the Feynman propagator . . . . . . 138
4.2.4 Second quantization of the Dirac field . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.5 Feynman propagator for the Dirac Field . . . . . . . . . . . . 141
4.2.6 Electromagnetic field quantization . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2.7 Undefined metric formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.8 Feynman propagator for the Maxwell field . . . . . . . . . . . 145
4.3 The S-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4 Wick’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.5 Feynman Diagrams in configuration space . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6 Feynman Diagrams in momentum space . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.6.1 Normalizations and definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.6.2 Compton scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.6.3 Bhabha scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.6.4 Closed loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.6.5 Feynman Rules for QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.7 Some points we swept under the rug . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.7.1 Initial state being a free particle . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.7.2 What happens to the bubble diagrams? . . . . . . . . . . . . . 165
4.7.3 And what about interactions with derivatives? . . . . . . . . . 166
Complements Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Complement 4.1 Spin-Statistics Theorem . . . . . . . . . . . . . 167
Problems Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5 Exemplos Simples em QED 173
5.1 Efeito de Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1.1 As amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1.2 A sec¸c˜ao eficaz de Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2 Colisa˜o e e+ µ µ+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
− −
→
5.2.1 C´alculo usando tra¸cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.2.2 C´alculo usando os spinores de helicidade . . . . . . . . . . . . 180
5.3 Difus˜ao de Bhabha (e e+ e e+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
− −
→
5.3.1 C´alculo usando tra¸cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.4 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
vi Conteu´do
5.4.1 A f´ormula de Bethe-Heitler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.4.2 Limite do soft photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.5 A t´ecnica das amplitudes de helicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.5.1 Produtos spinoriais (spinor products) . . . . . . . . . . . . . . 188
5.5.2 Polarizac¸˜oes para campos de gauge sem massa . . . . . . . . . 192
5.5.3 Polarizac¸˜oes para campos de gauge com massa . . . . . . . . . 195
5.5.4 Como introduzir fermi˜oes com massa . . . . . . . . . . . . . . 196
5.5.5 Exemplo de input para o mathematica . . . . . . . . . . . . . 197
5.5.6 Efeito de Compton com amplitudes de helicidade . . . . . . . 198
5.6 Crossing Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Complements Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Complement 5.1 Soma sobre as polariza¸co~es do fot~ao . . . . . 205
Complement 5.2 Invaria^ncia de gauge do efeito de Compton . 206
Complement 5.3 Vari´aveis de Mandelstam . . . . . . . . . . . . . 207
Complement 5.4 Proof of some spinor product relations . . . 208
Complement 5.5 Depende^ncia angular das amplitudes . . . . . . 210
Software Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Problems Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6 Exemplos Simples no Modelo Standard 235
6.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.2 Largura do Z0 em fermi˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.2.1 Z0 ff usando tra¸cos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
→
6.2.2 Z0 ff com amplitudes de helicidade: fermi˜oes sem massa . 243
→
6.2.3 Z0 ff com amplitudes de helicidade: fermi˜oes com massa . 244
→
6.3 Colisa˜o e e+ µ µ+ no modelo padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . 245
− −
→
6.4 Decaimento do µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
−
Software Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Problemas Cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7 Correc¸c˜oes Radiativas 279
7.1 Renormalizac¸˜ao a 1 loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.1.1 Polarizac¸˜ao do va´cuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.1.2 Self-energy do eletr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
7.1.3 O v´ertice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.2 Contratermos e contagem de potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.3 Consequˆencias f´ısicas da renormaliza¸c˜ao a one-loop . . . . . . . . . . 304
7.3.1 Varia¸c˜ao da constante α com a escala de energia . . . . . . . . 304
7.3.2 O desvio de Lamb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.3.3 Momento magn´etico an´omalo do eletr˜ao . . . . . . . . . . . . 306
7.3.4 Correcc¸˜oes radiativas `a difus˜ao de Coulomb . . . . . . . . . . 308
Complements Chapter 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Complemento 7.1 Renormalizable Theories . . . . . . . . . . . . . 314
Conteu´do vii
Complemento 7.2 Varia¸ca~o de α 1 com a escala no SM . . . . . 316
−
Problemas Cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
A O A´tomo de Hidrog´enio Relativista 319
A.1 A transforma¸c˜ao de Foldy-Wouthuysen . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
A.2 O ´atomo de hidrog´enio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
A.2.1 O espectro n˜ao relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
A.2.2 O espectro relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
A.2.3 Compara¸c˜ao com as correc¸c˜oes ao espectro n˜ao relativista . . 327
A.2.4 Alguns coment´arios ao espectro relativista . . . . . . . . . . . 328
B Wick’s theorem 331
C Regras de Feynman para o Modelo Padr˜ao 335
C.1 Propagadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
C.2 Corrente carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
C.3 Corrente neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
C.4 Interacc¸˜oes com trˆes boso˜es de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
C.5 Interacc¸˜oes com quatro boso˜es de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
C.6 Interacc¸˜oes cu´bicas com o bosa˜o de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . 337
C.7 Interacc¸˜oes qu´articas com o bosa˜o de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . 337
D F´ormulas u´teis para regulariza¸c˜ao dimensional 339
D.1 Paraˆmetro µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
D.2 Fun¸c˜ao Γ(z) e outras f´ormulas u´teis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
D.3 Parametriza¸c˜ao de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
D.4 Integrais tensoriais em regularizac¸˜ao dimensional . . . . . . . . . . . . 343
D.5 F´ormulas expl´ıcitas para integrais a one-loop . . . . . . . . . . . . . 344
D.5.1 Integrais de Tadpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
D.5.2 Integrais de Self–Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
D.5.3 Integrais com trˆes denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . 345
D.5.4 Integrais com quatro denominadores . . . . . . . . . . . . . . 346
viii Conteu´do
Preface to the 2020 Edition
This edition corrects many small misprints. I thank Prof. Jo˜ao P. Silva for giving
me a detailed list. I did not introduce all his points, just where there was a misprint
or a better formulation was needed. If you find a misprint please send me an email.
IST, February of 2020
Jorge C. Roma˜o
[email protected]
ix
x Conteu´do
Description:Complemento 1.7 Lagrangeanos em teoria do campo . 3 Regras de Feynman para QED. 91 .. No inıcio era só Mecânica Quantica Relativista e onde uR,L s˜ao estados próprios da quiralidade, satisfazendo [40] L. P. V.B. Berestetskii, E.M. Lifshitz, Landau and Lifshitz Course of Theoretical.
