Funktionalanalysis I Andreas Kriegl

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Funktionalanalysis I
Andreas Kriegl
Dies ist der erste Teil einer zweiteiligen Vorlesung. Voraussetzung sind die Grund-
vorlesungen u˜ber Analysis und lineare Algebra. Was topologische Grundlagen be-
trifit habe ich mich bemu˜ht diese gering zu halten, allerdings ist Kenntnis der
elementaren Topologie sicher von Vorteil. An einigen Stellen wird auch Ma…theorie
verwendet,aberdien˜otigenResultatesindinKapitel4zusammengefa…t.MeinZiel
ist es den Stofi anhand von Problemen aus anderen mathematischen Gebieten zu
entwickeln. Dabei sind die gew˜ohnlichen und insbesonders die partiellen Difierenti-
algleichungenzunennen.ZurBehandlunglinearerpartiellerDifierentialgleichungen
wurde das Konzept der Distributionen entwickelt, und so soll auch auf diese ein-
gegangen werden. Das hei…t, wir schr˜anken unsere Betrachtungen von Anfang an
nicht auf Banach-R˜aume ein, sondern befassen uns gleich mit lokalkonvexen Vek-
torr˜aumen (in der Gestalt seminormierter R˜aume).
MeinbesondererDankgiltAndreasCapundWilhelmTemsch,diemichaufetliche
Fehler in der Vorabversion aufmerksam gemacht haben.
Andreas Kriegl, Sept. 1991
Die zweite korrigierte Au(cid:176)age konnte ich an Hand ausfu˜hrlicher Fehlerlisten erstel-
len, die mir von Leonhard Summerer, Michaela Mattes und Muriel Niederle zur
Verfu˜gung gestellt wurden. Ich m˜ochte mich dafu˜r an dieser Stelle nochmals aufs
herzlichste Bedanken.
M˜arz. 1993
Die Korrekturen fu˜r die dritte Au(cid:176)age verdanke ich Martin Anderle,
Feb. 1995
In die vierte Au(cid:176)age wurden Korrekturen von Bernhard Lamel mit Dank aufge-
nommen. Au…erdem habe ich den Index u˜berarbeitet,
Aug. 1998
Es wurden jene Korrekturen vorgenommen, die mir aufgefallen sind w˜ahrend ich
die Vorlesung im Wintersemester 1998/99 gehalten habe.
M˜arz 1999
Es wurden kleinere Korrekturen vorgenommen, die Nummerierung ge˜andert, und
in LaTeX konvertiert.
Sept. 2002
Inhaltsverzeichnis
1. Vorbemerkungen 3
2. Seminormen 9
3. Lineare Abbildungen und Vollst˜andigkeit 22
4. Konstruktionen 36
5. Baire-Eigenschaft 71
6. Hilbert-R˜aume 92
7. Satz von Hahn Banach 113
8. L˜osung partieller Difierentialgleichungen 132
Literaturverzeichnis 144
Index 145
Andreas Kriegl, Univ.Wien, 22. November 2002 2
1. Vorbemerkungen
In diesem Kapitel wollen wir sehen, wie man zur Funktionalanalysis, d.h. zur Ana-
lysisinVektorr˜aumenvonFunktionen,gefu˜hrtwird,wennman(Differential-)Glei-
chungen l˜osen will.
1.1 Wurzelziehen
Eine der Hauptaufgaben fu˜r den Mathematiker war und ist wohl noch immer das
L˜osenvonGleichungenf(x)=a.EineinfachertypischerFallistdasWurzelziehen,
d.h. L˜osen der Gleichung fu˜r f(x):=x2.
IneinemsehraltenWitz(manrechnetenochmitRechenschieber)wirddieAufgabe
die Wurzel von 4 zu berechnen einem Techniker, einem Physiker und einem Ma-
thematikergestellt.DerTechnikerl˜ostdasProblemamRechenschieber,underh˜alt
alsAntwort2;01.DerPhysikerentwickeltdieQuadratfunktionineinePotenzreihe,
bestimmt die ersten Glieder der Inversen Reihe und erh˜alt als Antwort 1;999 mit
einemFehlerkleinerals10 2.DerMathematikersperrtsichmiteinemSto…Papier
¡
inseinZimmereinundverweigertjeglicheNahrungsaufnahme.NacheinigenTagen
stu˜rmt er aus dem Zimmer mit dem Ausruf: \Heureka, die L˜osung existiert und ist
positiv!".
