Commerce et Mathématiques du Moyen Age à la Renaissance, autour de la Méditerranée. Actes du Colloque international du Centre International d'Histoire des Sciences Occitanes (Beaumont de Lomagne, 13-16 mai 1999)

185 Pages·2001·12.742 MB·French+English+Italian+Occitan

Commerce et Mathématiques
du Moyen Age à la Renaissance, autour de la Méditerranée
Actes du Colloque international du
Centre International d'Histoire des Sciences Occitanes
(Beaumont de Lomagne, 13-16 mai 1999)
Editions du c.i.H.S.O.
Dpt de Mathématiques -Université Toulouse II
5, allées Antonio Machado
F-:\ 1058 Toulouse
A la mémoire de Jean Cassinet
III
PRÉFACE
SuIs camins de sciéncia "Tota llengua fa foc"
1
Felip Carbona
Universitat Tolosa II
Lo colloqui de 1992 : "Matematicas en Occitania ; dels Arabes a Pèire
de Fermat" es estat un acte fondator. Fuguèt la pèire cantonièra que s'i es
bastit, de per la volontat dei Joan Cassinet, 10 C.I.H.S.O. La toca èra de
cavar mai prigond e mai luènh le rega dubèrta an aquela data que mercava a
l'encop los 500 ans de la prumièra edicion dei Compendion de l'Abaco de F.
Pel6s e de la casuda deI reiaume nasrid de Granada, darrièr estat andal6s
d'Espanha.
Aquela creacion aviâ una finalitat dobla :
- contunhar l'exploracion de las tèrras desconegudas 0 mal conegudas
apercebudas 0 reconegudas a la lèsta a l'escasença d'aquel colloqui ;
- arribar a far sintèsis, e mai parcialas, per confirmar perspectivas
entrevistas e ne desengatjar de las novas.
L'idèa retenguda pel colloqui de Bèumont de Lomanha de 1999 èra
"d'ensajar d'aprigondir, e de compréner milhor atal, 10 rotIe istoric jogat
pels mercadièrs dins la transmission da la cultura matematica entre Edat
Mejana e Renaissença, mas tan ben d'ensajar de saber COSS! aquela cultura
matematica a pogut contribuir a cambiar l'èime dels sabents dels sègles 16 e
17 e dubrir atal vias novas dins 10 biais de pensar la sciéncia, dit d'un autre
biais: d'alestir l'edat modèrne". Aquel colloqui se plaçava doncas en plen
sus la rega fixada.
Frederic Il de Hohenstaufen (1194 - 1250) èra un orne d'una curiositat
intellectuala de las bel as e d'una cultura de las belas tanben. Èra un poliglot
remirable ; jove parlava italian (sa lenga mairala), arabe (lenga apresa ambe
sos compatriotas arabofones de Sicflia) e occitan (la lenga de la lirica dels
trobadors e per aquo lenga de prestigi a l'escala europèa) ; aprendrà 10 grèc,
10 catalan, l'ebrèu, 10 latin e l'alemand (la lenga de son paire). Frederic èra
tanben l'orne politic pus important de son temps: rei de Sicflia, emperaire
deI Sant-Empèri, rei de Jerusalèm, etc. En 1243 una crosada, eveniment
politic e militar màger, es en preparacion. L'orne mai poder6s desapareis
pendent mai d'una setmana. Daissa los afars deI mond per qualque - res pus
important. Es anat a Pisa encontrar Leonard Fibonacci, 10 matematician pus
conegut d'occident. Vol 0 tot saber suis algorismes e compréner las
aplicacions de l'algèbra en geometria. Dirà : "Aquelas jornadas fuguèron de
1 Titol d'un recuèlh de poèmas publicat en 1955 de Jôrdi Pere Ccrdà (escais de l'escrivan catalan, nascut cn
1920, Antoni Cayrol). L'autor joga sus la proximitat [onetica de llcnya (Ienha) e ~ (Ienga). Lo meleis
j6c es possible ambc mai 0 mens de semblança, sus lot l'arc latin, mas pas a Paris; a Madrid: lefia 1~ ,
a Barcelona : !km:a 1 ~ ; a Tolosa: k!!.lli! 1 kn.g,a ; a Lisbona : k.!!ha Il!!!g,ua ; a Roma: legna 1li.!.!Jill.g
; a Cagliari lin.!!a Il.i.!nba ; a Udine: Jtn 1 ~ ; a Bucarèst : lemn llimba.
v
PRÉFACE
las pus aürosas de ma vida, qu'i poguèri exerçar sense empach mon Sur les chemins de science "Tota llengua fa foc"
1
afogament per las matematicas aquela activitat de princes se n'i a una".
