Table Of ContentDIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHE.N
WISSEN S CHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERikKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
GEMEINSAM MIT
W. BLASCHKE M. BORN C. RUNGE
HAMBURG G6TTINGEN G6TTINGEN
HERAUSGEGEBEN VON
R. COURANT
G6TTINGEN
BAND XV
ELEMENTARMATHEMATIK II
VON
FELIX KLEIN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1925
FELIX KLEIN
ELEMENT ARMA THEMA TIK
VOM HOHEREN STANDPUNKTE AUS
DRITTE AUFLAGE
ZWEITER BAND
GEOMETRIE
AUSGEARBEITET VON
E. HELLINGER
FOR DEN DRUCK FERTIG GEMACHT
UND MIT ZUSATZEN VERSEHEN VON
FR. SEYFARTH
MIT 157 ABBILDUNGEN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1925
ALLE RECHTE, INSBESONDERE
DAS DER UBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
ISBN-13: 978-3-642-88996-7 e-ISBN-13: 978-3-642-90852-1
DOl: 10.1007/978-3-642-90852-1
COPYRIGHT I9Z5 BY JULIUS SPRINGER IN BERLIN.
Softcover reprint of the hardcover 3rd edition 1925
Vorwort zur ersten Auflage.
In dem Vorwort zu Teil I der vorliegenden Vorlesungen (Arith
metik, Algebra, Analysis) bezeichnete ich es noch als zweifelhaft, ob
der der Geometrie gewidmete Teil II so bald werde erscheinen k6nnen.
Nun ist es doch gelungen, ihn fertigzustellen, wozu die Arbeitskraft
von Herrn Hellinger, wie ich gem hervorhebe, ihr wesentliches Teil
beigetragen hat.
Dber Entstehung und Zweck der ganzen Vorlesungsserie habe ich
hier dem, was in der Vorrede von I gesagt ist, nichts Besonderes mehr
hinzuzuftigen. Wohl aber scheint ein Wort n6tig tiber die neue Form,
welche dieser zweite Teil angenommen hat.
Diese Form ist in der Tat eine ganz andere wie bei Teil I. Ich habe
mich entschlossen, vor allen Dingen einen Gesamtilberblick tiber das
Gebiet der Geometrie zu geben, in dem Umfange, wie ich ihn jedem
Lehrer an einer h6heren Schule wtinschen m6chte; die Er6rterungen
tiber den geometrischen Unterricht wurden also zurtickgedra.ngt und
zum SchluB, soweit noch Raum blieb, nun aber im Zusammenhange
gegeben.
In einem gewissen MaBe hat bei der so charakterisierten Neuan
ordnung der Wunsch mitgewirkt, nicht in eine zu stereotype Form zu
verfallen. Es lassen sich aber auch wichtigere innere Grtinde anfiihten.
Wir haben in der Geometrie keine solchen einheitlichen, dem allge
meinen Stande der Wissenschaft entsprechenden Lehrbticher, wie wir
sie fUr Algebra und Analysis dank dem Vorbilde der franz6sischen
Cours besitzen; vielmehr findet man hier diese, dort jene einzelne Seite
des viel umfassenden Gegenstandes dargestellt, wie sie gerade von der
einen oder anderen Gruppe von Forschem zur Entwicklung gebracht
worden ist. Demgegentiber schien es bei den padagogischen und all
gemein wissenschaftlichen Zwecken, die ich verfolge, ein wesentliches
Erfordemis, eine mehr einheitliche Zusammenfassung zu versuchen.
Ich schlieBe mit dem Wunsche, daB die beiden einander ergan
zenden, nun vollendet vorliegenden Teile der "Elementarmathematik
vom h6heren Standpunkte aus" in der Lehrerwelt dieselbe freundliche
Aufmerksamkeit finden m6gen, wie die im Vorjahre von Herm Schim
mack und mir herausgegebenen Vortrage tiber die Organisation des
mathematischen Unterrichts.
GiJttingen, Weihnachten 1908.
Klein.
VI Vorwort.
Vorwort zur dritten Auflage.