Was ist da wohl im Kopf des Mathematikers vor sich gegangen? Nun die Quadrat-
funktionf :R+ R+ iststetig,strengmonotonwachsendunderfu˜lltf(0)=0und
!
f(+ )=+ . Also existiert fu˜r jede Zahl a>0 eine L˜osung x>0 von f(x)=a,
1 1
nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano aus dem Jahr 1817.
Wie wir alle aus der Analysisvorlesung wissen, ben˜otigt man zum Beweis des Zwi-
schenwertsatzesdieVollst˜andigkeitderZahlen.DiePythagoreerim5-4.Jh.v.Chr.
waren noch der Meinung, da… alle Zahlen rational seien. Hippasos von Metapont
zeigteaberim5.Jh.v.Chr.,da…dieL˜ange p2derDiagonaledesEinheitsquadra-
tesnichtrationalist,undwurdedafu˜r,wiedieM˜argeht,imMeerertr˜ankt.Umalso
den Zwischenwertsatz zu zeigen, ist eine explizite Beschreibung der reellen Zahlen
n˜otig.SolchewurdenEndedes19.Jh.vonWeierstra…mittelsabsolut-konvergenter
Reihen,vonDedekind(1872)mittesDedekind’scherSchnitteundvonCantor(1883)
mittels Cauchy-Folgen gegeben.
Um additive Gleichungen a+x = b zu l˜osen hat man in der Folge auch negative
Zahlen eingefu˜hrt.
Ein ˜ahnliches Problem, n˜amlich die Zahlen zu erweitern, damit die L˜osungen von
polynomialen Gleichungen immer existieren, wurde von Gau… 1830 gel˜ost, indem
erdieimagin˜arenZahleneinfu˜hrte.DieentsprechendenL˜osungenwurdeanf˜anglich
auch als die unm˜oglichen L˜osungen bezeichnet.
Doch zuru˜ck zum Wurzelziehen. Es hatten schon die Babylonier, die im Sexagesi-
malsystem (d.h. mit Basis 60) rechneten, den N˜aherungswert
24 51 10
1+ + + p2:
60 602 603 …
Andreas Kriegl, Univ.Wien, 22. November 2002 3
Kapitel 1. Vorbemerkungen 1.1
Alt-indisch ist der N˜aherungswert
577
p2:
408 …
Die Idee zur Bestimmung dieser Werte ist die folgende: Es gilt immer, da… das
arithmetische Mittel p+q gr˜o…er gleich dem geometrischen Mittel ppq ist, wie man
2
entweder durch Quadrieren der Ungleichung sieht oder aus der Tatsache folgert,
da…dieH˜oheh=ppq einesrechtwinkeligenDreieckskleinergleichdemRadius p+q
2
des Umkreises ist. Sei nun x eine N˜aherungsl˜osung fu˜r pa. Dann ist auch a eine
x
solche, welche auf der anderen Seite von pa liegt als x, d.h. o.B.d.A. sei x pa.
‚
DasarithmetischeMittel 1(x+a) pamu…dannabereineN˜aherungsl˜osungsein,
2 x ‚
die besser ist als x.
Fu˜hren wir dieses Verfahren beginnend bei 1 durch so erhalten wir 1+2 = 3, 2 =
2 2 3=2
4, 1(3 + 4) = 17, 2 = 24, 1(17 + 24) = 577 = 1;41422:::, den alt-indischen
3 2 2 3 12 17=12 17 2 12 17 408
N˜aherungsbruch fu˜r p2=1;41421:::.
Fu˜hrenwirgleichesim60-erSystemderBabylonierdurch,soerhaltenwir1, 3 =1+
2
30, 4 =1+20, 17 =1+25, 24 =1+24+ 42 + 21 + , 577 =1+24+ 51 + 10 + .
