Table Of ContentALJABAR MAX-PLUS
DAN PENERAPANNYA
M. Andy Rudhito
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP
Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta 2016
ii
PRAKATA
Aljabar max-plus merupakan suatu struktur aljabar di mana himpunan
semua bilangan real R {} dilengkapi dengan operasi max (maksimum) dan
plus (penjumlahan). Aljabar ini berawal tahun 70an, tetapi baru berkembang
dengan pesat sekitar tahun 90an. Permasalahan-permasalahan dalam jaringan (teori
graf) yang terutama terkait dengan masalah sinkronisasi dapat dimodelkan dan
diselesaikan dengan baik dengan aljabar max-plus. Permasalahan di atas yang
dengan menggunakan matematika biasa berupa model matematika yang nonlinear,
dengan menggunakan aljabar max-plus ini dapat berupa model yang linear dalam
operasinya.
Buku ini disajikan dalam beberapa bab dengan sistematika sebagai berikut.
Bab 1 pendahuluan dan motivasi yang berisi masalah-masalah yang dapat
dimodelkan dan diselesaikan dengan menggunakan aljabar max-plus, di antaranya
adalah masalah sistem jaringan kereta api, sistem produksi sederhana, penjadwalan
dalam jaringan proyek dan jaringan antrian. Bab 2 membahas konsep-konsep dasar
aljabar max-plus yang meliputi matriks dan struktur aljabarnya. Bab 3 membahas
tentang sistem persamaan linear max-plus, yang meliputi sistem input output dan
sistem iteratif. Sistem persamaan linear max-plus ini akan digunakan sebagai dasar
pemodelan masalah dengan menggunakan aljabar max-plus. Selanjutnya dibahas
beberapa penerapan dari sistem persamaan linear max-plus. Bab 4 membahas
tentang nilai eigen matriks atas aljabar max-plus. Nilai eigen ini sangat terkait
dengan permasalahan yang terkait dengan sifat-sifat periodik dinamika jaringan.
Dibahas pula beberapa penerapan dari konsep nilai dan vektor eigen maxplus ini
terkait sifat periodik sistem. Bab 5 membahas varian lain aljabar max-plus, yakni
aljabar min-plus dan aljabar max-min beserta penerapannya.
Pembahasan dalam buku ini agak mengalami kesulitan kalau tidak dibantu
aspek komputasinya dengan menggunakan komputer. Dalam tiap babnya akan
diberikan aspek komputasinya dengan menggunakan bahasa MATLAB.
iii
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada kolega
dosen di Universitas Sanata Dharma yang telah memberikan dukungan positip.
Jurusan Matematika FMIPA UGM, khusus dosen-dosen kuliah dan pembimbing
tugas akhir selama penulis menempuh S2 dan S3. Para dosen dan mahasiswa dari
berbagai perguruan tinggi di Indonesia yang telah mendiskusikan topik ini dalam
berbagai kesempatan seminar dan perjumpaan-perjumpaan baik online maupun
offline. Mahasiswa bimbingan skripsi saya, Regina Wahyudyah Sonata Ayu, yang
telah bekerja keras menyelesaikan skripsi topik aljabar max-plus, di mana hasilnya
juga merupakan bagian dari susunan buku ini. Akhirnya semoga buku ini
bermanfaat dan dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari, maupun
dikembangkan sebagai kajian ilmu matematika
Yogyakarta, Pebruari 2016
Penulis
(e-mail: [email protected])
iv
DAFTAR ISI
PRAKATA ................................................................................................... iii
DAFTAR ISI ................................................................................................ iv
BAB 1 PENDAHULUAN ............................................................................ 1
1.1 Sistem Jaringan Kereta Api ...................................................... 1
1.2 Sistem Produksi Sederhana ...................................................... 4
1.3 Penjadwalan Jaringan Proyek ................................................... 7
1.4 Jaringan Antrian........................................................................ 9
BAB 2 ALJABAR MAX-PLUS DAN MATRIKS ....................................... 12
2.1 Aljabar Max-Plus ...................................................................... 12
2.2 Matriks atas Aljabar Max-Plus ................................................. 15
2.3 Semimodul atas Aljabar Max-Plus ........................................... 23
BAB 3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR MAX-PLUS
DAN PENERAPANNYA ................................................................. 28
3.1 Sistem Persamaan Linear Input-Output (SPLIO)
Max-Plus .................................................................................. . 28
3.2 Penerapan pada Sistem Produksi Sederhana ............................. 37
3.3 Eksistensi dan Ketunggalan SPLIO Max-Plus .......................... 58
3.4 Penerapan pada Masalah Ramp-Handling Pesawat ................. 75