GemaB dem Gesamtplane, den ich im Vorwort zur dritten Auflage
des ersten Bandes tiber die Neuherausgabe meiner autographierten
Vorlesungen entwickelte, sind Text und Darstellung des vorliegenden
zweiten Bandes bis auf kleine Anderungen im einzelnen und wenige
Einschiebungen ungeandert geblieben 1). Die beiden Zusatze, die sich
auf im ursprtinglichen Texte nicht berticksichtigte Literatur wissen
schaftlicher und padagogischer Art beziehen, wurden nach wieder
holter Rticksprache mit mir auch dieses Mal von Herrn Seyfarth ver
faBt. Dieser nahm wiederum den groBten Teil der fUr die Herausgabe
notwendigen Arbeit auf sich. Beim Korrekturenlesen halfen ihm
die Herren E. Hellinger, H. Vermeil und A. Walther. Herr Vermeil
tibernahm die Herstellung der beiden Register. Den genannten Herren
und der Verlagsfirma Julius Springer, die bei jeder Gelegenheit bereit
williges Entgegenkommen zeigte, bin ich zu groBem Danke verpflichtet.
G6ttingen, Mai 1925.
Klein.
1) Neu hinzugefugte Anmerkungen sind durch eckige Klammern kenntlich
gemacht worden.
Inhaltsverzeichnis.
Einleitung.
Sclte
Zweck und Form der Vorlesung
Die "Fusionsbestrebungen" . . . 2
Erster Teil: Die einfachsten geometrischen Gebilde.
I. Strecke, Flacheninhalt, Rauminhalt als relative GraBen. 3
Definition durch Determinanten; Deutung der Vorzeichen 3
Einfachste Anwendungen, insbesondere Doppelverhaltnis. 6
Inhalt geradliniger Polygone . . . • . . 7
Krummlinig begrenzte Flachenstucke 10
Theorie des Amslerschen Polarplanimeters 11
Inhalte von Polyedern, das Kantengesetz 17
Einseitige Polyeder ......... . 19
II. Das GraBmannsche Determinantenprinzip fUr die Ebene 22
Linienteile (Vektoren) . . . . • . . . . . . . . . . . . 23
Anwendung in der Statik starrer Systeme . . . . . . . . 24
Klassifikation geometrischer GrQBen nach ihrem Verhalten bei Trans-
formation der rechtwinkligen Koordinaten _ 26
Anwendung des Klass'ifikationsprinzips auf die ElementargroBen 28
III. Das GraBmannsche Prinzip fUr den Raum. 31
Linien- und Ebenenteil 31
Anwendung in der Statik starrer Korper 33
Die Beziehungen zum Moebiusschen Nullsystem 35
Geometrische Veranschaulichung des N ullsystems 37
Zusammenhang mit der Schraubentheorie 40
IV. Klassifikation der raumlichen Elementargebilde nach ihrem Ver-
halten bei rechtwinkligen Koordinatentransformationen 42
Allgemeines uber Transformationen der rechtwinkligen Raumkoordinaten 42
Die Transformationsformeln einiger ElementargroBen . . . . . . . . 46
Krliftepaar und freie PlangroBe als aquivalente Gebilde . . . . . . . 48
Freier Linienteil und freie PlangroBe ("polarer" und "axialer" Vektor) 50
Skalare erster und zweiter Art . . . . . . . . . . S1
Grundzuge einer rationellen Vektoralgebra . . . . . 52
Das Fehlen einer einheitlichen Bezeichnungsweise in der Vektor-
rechnung ..........•........ 55
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
V. Erzeugnisse der Grundgebilde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Erzeugnisse von Punkten (Kurven, Flachen, Punktmengen) . . . . . 58
Vom Unterschied zwischen analytischer und synthetischer Geometrie 59
Die projektive Geometrie und das Prinzip der Dualitat .'. . . . . . 61
Pluckers analytische Auffassung und Weiterbildung des Dualitats-
prinzips (Geradenkoordinaten) ............ 63
GraB manns Ausdehnungslehre; die mehrdimensionale Geometrie 66
Skalar- und Vektorfelder; rationelle Vektoranalysis . . . . . . 68
Zweiter Teil: Die geometrischen Transformationen.