60 3 60 12 60 17 60 602 603 ¢¢¢ 408 60 602 603 ¢¢¢
Es ist also ganz interessant, nicht nur die Existenz von L˜osungen zu wissen, son-
dern auch N˜aherungsverfahren zur Verfu˜gung zu haben. Eines der bekanntesten
Verfahren ist das Newtonverfahren, welches von Leibnitz und Newton im 17. Jh.
entwickelt wurde. Es sei dazu g : x g(x) := f(x) a difierenzierbar. Dann
7! ¡
schneidet die Tangente an die Kurve g in einem nahe einer Nullstelle gelegenen
Punktexdiex-AchseimPunktx :=r(x):=x g(x),wiemansoforteinerpas-
neu ¡g0(x)
senden Zeichnung entnimmt. Dies wird wohl zumeist ein besserer N˜aherungswert
fu˜r die Nullstelle sein. Fu˜r die Funktion f(x) := x2, liefert diese Rekursionsformel
x := x x2 a = 1(x+ a). Das ist genau die Formel die auch schon die Inder
neu ¡ 2¡x 2 x
und Babylonier angewandt haben.
Wirwollennunzeigen,da…dierekursivdeflnierteFolgex :=r(x )= 1(x + a )
n+1 n 2 n xn
fu˜r jeden Anfangswert x gegen die Wurzel von a konvergiert.
0
Um die Konvergenz zu zeigen, k˜onnten wir verwenden, da… jede beschr˜ankte mo-
noton wachsende Folge konvergiert. Da wir dabei aber stark die Ordnung von R
verwenden, wollen wir lieber einen verallgemeinerbaren Beweis flnden der auch fu˜r
a C funktioniert. Die Idee ist, da… die Folge (xn) immer n˜aher an den Grenzwert
2
x ru˜cken sollte, d.h. x x < x x . Da r stetig ist gilt, falls x :=
n+1 n
1 j 1 ¡ j j 1 ¡ j 1
lim x existiert: r(x )=r(lim x )=lim r(x )=lim x =x . D.h. x ist
n n n n n n n n+1
1 1 1
einFixpunktvonr,undsomitsollte r(x ) r(x ) = x x < x x sein.
n n+1 n
j 1 ¡ j j 1¡ j j 1¡ j
Nunhabenwiraberx nochnichtzurVerfu˜gungalsomu˜ssenwirdieUngleichung
1
r(x) r(y) < x y fu˜r beliebige Punkte x und y zeigen, d.h. es genu˜gt uns, da…
j ¡ j j ¡ j
r LipschitzistmiteinerKonstanteq <1,i.e. x;y : r(x) r(y) q x y .Dies
8 j ¡ j• ¢j ¡ j
ist in der Tat der Fall, denn r (x) = 1(1 a ) verschwindet fu˜r x = a, und somit
0 2 ¡ x2
existiertein– >0mit r (x) < 1 fu˜ralle x pa <– undausdemMittelwertsatz
j 0 j 2 j ¡ j
der Difierentialrechnung folgt jr(xx)¡ry(y)j •maxfjr0(z)j:zg• 21.
j ¡ j
Wir zeigen nun, da… aus der Lipschitz-Bedingung die Konvergenz der Folge (x )
n
folgt:
x x = rn(x ) rn(x ) qn x x
n+1 n 1 0 1 0
j ¡ j j ¡ j• j ¡ j
n+m¡1 qn
x x x x qk x x = x x 0
n+m n k+1 k 1 0 1 0
)j ¡ j• j ¡ j• j ¡ j 1 qj ¡ j!
k=n k n ¡
X X‚
Andreas Kriegl, Univ.Wien, 22. November 2002 4
Kapitel 1. Vorbemerkungen 1.2
also ist x eine Cauchy-Folge und somit konvergent. Man beachte dabei noch, da…
n
auch x pa = r(x ) r(pa) < x pa <– gilt.
n+1 n n
j ¡ j j ¡ j j ¡ j
Wir k˜onnen sogar eine Fehlerabsch˜atzung machen. Es sei x = pa+¢. Dann gilt
fu˜r den n˜achsten Wert
1 a
x = pa+¢+
neu
2 pa+¢
(cid:181) ¶
1 a
=pa+ pa+¢+
2 ¡ pa+¢
(cid:181) ¶
¢2
=pa+
2(pa+¢)
Also gilt fu˜r den neuen Fehler j¢neuj = 2pj¢a+j2¢ • j¢j2 falls a ‚ 1 und j¢j < 12.
D.h. jeder neue Schritt liefert doppelt sovijele Dejzimalstellen wie der zuvor.
