Table Of ContentIndice
1 Prima di partire per un lungo viaggio... 1
1 Alcuni quesiti di teoria - logica e insiemistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Gli insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Intervalli in li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Alcuni quesiti di teoria - max, min, sup, inf in li . . . . . . . . . . 8
3 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Piano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Alcuni quesiti di teoria - funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.1 Ancora qualche richiamo di teoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Strategia grafica per la risoluzione di equazioni e disequazioni . . . . . . 23
7 Retta, equazioni e disequazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 .1 Alcuni esercizi di base sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Parabola, equazioni e disequazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . 35
9 Polinomio di grado superiore al secondo, equazioni e disequazioni . . . . 43
10 L'iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11 Rapporto di polinomi di grado superiore al secondo, equazioni e dise-
quazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12 Il valore assoluto, equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13 Gli irrazionali, equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
13.1 Radicali .............. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
13.2 Funzione radice quadrata f(x) = -Jx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13.3 La funzione radice cubica f(x) = {lx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13.4 Equazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
13.5 Disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
14 L'esponenziali e il logaritmo: equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . 69
14.1 Equazione esponenziale ... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
14.2 Equazione logaritmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
14.3 Disequazione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.4 Disequazione logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
15 Angoli e loro misura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
16 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
IX
X Indice
16.1 Grafi.ci delle funzioni trigonometriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
16.2 Relazioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
16.3 Equazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
16.4 Disequazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
17 max, min, sup, inf in lliL. il ritorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
18 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 Sulle funzioni e sui grafici 105
1 Alcuni quesiti di teoria - funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3 Immagine e controimmagine................................ 110
4 Composizione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 Immagine e controimmagine di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 Funzioni monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Monotonia di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8 Funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9 Funzione reciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10 La danza delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.1 Diseq4azioni risolte graficamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
11 Qualche esercizio di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12 Quesiti di autovalutazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3 Sui numeri complessi 149
1 Alcuni quesiti di teoria - numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2 I radicali .................................... ·. . . . . . . . . . 152
3 Esercizi di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4 Operazioni con i numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5 Potenza e radice n-sima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6 Equazioni in C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7 Disequazioni in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8 Qualche esercizio di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4 Sui limiti e sui confronti locali 177
1 Alcuni quesiti di teoria - limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2 Definizione di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3 Continuità ............................................. · 187
4 Limiti di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5 Continuità delle funzioni definite a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6 Punti di discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7 Algebra dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8 Limiti di successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9 Limiti di funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10 Non esistenza dei limiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.1 Non esistenza dei limiti per il dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.2 Teorema. Limite di restrizioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.3 Criterio di non esistenza del limite di una funzione . . . . . . . . . 209
11 Teorema del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Indice XI
12 Infiniti, infinitesimi e simboli di Landau ...................... . 214
13 Limiti Fondamentali ..................................... . 216
14 Applicazione dei simboli di Landau ......................... . 217
14.1 Ordine di infinitesimo e parte principale ............... . 218
14.2 Ordine di infinitesimo e parte principale con parametri ..... . 223
14.3 Ordine di infinito e parte principale ................... . 225
14.4 Calcolo dei limiti con i simboli di Landau ............... . 227
14.5 Calcolo dei limiti con parametri ...................... . 231
14.6 Limiti di funzioni irrrionali ......................... . 233
15 Limiti del tipo lim [f(x)]9(x .............................. . 236
x-txo
16 f prolungabile per continuità .............................. . 237
17 Asintoti .............................................. . 242
18 Teorema di Weierstrass .................................. . 249
19 Teorema di esistenza degli zeri ............................. . 252
20 En un pis-pas .......................................... . 254