Allgemeines uber Transformationen und ihre analytische Darstellung 74
1. Affine Transformationen 75
Analytische Definition und Grundeigenschaften 75
Anwendung auf die Theorie der Ellipsoids 81
Parallelprojektion einer Ebene in eine andere 83
Axonometrische Abbildung des Raumes (Affinitat mit verschwinden-
der Determinante) ..... 85
Der Fundamentalsatz von Pohlke 89
II. Projektive Transformationen. . 92
Analytische Definition; Einfuhrung homogener Koordinaten . . 92
Geometrische Definition: Jede Kollineation ist eine Projektivitat 95
Verhalten der Grundgebilde gegenuber Projektivitaten. . . . . 98
Zentralprojektion des Raumes in eine Ebene (Projektivitat mit ver-
schwindender Determinante) . . . .. . ....... . 101
Reliefperspektive . . . . .. ..... ........ . 102
Anwendung des Projizierens zur Ableitung von Kegelschnitteigen-
schaften .... . . . . .. ..... . ....... . 104
III. Hahere Punkttransformationen . . . . . . 105
1. Die Transformation durch reziproke Radien 105
Die Peaucelliersche Geradfuhrung 108
Stereographische Projektion der Kugel 109
2. Einige allgemeinere Kartenprojektionen 110
Die Merkatorprojektion . . . 110
Die Tissotschen Satze . . . . . . . 112
3. Die allgemeinsten eineindeutigen stetigen Punkttransformationen. 113
Geschlecht und Zusammenhang von Flachen 114
Der Eulersche Polyedersatz . . . . . . 116
IV. Transformationen mit Wechsel des Raumelementes 117
1. Die dualistischen Transformationen 117
2. Die Beruhrungstransformationen . . . . . . . . . 119
3. Einige Beispiele •............... 122
Gestalt algebraischer Ordnungs- und Klassenkurven 122
Anwendung der Beruhrungstransformationen auf die Zahnradtheorie 123
V. Die Imaginirtheorie . . . . . . . . . . . . , . . . . 126
Die imaginaren Kreisplmkte und der imaginare Kugelkreis 126
Imaginartransformation ............... . 129
Inhaltsverzeichnis. IX
v. Staudts Deutung sich selbst konjugierter imaginarer Gebilde Seite
durch reelle Polarsysteme . . . . . . . . . . . . . 129
v. Staudts volle Deutung einzelner imaginarer Elemente 133
Die Lagenbeziehungen imaginarer Punkte und Geraden 137
Dritter Tei!: Systematik und Grundlegung der Geometrie.
I. Die Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
L "Oberblick iiber die Gliederung der Geometrie . . . . : . 140
Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip 140
Cayleys Grundsatz: projective geometry is all geometry 145
2. Exkurs iiber die Invariantentheorie der linearen Substitutionen 146
Die Systematik der Invariantentheorie . . . . . . 146
Erlauterung an einfachen Beispielen ........ . .. 151
3. Anwendung der Invariantentheorie auf die Geometrie 155
Deutung der Invariantentheorie von n Variabeln in der affinen
Geometrie des Rn mit festem Nullpunkt .......... 155
Ihre Deutung in der projektiven Geometrie des Rn _ 1 • • • • • 156
4. Die Systematisierung der affinen und metrischen Geometrie auf Grund
des Cayleyschen Prinzips . . . . . . . . . . . . . . 159
Einordnung der Grundbegriffe der affinen Geometrie in das pro
jektive System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Einordnung des GraBmannschen Determinantenprinzips in die in
variantentheoretische Auffassung der Geometrie. Exkurs iiber
Tensoren. . . . . '. . .. ............ 161
Einordnung der Grundbegriffe der metrischen Geometrie in das
projektive System ......,.... 168
Projektive Behandlung der Dreiecksgeomettie 170
II. Grundlagen der Geometrie. . 171
Allgemeine Fragestellung; Stellungnahme zur analytischen Geometrie 172
Andeutung fiber den Aufbau der rein projektiven Geometrie mit nach
traglichem AnschluB der metrischen .. . . . . . . . . . . . . 172
1. Aufbau der ebenen Geometrie unter Voranstellung der Bewegungen 174
Aufbau der affinen Geometrie aus den Parallelverschiebungen. . 175
Hinzunahme der Drehungen zum Aufbau der metrischen Geometrie 180
Endgiiltige Herstellung der Ausdriicke ffir Entfernung und Winkel 185
Einordnung der Allgemeinbegriffe Flacheninhalt und Kurvenlange 186
2. Andere Begriindung der metrischen Geometrie; die Rolle des Paral-
lelenaxioms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Entfernung, Winkel, Kongruenz als Grundbegriffe ....... 189
Parallelenaxiom und Parallelentheorie (nicht-euklidische Geometrie) 189
Bedeutung der nicht-euklidischen Geometrie nach philosophischer
Seite ................... ..... 192
Einordnung der nicht-euklidischen Geometrie in das projektive
System ................... 194
Allgemeines fiber moderne geometrische Axiomatik. . . . . . . 200
3. Euklids Elemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Kritisches fiber die geschichtliche Stellung und wissenschaftliche
Bedeutung der Elemente . . . . . . . 204
Inhalt der 13 Biicher Euklids . . . . . . 207
Die Grundlegung der Geometrie beiEuklid 212
Der Anfang des ersten Buches . . . . . . 215
x
Inhaltsverzeichnis.