In R kann man sogar die Konvergenz fu˜r jeden Startwert x0 >0 zeigen.
1.2 Banach’scher Fixpunktsatz
Deflnition.
Einmetrischer Raumisteine MengeX zusammen mit einerMetrik,d.h. einer
Abbildung d:X X R welche folgendes erfu˜llt:
£ !
Dreiecksungleichung: d(x;z) d(x;y)+d(y;z)
•
Symmetrie: d(x;y)=d(y;x)
Positivita˜t: d(x;y) 0; d(x;y)=0 x=y
‚ ,
Ein metrischer Raum hei…t vollsta˜ndig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Dabei hei…t eine Folge (x ) Cauchy-Folge, falls d(x ;x ) 0 fu˜r n;m .
n n m
! ! 1
Die Folge hei…t gegen x konvergent, falls d(x ;x ) 0 fu˜r n .
n
1 1 ! !1
Banach’scher Fixpunktsatz.
Sei (X;d) ein vollst˜andiger metrischer Raum, und r : X X sei eine strikte
!
Kontraktion, d.h. q < 1 mit d(r(x);r(y)) qd(x;y). Dann existiert ein ein-
9 •
deutiger Fixpunkt x X von r, d.h. r(x ) = x , und fu˜r jedes x X
0
1 2 1 1 2
konvergiert die rekursiv deflnierte Folge x := r(x ) gegen x und zwar gilt
n+1 n
d(x ;x ) qn d(x ;x ). 1
n 1 • 1¡q 0 1
Beweis. Der Beweis ist v˜ollig analog zu dem vom obigen Spezialfall. Man zeigt
nacheinander:
d(x ;x ) qn d(x ;x )
n+1 n 1 0
•
qn
d(x ;x ) d(x ;x ) 0 fu˜r n
n+m n 1 0
• 1 q ! !1
¡
qn
m
d(x ;xn) d(x ;xn+m)+d(xn+m;xn) !1 d(x1;x0):
1 • 1 ! 1 q
¡
!d(x1;x1)=0 •1q¡nq d(x1;x0)
| {z } | {z }
Die Eindeutigkeit folgt aus
x x„ = r(x ) r(x„ ) q x x„ :
j 1¡ 1j j 1 ¡ 1 j• ¢j 1¡ 1j
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Kapitel 1. Vorbemerkungen 1.3
1.3 Gew˜ohnliche Difierentialgleichungen
WirwollendenBanach’schenFixpunktsatznundazuverwendenumgewo˜hnliche
Differentialgleichungen u0(t)=f(t;u(t)) mitdeflnierenderFunktionf :R2
!
R und Anfangsbedingung u(0)=u0 l˜osen. D.h. wir suchen eine L˜osung u der Glei-
chung g(u) = 0, wobei g(u) die Funktion t f(t;u(t)) u (t) ist. D.h. g ist eine
0
7! ¡
Abbildung von einem Raum von difierenzierbaren Funktionen u auf einen Raum
von Funktionen. Damit g eine Abbildung eines Raums X von Funktionen auf sich
selbst ist, sollte fu˜r alle u X auch u X sein, d.h. X mu˜…te aus unendlich
0
2 2
oft difierenzierbaren Funktionen bestehen. Dann ist aber nicht klar, was man als
Distanz d : X X R nehmen kann, damit g eine Kontraktion wird. Im Unter-
£ !
schied zum Difierenzieren macht die Umkehroperation Integrieren die Funktionen
glatter, und indem wir die Ableitung in der Difierentialgleichung auf die andere
Seite geben, d.h. die Difierentialgleichung integrieren erhalten wir eine ˜aquivalente
Integralgleichung
t
u(t)=u + f(s;u(s))ds
0
Z0
verwandeln. Dann ist also die Fixpunktgleichung u = g(u) zu l˜osen, wobei g(u)
t
nun durch t u + f(s;u(s))ds gegeben ist. Damit g eine Selbstabbildung
7! 0 0
eines Raums X von Funktionen u wird, genu˜gt es nun als X den Raum C(I;R)
R
aller stetigen Funktionen von einem abgeschlossenen Intervall I R nach R zu
‰
nehmen.