21 Quesiti di autovalutazione ................................ . 260
5 Sul calcolo differenziale 267
1 Alcuni quesiti di teoria - derivate di funzioni elementari . . . . . . . . . . . 268
2 Definizione di derivata nel punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
· 3 Le regofo di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.1 La linearità della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.2 La derivata del prodotto e del rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.3 La derivata della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
3.4 La derivata della funzione h(x) = f(x)g(x) . . . . . . . . . . . . . . . 275
4 E se le funzioni non fossero esplicite? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5 Retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa xo . . . . . . . . . . . . . 278
6 Punti di non derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7 Punti di derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.1 Derivabilità con parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9 Intervalli di monotonia, massimo e minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10 Teorema di Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
11 Teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12 Teorema di De l'Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.1 Situazioni in cui non possiamo applicare il teorema di De Hopi-
tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13 Le funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
14 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
15 Derivate successive e Sviluppo di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
15.1 Alcuni quesiti di teoria - MacLaurin e Taylor. . . . . . . . . . . . . 312
16 Sviluppo di Taylor, il calcolo diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17 Esercizi di riscaldamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
18 Algebra degli "o-piccolo" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
19 Sviluppi di Taylor e MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
20 Convessità, concavità e flessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
21 Ordine di infinitesimo e parte principale ........... ·. . . . . . . . . . . . 338
XII Indice
22 Calcolo del limite attraverso la ricerca delle parti principali . . . . . . . . 344
23 Quesiti di autovalutazione .. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6 Sullo studio di funzioni 353
1 Studio di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7 Sul calcolo integrale 367
1 Alcuni quesiti di teoria - integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
2 Integrali immediati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
3 Linearità dell'integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
4 Integrazioni per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
5 Integrali per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6 Integrazione di funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7 Integrazione di funzioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
8 Formule parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
9 Primitive in senso generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
10 Integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
10.1 Integrali definiti con valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
10.2 Applicazione. Calcolo delle aree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
11 Teorema della media integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
12 Integrali impropri: calcolo diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
13 Integrali impropri: criteri del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
13.1 Convergenza assoluta............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
14 Funzioni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
14.1 Sviluppi di Taylor e MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
14.2 Limiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
14.3 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
15 Azzecca la funzione! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
16 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
8 Sulle equazioni differenziali 433
1 Alcuni quesiti di teoria - equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
2 Equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
2.1 Equazioni differenziali a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . 436
2.2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine . . . . . . . . . . . . 439
3 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
3.1 Equazione differenziale lineare coefficienti costanti omogenea . 443
3.2 Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa 446
4 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
A Simbologia 463
Bibliografia 465
Capitolo 1
Prima di partire per un lungo viaggio ...
bisognerebbe avere un buon equipaggiamento!
Com.~ possi6ife c/ie fa matematica,
pur esserufo foruf(l1111!,ntalmente un proaotto
tfefp ensiuo umano inaipemknte tfai['espemn.za,
spieglii in 11Wao così ammirevofe {e cose reali?
Albert Einstein (1879-1955)
MAMMA,
DOVE HAI MESSO
I LOGARITMI?!
~
VICINO A0LJ ESPONENZIALJ!
...
E RICORDAT~I I RADICA.LI!!!
---,_ç- ,,
1
2 1 - Prima cli partire per un lungo viaggio ...
1 Alcuni quesiti di teoria - logica e insiemistica
1. Una proposizione P è un enunciato
(a) che pone delle domande matematiche.
(b) a cui possiamo attribuire un valore di verità.
( c) che esprime un comando.
( d) che esprime una domanda retorica.
(e) che esprime una previsione esatta.
2. La congiunzione logica di P e Q, indicata con P I\ Q,
(a) è falsa quando almeno una delle proposizioni è vera, vera quando entrambe le
proposizioni sono false.
(b) è vera quando almeno una delle proposizioni è vera, falsa quando entrambe le
proposizioni sono false.
(c) è falsa quando entrambe le proposizioni sono vere, vera quando almeno una
delle due proposizioni è falsa.
(d) è vera quando entrambe le proposizioni sono vere, falsa quando entrambe le
proposizioni sono false.
(e) è vera quando entrambe le proposizioni sono vere, falsa quando almeno una
delle due proposizioni è falsa.
3. La disgiunzione logica di P e Q, indicata con P V Q,
(a) è vera quando almeno una delle proposizioni è vera, falsa quando entrambe le
proposizioni sono false.
(b) è vera quando almeno una delle proposizioni è vera, falsa quando almeno una
delle due proposizioni è falsa.