Seile
Das Fehlen der "Zwischenaxiome" bei Euklid; die M6glichkeit der
sog. geometrischen Sophismen . . . . . . . . . . . .. 217
Das "Archimedische Axiom" bei Euklic.; Exkurs uber die "horn
f6rmigen Winkel" als Beispiel eines durch dieses Axiom aus
geschlossenen Gr6Bensystems. . . . . . . . . . . . . . . . 220
SchluBkapitel: Einiges fiber den Unterricht in derGeometrie.
Bedeutung des .historischen Untergrundes 226
Entgegenstellung moderner Anforderungen . . . 227
Kritisches zum traditionellen Unterrichtsbetriebe 228
I. Der Unterricht in England . . . . . . . . 231
Der traditionelle Typus des Unterrichts und der Examina 231
. Die Association for the improvement of geometrical teaching 232
Perry und seine Tendenzen . . . . . . . . . . . 233
Einige die Anforderungen der Reform berlicksichtigende Lehrblicher 235
II. Der Unterricht in Frankreich . . . 236
Petrus Ramus und Clairaut 237
Legendres Elemente und ihre Bedeutung 238
Exkurs liber Legendres Parallelentheorie 240
Legendres Nachfolger . . . . . . . . . 241
Die Unterrichtsreform von 1902. . . . . 243
Die Einwirkung von Merays "nouveaux elements" 244
III. Der Unterricht in Italien . . 245
Der EinfluB Cremonas 245
Altere geometrische Lehrblicher 246
Neuere Forderungen erh6hter Strenge; Veronese 247
Die Peanosche Schule 248
Reformbestrebungen . . . . 249
IV. Der Unterricht in Deutschland. . 250
Der Einflul3 des Volksschulunterrichtes (Pestalozzi und Herbart) . 250
Der 6sterreichische Lehrplan von Exner und Bonitz (1849); selbstandige
Pflege der Raumanschauung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Dbertragung dieser Tendenzen nach Norddeutschland; Holzmlillers
Lehrblicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Anregungen seitens der experimentellen Psychologie .. 254
Verhaltnis zur modernen Kunsterziehung ..... . . 256
Schopenhauers Kritik der Mathematik; Exkurs liber die Beweise des
Pythagoraischen Satzes .......... . 257
Neuere Einwirkungen seitens der Hochschule 259
Der 6sterreichische Lehrplan von 1900 und das Werk von Henrici
und Treutlein ..... . . . . . 260
Zusatz I: Erganzende Bemerkungen uber einige Fragen der Elementar-
geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Enzyklopadiereferate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Die Klassifikation geometrischer Konstruktionsaufgaben. . . . . . . 264
Dber den Konstruktionsbereich der gebrauchlichsten Zeichenhilfsmittel 265
Inhaltsverzeichnis. XI
Uber die Anwendung von Transformationen zur Vereinfachung Seite
geometrischer Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . ., 269
Neuere Literatur liber die Durchflihrung des Erlanger Programms . 272
Zur darstellenden Geometrie . . . . . . . . . . . . 273
Die Nepersche Regel und das Pentagramma mirificum . . . . .. 273
Zusatz II: Erganzungen liber den geometrischen Unterricht in den einzelnen
Landern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Allgemeines liber die Schulreformen der Gegenwart. 277
Erganzungen zu England. . 279
Erganzungen zu Frankreich 283
Erganzungen zu Italien . . 286
Erganzungen zu Deutschland (PreuBen) 289
N a men v e r z e i c h n i s 294
Sac h v e r z e i c h n i s 296