Was soll nun Konvergenz fu˜r eine Folge von Elementen (=Funktionen) u X
n
2
bedeuten.DerersteAnsatzw˜arewohlpunktweiseKonvergenz.Daaberg :X X
!
stetigseinsoll,mu˜…teausderpunktweisenKonvergenzvonu auchdieKonvergenz
n
t
von g(u )(t) := u + f(s;u (s))ds folgen. Dazu wu˜rde man aber gleichm˜a…ige
n 0 0 n
Konvergenz von un ben˜otigen. Wir deflnieren also einen Abstand d : X X R
R £ !
durch d(u ;u ) := max u (t) u (t) : t I . Es ist leicht zu zeigen, da… damit
1 2 1 2
fj ¡ j 2 g
C(I;R)zueinemmetrischenRaumwird,undwirwerdenebensoleichtmittels(4.1)
aus (3.5) seine Vollst˜andigkeit folgern. Um nun den Banach’schen Fixpunktsatz
anzuwenden, mu˜ssen wir zeigen, da… g eine Kontraktion ist, also sch˜atzen wir wie
folgt ab:
t
g(u )(t) g(u )(t) f(s;u (s)) f(s;u (s)) ds
1 2 1 2
j ¡ j• j ¡ j
flZ0 fl
fl t fl
fl fl
fl q u1(s) u2(s) ds fl
• ¢j ¡ j
flZ0 fl
flt q d(u ;u ); fl
fl 1 2 fl
•jfl j¢ ¢ fl
wobei wir angenommen haben, da… f in der zweiten Variable Lipschitz mit Kon-
stanteq ist,undzwargleichm˜a…igindererstenVariable,d.h. f(s;y ) f(s;y )
1 2
j ¡ j•
q y y . Es folgt somit
1 2
j ¡ j
d(g(u1);g(u2)) d(0;R I) q d(u1;u2)
• n ¢ ¢
Falls also I so klein gew˜ahlt wird, da… der Abstand d(0;R I) := inf d(0;t) : t
n f 2
R I = sup t : t I von 0 I zum Rand von I kleiner ist als 1, so ist g eine
n g fj j 2 g 2 q
Kontraktion und hat nach dem Banach’schen Fixpunktsatz eine eindeutige L˜osung
u, die dann auch die eindeutige L˜osung der Difierentialgleichung u(t) = f(t;u(t))
0
mit u(0)=u0 ist. Wir haben also fu˜r E =R den folgenden Satz bewiesen:
Satz von Picard-Lindel˜of.
Sei f :R E E stetig und bezu˜glich der zweiten Variable Lipschitz, genauer
£ !
q R t R; x1;x2 E : f(t;x1) f(t;x2) q x1 x2 ;
9 2 8 2 8 2 j ¡ j• ¢j ¡ j
Andreas Kriegl, Univ.Wien, 22. November 2002 6
Kapitel 1. Vorbemerkungen 1.3
so gibt es lokal eine eindeutige L˜osung der Difierentialgleichung
u(t)=f(t;u(t)) mit u(0)=u :
0 0
1. Beispiel.
Wir wollen das nun konkret an der Difierentialgleichung u (t) = u(t) mit u(0) =
0
a durchfu˜hren. Der zugeh˜orige Integraloperator ist dann durch g(u) : t a +
t 7!
u(s)ds gegeben. Wir beginnen mit der 0-ten N˜aherung u =0. Dann ist
0 0
R t
u (t)=a+ 0ds=a
1
Z0
t
u (t)=a+ ads=a(1+t)
2
Z0
t t2
u (t)=a+ a(1+s)ds=a(1+t+ )
3
2
Z0
.
.
.
n¡1tk
u (t)=a
n
k!
k=0
X
1 tk
u (t)=a =aet:
) 1 k!
k=0
X
2. Beispiel.
Analog fu˜hrt u =1+u2 mit u(0)=0 und u :=0 zu
0 0
u (t)=t
1
1
u (t)=t+ t3
2
3
1 2 1
u (t)=t+ t3+ t5+ t7
3
3 15 63
.
.
.
1 2 62 1382 20404
u (t)=t+ t3+ t5+ t9+ t11+ t13+:::
6
3 15 2835 155925 60810755
1
+ ::: t63
760594829864786522589375
und u stimmt bis zur 12-ten Ordnung mit der Taylorentwicklung von t tan(t)
6
7!
u˜berein.