(c) è vera quando entrambe le proposizioni sono vere, falsa quando almeno una
delle due proposizioni è falsa.
(d) è vera quando almeno una delle proposizioni è vera, falsa quando entrambe le
proposizioni sono false.
(e) è falsa quando entrambe le proposizioni sono vere, vera quando almeno una
delle due proposizioni è falsa.
4. L'implicazione logica P ⇒ Q
(a) è falsa quando l'antecedente, ossia P, è vera e il conseguente, ossia Q, è falsa,
mentre è vera negli altri casi.
(b) è vera quando l'antecedente, ossia P, è vera e il conseguente, ossia Q, è falsa,
mentre è falsa negli altri casi.
(c) è falsa quando l'antecedente, ossia Q, è vera e il conseguente, ossia P, è falsa,
mentre è vera negli altri casi.
(d) è falsa quando l'antecedente, ossia P, è falsa e il conseguente, ossia Q, è vera,
mentre è vera negli altri casi.
(e) è vera quando l'antecedente, ossia Q, è vera e il conseguente, ossia P, è falsa,
mentre è vera negli altri casi.
§1 - Alcuni quesiti di teoria - logica e insiemistica 3
5. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
(a ) La congiunzione P I\ -,p è sempre falsa.
(b) La proposizione -,p è vera quando P è falsa.
(c) La disgiunzione P V -,p è sempre vera.
*
(d) L'implicazione logica P ,-,p è falsa.
(e) La proposizione -,p è falsa quando P è vera.
*
6. Nell'implicazione logica P Q
(a) la proposizione Psi chi~a tesi.
(b) Q è la condizione sufficiente per P.
(c) P è la condizione necessaria per Q.
(d) la proposizione Q si chiama ipotesi.
(e) P è la condizione sufficiente per Q.
7. La frase "\/x: p(x)" significa:
(a) il predicato p(x) è falso per almeno un x.
(b) il predicato p(x) è vero per ogni x.
(c) il predicato p(x) è falso per ogni x.
(d) il predicato p(x) è vero per almeno un x.
(e) il predicato p(x) è vero per qualche x.
8. la frase ":lx: p(x)" significa:
(a) il predicato p(x) è falso per ogni x.
(b) il predicato p(x) è vero per ogni x.
(c) il predicato p(x) è falso per almeno un x.
(d) il predicato p(x) è vero per un unico x.
(e) il predicato p(x) è vero per almeno un x.
9. Indicare l'equivalenza corretta
(a) -, (\/x: p(x)) {::}:lx: p(x).
(b) (\/x: p(x)) {::}:lx: ,p(x).
(c) -, (\/x: ,p(x)) {::}:lx: ,p(x).
(d) , (\/x: p(x)) {::}:lx: ,p(x).
(e) -, (\/x: p(x)) {::} \/x: ,p(x).
10. Negazione di un predicato quantificato
(a) -, (:lx: p(x)) {::}:lx: ,p(x).
(b) -, (:lx: p(x)) {::} \/x: ,p(x).
(c) -, (:lx: p(x)) {::} \/x: p(x).
(d) (:lx: p(x)) {::} \/x: -p(x).
(e) -, (:lx: ,p(x)) {::} \/x: ,p(x).
4 1 - Prima di partire per un lungo viaggio ...
11. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
(a) Sex è un elemento di A si scrive x E A, mentre se non lo è si scrive x (/. A.
(b) Un insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con 0.
(c) Dato un insieme U, si dice che l'insieme A e un sottoinsieme di U e si scrive
A ç U se ogni elemento di A e anche un elemento di U.
(d) Se esiste un elemento di U che non appartiene ad A si dice dice che A è un
sottoinsieme proprio di U e si scrive A C U.
(e) Se A ç U e contemporaneamente U ç A allora A =f. U.
12. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
(a) L'insieme di sottoinsiemi di A si chiama l'insieme delle parti di A e si indica
con P(A).
(b) Insieme differenza B\A l'insieme degli x che appartengono ad A e non appar-
tengono a B.
(c) Insieme unione A U B l'insieme degli x che appartengono ad A oppure a B.
(d) Insieme intersezione A n B l'insieme degli x che appartengono ad A e a B.