3.5 Aljabar Matriks dan Teori Graf ................................................. 83
3.6 Sistem Persamaan Linear Iteratif (SPLI) Max-Plus .................. 93
3.7 Penerapan pada Penjadwalan Proyek ........................................ 98
BAB 4 NILAI, VEKTOR EIGEN MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA... 111
4.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus ................................... 111
4.2 Penerapan pada Penjadwalan Kereta .......................................... 119
4.3 Penerapan Analis Model Antrian ................................................ 123
BAB 5 ALJABAR MIN-PLUS DAN ALJABAR MAX-MIN SERTA
PENERAPANNYA .............................................................................. 128
5.1 Aljabar Min-Plus ........................................................................ 128
v
5.2 Penerapan Aljabar Min-Plus pada Masalah Lintasan
Terpendek ................................................................................... 132
5.3 Aljabar Max-Min ........................................................................ 140
5.4 Penerapan Aljabar Max-Min pada Masalah Kapasitas
Maksimum ................................................................................. 145
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 148
INDEKS ........................................................................................................... 151
vi
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat beberapa masalah yang dapat
dimodelkan secara matematis dengan sistem dinamika, misalnya sistem produksi
perakitan, sistem jaringan telekomunikasi, sistem pemrosesan paralel pada
komputer, sistem jaringan kereta, dan sebagainya. Dalam bab ini akan diberikan
masalah-masalah dalam sistem jaringan kereta api, sistem produksi sederhana,
penjadwalan dalam jaringan kerja dan jaringan antrian yang dapat dimodelkan
dengan menggunakan aljabar max-plus.
1.1 Sistem Jaringan Kereta Api
Diperhatikan suatu sistem jaringan kereta sederhana yang disajikan dalam
Gambar 1.1.1 berikut:
5
2 3
3
Gambar 1.1.1 Jaringan Kereta Api Sederhana
Misalkan di suatu kota terdapat dua stasiun keretaS danS yang dihubungkan
1 2
dengan suatu jaringan rel kereta seperti pada Gambar 1.1.1 di atas, dengan dua
kereta untuk tiap stasiun. Misalkan pada waktu keberangkatan pertama empat
kereta tersebut melakukan perjalanan sebagai berikut. Kereta pertama berangkat
dari stasiun S , mengantar dan menjemput penumpang di pinggiran kota dan
1
kembali ke S . Kereta kedua berangkat dari stasiun S ,mengantar dan menjemput
1 1
penumpang di tengah kota dan menuju ke stasiunS . Kereta ketiga berangkat dari
2
stasiun S ,mengantar dan menjemput penumpang di tengah kota dan menuju ke
2
stasiun S .Kereta keempat berangkat dari stasiun S ,mengantar dan menjemput
1 2
1
2
penumpang di pinggiran kota dan kembali ke S . Pada waktu keberangkatan
1
kedua perjalanan kereta sebagai berikut. Kereta pertama dan keempat kembali
melakukan perjalanan seperti pada waktu perjalanan sebelumnya. Kereta kedua
berangkat dari stasiun S , mengantar dan menjemput penumpang di tengah kota
2
dan menuju ke stasiun S . Kereta ketiga berangkat dari stasiun S ,mengantar dan
1 1
menjemput penumpang di tengah kota dan menuju ke stasiun S . Pada waktu
2
keberangkatan ketiga perjalanan kereta seperti pada waktu perjalanan pertama,
demikian seterusnya. Dengan demikian jaringan rel kereta ini dapt dipandang
terdiri dari satu lingkar dalam (S S S )dan dua lingkar luar (S S dan
1 2 1 1 1
S S ).
2 2
Kereta mencapai stasiun lain (atau yang sama) setelah suatu waktu
tertentu, yang disebut sebagai waktu perjalanan, seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 1.1.1 di atas. Keberangkatan kereta di suatu stasiun harus menunggu
kedatangan kereta yang lain sehingga penumpang mempunyai kesempatan
berganti kereta untuk menuju tempat yang diinginkan. Waktu untuk menunggu
kereta lain dan penumpang berganti kereta ini telah diperhitungkan dalam waktu
perjalanan. Stasiun di pinggiran kota tidak dipertimbangkan karena tidak
mempunyai peranan yang penting dalam pemodelan.
Misalkan tidak ada jadwal keberangkatan kereta dan kereta langsung
berangkat setelah penumpang berganti kereta pada suatu stasiun. Didefinisikan :
x (k+1) : waktu keberangkatan ke-k + 1 pada stasiun S untuk i = 1, 2 .
i i
Jika proses keberangkatan dan kedatangan suatu kereta berkesinambungan, maka
didapat:
x (k+1) = max (2 + x (k), 5 + x (k)),
1 1 2
(1.1.1)
x (k+1) = max (3 + x (k), 3 + x (k) ),
2 1 2
untuk k = 0, 1, 2, ... .