Difierentialgleichungen n-ter Ordnung.
Unter einer (explizit dargestellten) Difierentialgleichung n-ter Ordnung versteht
man eine Gleichung der Form
u(n)(t)=f(t;u(t);u(t);:::;u(n 1)):
0 ¡
Indem man statt u die Funktion v : t (u(t);u(t);:::;u(n 1)(t)) betrachtet, so
0 ¡
7!
u˜bersetzt sich die Difierentialgleichung n-ter Ordnung in folgende(s System von)
Andreas Kriegl, Univ.Wien, 22. November 2002 7
Kapitel 1. Vorbemerkungen 1.3
Difierentialgleichung(en) 1-ter Ordnung:
u(t) v (t)
0 1
. .
. .
v (t)=0 . 1=0 . 1=:f~(t;v(t)):
0
u(n 1)(t) v (t)
BB u(¡n)(t) CC BBf(nt¡;v1(t))CC
B C B C
@ A @ A
Andreas Kriegl, Univ.Wien, 22. November 2002 8
2. Seminormen
In diesem Kapitel soll der ad˜aquate Begrifi von Distanz auf Vektorr˜aumen ein-
gefu˜hrt werden, und seine elementaren Eigenschaften diskutiert werden.
2.1 Motivation und Deflnitionen.
AlleVektorr˜aume,diewirbetrachtenwerden,werdenalsGrundko˜rperKentwe-
der R oder C haben.
DistanzfunktionendaufVektorr˜aumenE solltenzus˜atzlichTranslations-invar-
iant sein, d.h. d(x;y) = d(a + x;a + y) erfu˜llen fu˜r alle x;y;a E. Dann ist
2
d(x;y) = d(0;y x) =: p(y x), wenn wir a := x w˜ahlen, also d : E E R
¡ ¡ ¡ £ !
bereits durch die Abbildung p:E R festgelegt.
!
Die Dreiecksungleichung d(x;z) d(x;y)+d(y;z) fu˜r d u˜bersetzt sich in die
•
Subadditivita˜t: p(x+y) p(x)+p(y):
•
Bezu˜glich der Skalarmultiplikation sollten wir wohl die
R+-Homogenita˜t: p(‚x)=‚p(x) fu˜r alle ‚ R+ := t R:t>0
2 f 2 g
undx E fordern.Beachte,da…diesp(0)=p(2 0)=2p(0)alsop(0)=0zurFolge
2 ¢
hat, und damit auch die Homogenit˜at p(0x) = p(0) = 0 = 0p(x) mit ‚ := 0 gilt.
Wir du˜rfen allerdings nicht die Homogenit˜at fu˜r alle ‚ K erwarten, denn dann
2
w˜are p linear, denn
p(x)+p(y) p(x+y)=p( (( x)+( y)))= p(( x)+( y))
‚ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
(p( x)+p( y))=p(x)+p(y):
‚¡ ¡ ¡
Eine Funktion p : E R hei…t sublinear falls sie subadditiv und R+-homogen
!
ist.
VerwandtmitderSubadditivit˜atistdieKonvexit˜at:EineFunktionp:E Rhei…t
!
konvex falls
p(‚x+(1 ‚)y) ‚p(x)+(1 ‚)p(y) fu˜r alle 0 ‚ 1 und alle x;y E;
¡ • ¡ • • 2
also die Funktion auf jeder Strecke unterhalb der Sehne liegt. A˜quivalent k˜onnen
wirauchp n ‚ x n ‚ p(x )fu˜rallex E und‚ >0mit n ‚ =1
i=1 i i • i=1 i i i 2 i i=1 i
verlangen.