Alavetz : activitat de princes 0 de mercadièrs ? "Per l'onor de l'esperit
Philippe Carbonne
uman", coma dirà Jacobi, 0 per la pratica mercando ? Nos gardarem plan de Université Toulouse Il
trencar. Las comunicacions publicadas aqui vos ajudaran a vos fargar un
vejaire.
Nostra toc a es pas de deflorar 10 subjecte ambe aquelas linhas
d'introduccion. Voldriam sonque far ressortir tres punts que retrobam en Le colloque de 1992 : Mathématiques en Occitanie; des Arabes à Pierre
fons de cadre dins totas las intervencions. de Fermat a été un acte fondateur. Il a été la pierre d'angle sur laque!le a
La prumièra es la complexi tat deI fenomèn de transmission de las été bâti, de par la volonté de Jean Cassinet, le C.I.H.S.O. Le ?ut etaIt. d~
coneissanças matematicas. Aquela transmission s'es faita sovent per la creuser plus profond et plus loin le sillon ouvert en cett~ date qUI marquatt a
circulacion dels ornes. Notam Toscans en Occitania, Aragoneses a Paris, la fois les 500 ans de la première édition du CompendlOn de l:abaco d,e F.
Italians a Lion, etc. Emai China apareis en rèire-plan. 1 a aqui matèira per Pellos et de la chute du royaume narride de Grenade, dermer des etats
una sintèsi 10 moment vengut. andalous d'Espagne.
La substitucion deI libre estampat al manuscrit dins las darrièras La finalité de cette création était double:
annadas deI sègle 15 càmbia en prigondor aquela circulacion de las idèas. Es _ continuer l'exploration des terres inconnues ou mal connues aperçues
de notar que 10 libre pus prumièr estampat en occitan es un tractat de ou rapidement reconnues lors de ce colloque;
matematicas, pas una obra literària, pas un tractat juridic tanpauc ni un _ arriver à faire des synthèses, même partielles, pour confirmer des
obratge religi6s. perspectives entrevues et en dégager de nouvelles.
La circulacion dels ornes, 10 desvolopament de l'edicion imprimida, La volonté affichée pour le colloque de Beaumont de Lomagne de 1999
mas tan ben et mai que mai, ço sembla, la quista d'un public nou son una était de "tenter d'approfondir, et donc de mieux ~oI?prendre, le rôle
sonada a l'emplec de maitas lengas "vulgaras" e a la revirada dins totas las historique joué par les marchands dan~ la transm~sslOn .de la culture
direccions. Lo grèc, l'arabe e 10 latin son pas pus en situacion de monopoli mathématique entre Moyen Age et Renatssance, ma~s au S,SI de .tente~, de
coma lengas sabentas dins l'airaI europeo-mediterranèn. Coma avèm causit savoir comment cette culture mathématique a pu contnbuer a modifier 1e tat
d'o botar en titol : "Tota Ienga fa foc". Aqui tanben tenèm un tèma que d'esprit des savants du 16e siècle et du 17e siècle et ain~i ouvri~ des v~~es
s'amerita un aprigondiment seguit d'una sintèsi. nouvelles dans la façon de penser la science, autrement dit de preparer 1e re
Lo DI Mohamed Souissi nos ditz : "Som estat regdament interessat per moderne". Ce colloque s'inscrivait donc en plein dans la ligne fixée.