(e) La differenza simmetrica è l'insieme degli elementi di A che non appartengono
a B e l'insieme degli elementi di B che non appartengono ad A.
13. Dati due insiemi A e B non vuoti, definiamo prodotto cartesiano di A e B
(a) l'insieme A x B = {(b,b) : b E A I\ b E B}.
(b) l'insieme B x A= {(a,b): a E A I\ b E B}.
(c) l'insieme A x B = {(b,a) : a E A I\ b E B}.
(d) l'insieme A x B = {(a,b) : a E A I\ b E B}.
(e) l'insieme B x A= {(a,a) : a E A I\ b E B}.
14. Dato un insieme A ç Usi dice complementare di A rispetto U,
(a) l'insieme A= A\U ={a: a EU I\ a</. A}.
(b) l'insieme A= U\A ={a: a E A I\ a</. U}.
(c) l'insieme A= U\A ={a: a EU I\ a</. A}.
(d) l'insieme A= U\A ={a: a E Al\ a</. A}.
(e) l'insieme A= U\A ={a: a EU I\ a</. U}.
15. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
(a) AnB=AUB.
(b) AUB = AUB.
(c) AU0=A.
(d) AUA=A.
(e) An0=0.
§2 - Gli insiemi numerici 5
2 Gli insiemi numerici
I numeri naturali. Con il simbolo N si indica l'insieme dei numeri naturali N =
{0,1,2,3, ... }. In matematica il numero naturale non è un concetto primitivo, anche se
i numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Il matematico Giuseppe Peano
ideò un gruppo di assiomi al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei numeri
naturali.
1.) Esiste un numero naturale, lo O.
2.) Ogni numero naturale ha un numero naturale successore.
3.) Numeri diversi hanno successori diversi.
4.) Lo O non è il successore di alcun numero naturale.
5.) Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio
elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione).
Gli assiomi di Peano sono indipendenti, ovvero nessuno di essi può essere dimostrato
a partire dagli altri.
2.1 Esercizio. Sian E N un numero naturale qualsiasi diverso da zero.
+
Il suo successore è n 1 mentre il suo precedente è n - 1.
I numeri pari si indicano con 2n mentre i numeri dispari con 2n + 1.
Un numero naturale p E N si dice primo se è maggiore di 1 ed è divisibile solo per 1 e
per se stesso, altrimenti viene detto composto.
2.2 Esercizio. Siano dati due numeri pari 2n e 2m con n,m E N, la loro somma è
ancora pari: 2n + 2m = 2(n + m)
Ora siano dati due numeri dispari 2n + 1 e 2m + 1 con n,m E N, la loro somma è
sempre pari: 2n+ 1 + 2m+ 1 = 2n+ 2m+ 2 = 2(n+m+ 1).
2.3 Esercizio. Siano dati due numeri pari 2n e 2m con n,m E N, il loro prodotto è
ancora pari: 2n · 2m = 2 · 2n · m = 2(2nm).
Ora siano dati due numeri dispari 2n + 1 e 2m + 1 con n,m E N, il loro prodotto è
sempre dispari:
(2n + 1) • (2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = 2(2nm + n + m) + 1 = 2p + 1, p E N.
2.4 Esercizio. Siano 7,3 E N: 7 + 3 = 10 E N, 7 - 3 = 4 E N, 3 - 7 = -4 </:. N.
=
Sian E N. Si definisce n fattoriale il numero n! n · (n-1) • (n - 2) · · · · · 3 · 2 · 1.
I numeri interi. Addizionando due numeri naturali otteniamo un altro numero natu
rale. La sottrazione tra due numeri naturali non è sempre possibile, ad esempio non possiamo
sottrarre 7 da 3 e ottenere un numero naturale (vedasi l'esercizio 2.4). Per porre rimedio alla
situazione con la sottrazione, si aggiungono ai numeri naturali i numeri negativi; si ottiene in
questo modo l'insieme dei numeri interi, denotato con Z = {. .. ,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,. .. }.
2.5 Teorema (Divisone con resto). Siano a, b E Z con b > O. Allora esistono due
unici interi, il quoziente q ed il resto r, tali che a= q · b + r, O~ r < b.