¡P ¢ P P
Fu˜r zweimal difierenzierbare Funktionen f :R R zeigt man in der Analysis, da…
!
diese genau dann konvex sind, wenn f 0 ist:
00
‚
( ) Aus f 0 folgt mittels Mittelwertsatz, da… f monoton wachsend ist, denn
00 0
( ‚
ufn0(dxx1x1)¡¡=fx00(xx0)+=‚(fx00(»)x‚).0Efru˜nreeuitnn»aczhwdisecmheMn xit0teulwndertxs1a.tSzeeixaislstoierxe0n<» x1,[0x<;x‚]u<nd1
0 1 0 0 0
¡ 2
» [x;x ] mit f(x) f(x )=f (» )(x x ) und f(x ) f(x)=f (» )(x x),
1 1 0 0 0 0 1 0 1 1
2 ¡ ¡ ¡ ¡
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Kapitel 2. Seminormen 2.2
also ist
f(x )+‚(f(x ) f(x )) f(x)=
0 1 0
¡ ¡
=(1 ‚)(f(x ) f(x))+‚(f(x ) f(x))
0 1
¡ ¡ ¡
=(1 ‚)f (» )(x x)+‚f (» )(x x)
0 0 0 0 1 1
¡ ¡ ¡
=(1 ‚)f (» )( ‚(x x ))+‚f (» )((1 ‚)(x x ))
0 0 1 0 0 1 1 0
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
=‚(1 ‚) f (» ) f (» ) (x x ) 0;
0 1 0 0 1 0
¡ ¡ ¡ ‚
‡ ·
d.h. f ist konvex.
( ) Es sei f konvex. Dann ist fu˜r x <x<x :
0 1
)
f(x) f(x ) ‚(f(x ) f(x )) f(x ) f(x )
0 1 0 1 0
¡ ¡ = ¡ =
x x • ‚(x x ) x x
0 1 0 1 0
¡ ¡ ¡
(1 ‚)(f(x ) f(x )) f(x ) f(x)
1 0 1
= ¡ ¡ ¡
(1 ‚)(x x ) • x x
1 0 1
¡ ¡ ¡
Also ist f (x ) f(x ) f(x )x x f (x ), d.h. f ist monoton wachsend.
0 0 1 0 1 0 0 1 0
•• ¡ ¡ •
Also ist f00(x0)=limx1&x0 f0(xx11)¡¡xf00(x0) ‚0.
In der Deflnition von \sublinear" k˜onnen wir \subadditiv" ˜aquivalent durch \kon-
vex" ersetzen:
( ) Wir setzen ‚:=1 und erhalten
(
x+y x y
p(x+y)=2p 2 p +p =p(x)+p(y):
2 • 2 2
(cid:181) ¶ ‡ ‡ · ‡ ··
( ) Es ist
)
p(‚x+(1 ‚)y) p(‚x)+p((1 ‚)y)=‚p(x)+(1 ‚)p(y):
¡ • ¡ ¡
Die Symmetrie d(x;y) = d(y;x) von d u˜bersetzt sich in die Symmetrie: p(x) =
p( x)fu˜rallex E.ZusammenmitderR+-Homogenit˜atistsiesomitzufolgender
¡ 2
Homogenit˜at ˜aquivalent: p(‚x)= ‚ p(x) fu˜r x E und ‚ R.
j j 2 2
Eine Funktion p : E R hei…t Seminorm (kurz SN), falls sie subadditiv und
!
positiv homogen ist, d.h. p(‚x)= ‚ p(x) fu˜r x E und ‚ C.
j j 2 2
Eine Seminorm ist also eine sublineare Abbildung die zus˜atzlich p(‚x) = p(x) fu˜r
alle x E und ‚ =1 erfu˜llt. Beachte, da… die Multiplikation mit einer komplexen
2 j j
Zahl von Betrag 1 u˜blicherweise als Drehung interpretiert wird.
Jede Seminorm p erfu˜llt p 0, denn 0=p(0) p(x)+p( x)=2p(x).
‚ • ¡
EineSeminormphei…tNormfallszus˜atzlichp(x)=0 x=0gilt.Einnormier-
)
ter Raum ist ein Vektorraum zusammen mit einer Norm.
2.2 Supremums-Norm
Die Supremums- oder -Norm ist deflniert durch
1
f :=sup f(x) :x X ;
k k1 fj j 2 g
wobei f :X K eine beschr˜ankte Funktion auf einer Menge X ist.
!
Die Distanz d, die wir in der Anwendung (1.3) auf dem Vektorraum C(I;R) be-
trachtet haben, war gerade durch d(u ;u ):= u u gegeben.
1 2 1 2
k ¡ k1
Beispiele.
Folgende Vektorr˜aume sind normierte R˜aume bezu˜glich der -Norm:
1
Andreas Kriegl, Univ.Wien, 22. November 2002 10