Jika operasi max dinotasikan dengan , operasi penjumlahan dinotasikan dengan
, maka persamaan (1.1.1) dapat dituliskan sebagai berikut:
x (k+1) = (x (k) 2) (x (k) 5),
1 1 2
3
(1.1.2)
x (k+1) = (x (k) 3) (x (k) 3).
2 1 2
Jika persamaan (1.1.2) di atas dituliskan dalam persamaan matriks, dengan cara
yang serupa pada aljabar matriks biasa, di mana operasi penjumlahan diganti
operasi maksimum dan operasi perkalian diganti dengan operasi penjumlahan,
maka diperoleh persamaan matriks berikut:
𝑥 (𝑘 +1) 2 5 𝑥 (𝑘)
[ 1 ] = [ 1 ] (1.1.3)
𝑥2(𝑘+1) 3 3 𝑥2(𝑘)
Persamaan (1.1.3) di atas secara ringkas dapat juga dituliskan sebagai
x(k+1) = A x(k) (1.1.4)
2 5
dengan x(k) = [x (k), x (k)] T dan A = .
1 2 3 3
Dalam prakteknya jaringan rel kereta beroperasi berdasarkan jadwal
keberangkatan. Jadwal keberangkatan terdiri dari waktu keberangkatan kereta
dari semua stasiun. Hal ini berarti bahwa sebuah kereta tidak dapat meninggalkan
stasiun sebelum waktu jadwal keberangkatannya, meskipun kereta yang
ditunggunya telah datang. Didefinisikan:
d (k + 1) : jadwal keberangkatan ke-(k+1) pada stasiun S untuk i = 1, 2 .
i i
Kemudian didapat x (k+1) untuk i = 1, 2 sebagai berikut:
i
x (k+1) = max (x (k) + 2, x (k) + 5, d (k + 1)),
1 1 2 1
(1.1.5)
x (k+1) = max (x (k) + 3, x (k) + 3, d (k + 1)),
2 1 2 2
untuk k = 0, 1, 2, ... .
Jika operasi max dinotasikan dengan , operasi penjumlahan dinotasikan
dengan , maka, persamaan (1.1.5) atas dapat dituliskan sebagai berikut:
x (k+1) = (x (k) 2) (x (k) 5) d (k + 1),
1 1 1 1
(1.1.6)
x (k+1) = (x (k) 3) (x (k) 3) d (k + 1),
2 1 2 2
4
untuk k = 0, 1, 2, ... . Jika persamaan (1.1.6) dituliskan dalam persamaan matriks
akan diperoleh persamaan matriks berikut
2 5 d (k 1)
x(k+1) = x(k) 1 (1.1.7)
3 3 d2(k 1)
untuk k = 0, 1, 2, ... , dengan x(k) = [x (k), x (k)] T .
1 2
Persamaan matriks (1.1.7) di atas dapat juga dituliskan dalam persamaan berikut:
x(k+1) = A x(k) d(k + 1) (1.1.8)
2 5
untuk k = 0, 1, 2, ... , dengan x(k) = [x (k), x (k)] T, A = dan d(k + 1) =
1 2 3 3
[d (k + 1), d (k + 1)]T .
1 2
Pada bab-bab selanjutnya akan dibahas bagaimana cara menentukan
keberangkatan awal kereta sehingga waktu keberangkatan selanjutnya akan
periodik untuk periode waktu tertentu.
1.2 Sistem Produksi Sederhana
Diperhatikan suatu sistem produksi sederhana (Schutter, 1996) yang
disajikan dalam Gambar 1.2.1 berikut:
d = 5
1
u(k) t = 2 t = 1
1 3
d = 3
3
t = 0 y(k)
5
d = 6 t = 0
2 4
t = 0
2
Gambar 1.2.1 Sistem Produksi Sederhana
Sistem ini terdiri dari 3 unit pemrosesan P, P , P . Bahan baku dimasukkan ke
1 2 3
P danP , diproses dan dikirimkan keP . Waktu pemrosesan untuk P, P dan P
1 2 3 1 2 3
berturut-turut adalah d = 5, d = 6 dan d = 3 satuan waktu. Diasumsikan
1 2 3
Description:komputer, sistem jaringan kereta, dan sebagainya. Dalam penjadwalan dalam jaringan kerja dan jaringan antrian yang dapat dimodelkan dengan