l'edicion (en 1995) dels actes deI colloqui de Tolosa e Bèumont de Lomagne Frederic II de Hohenstaufen (1194 - 1250) était un homme de grande
de 1992 [ ... ). Aquo m'a butat a tomar sul sicut". Que sia mercejat per aquel curiosité intellectuelle et de grande culture. C'était un polyglot~e
testimoniatge directe de l'utilitat deI trebalh deI C.I.H.S.O. Poguèssem, mila remarquable: jeune il parlait l'italien (sa lan~u~ mate~nell~), l'arabe (appns
ans aprèp Gerbèrt, en aquela virada novèla deI calendièr, portar la nostra auprès de ses compatriotes arabophones ~e SIcIle) et 10ccIta? (la,la?gue de
contribucion, per tant pichona que sia, a la circulacion de las idèas e dels la lyrique des troubadours et de ce fmt langue de. pr~S!Ige a 1 ec~elle
ornes e, l'esperam, "dubrir vias novas". européenne) ; il apprendra le grec, le catal~n" le. franç~Is, 1h ebreu, le, latm et
l'allemand (la langue de son père). Fredenc etatt aUSSI, en Europe, 1 ho~me
politique le plus important de son temps: roi ~e Sici~e, ,empereur d~. Samt
Empire, roi de Jerusalem, etc. En 1243 une crOIsade, evenement pOhtl9ue et
militaire très important, est en préparati?n. L'hom~e le plus pUIssant
disparaît pendant plus d'une semaine. Il lals~e, les. affalfes du monde pour
quelque chose de plus important. Il est aIle a. PIse rencontrer Leo~ardo
Fibonacci, le mathématicien le plus connu d'OccIdent. Il veut tout saVOIr sur
1 Tilfe d'un recueil de poèmes publié en 1955 de Jordi Pere Cerdà (pseudonyme.de l'écrivain catalan, né en
1920, Antoni Cayral). L'auteur joue sur la proximité phonétique de lIenya (bOIS de ch~uffag~) et lIengu.a
(langue). Le même jeu est possible, avec plus ou moins de ressemblance, sur tout l'arc ~at111,. malS p,a~ à, P~IS
; à Madrid: Icfia / legua ; à Barcelone: lIenya /...l!.c.rul..Ya ; à Toulouse: lenha / kn&a ' à LIsbonne. lenhcl /
.li!.J.g1!.l! ; à Rome: llaulil / lingua ; à Cagliari: lin.llil / Iimba ; à Udine: ltn / ~ ; à Bucarest: lem /
li!nha.
VI VU
PRÉFACE
L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS
les algorirhmes et veut comprendre les applications de l'algèbre ~n
géométrie. Il dira: " ces journées ont été ~armi les plus heur~use~ de ma VIe L'algèbre de Sumer à Pamiers
car j'ai pu exercer sans obstacle ma paSSIOn pour les mathematlques, cette
activité princière s'il en fut".
Jacques Sesiano
Alors : activité de princes ou de marchands ? "Pour l'honneur de
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
l'esprit humain" comme dira Jacobi, ou pour la pratique marchande? Nous
nous garderons de trancher. Les communications publiées ici vous aideront à
vous forger une opinion.
Notre but dans ces lignes d'introductions n'est pas de déflorer le sujet.
Il est habituel de considérer le moyen âge comme une période de
Nous voudrions simplement faire ressortir trois aspects des choses que l'on
stagnation, durant laquelle les connaissances reçues ne progressèrent pas,
retrouve en fond de tableau dans toute les interventions.
restant même bien en deçà des connaissances antiques. L'intérêt porté à la
La première est la complexité du phénomène de transmission des
civilisation médiévale a pourtant fait naître des avis atténuant fortement cette
connaissances mathématiques. Cette transmission s'est souvent faite par
attitude conventionnelle. La présente étude se propose de réconcilier ces
circulation des hommes. Nous notons des Toscans en Occitanie, des
adversaires en leur donnant raison, sur un sujet particulier du moins: il est
Aragonais à Paris, des Italiens à Lyon, etc. La Chine apparait même en
parfaitement vrai que la connaissance de l'algèbre n'a guère dépassé le
arrière plan. Il y a là matière à synthèse le jour venu.
niveau antique durant le moyen âge; il est assurément incontestable que la
La substitution du livre imprimé au manuscrit dans les dernières années
connaissance de l'algèbre s'est singulièrement étendue durant le moyen âge.
du Ise siècle change profondément cette circulation des idées. Il est
Cette apparente contradiction, la clef de notre tentative de réconciliation, est
intéressant de noter que le premier livre imprimé en occitan est un traité de
que ce sont les seules techniques antiques qui ont permis aux mathématiciens
mathématiques, pas une œuvre littéraire, ni, un traité juridique ou un médiévaux d'étendre le domaine des nombres rationnels positifs à certains
ouvrage religieux. types d'irrationnels puis aux nombres négatifs.
La circulation des hommes, le developpement de l'édition imprimée,
mais aussi et surtout, semble-t-il, la recherche d'un public neuf sont un appel
I. Antiquité
à l'utilisation de nombreuses langues "vulgaires" et à la traduction en tous
sens. Le grec l'arabe et le latin ne sont plus en situation de monopole comme
Depuis l'antiquité, les équations des deux premiers degrés qui possèdent
langues savantes dans l'aire européo-méditerranéenne. Comme. nous .avons
une solution positive, la seule alors acceptable, sont usuellement classées en
choisi de le mettre en titre: "Toute langue alimente le feu". ICI aUSSI nous
six types ayant soit deux soit trois termes mais toujours avec des coefficients
avons un thème qui mérite un approfondissement suivi d'une synthèse. positifs.
Le Dr Mohamed Souissi nous dit : "j'ai été excessivement intéressé par
l'édition des actes du colloque de Toulouse et Beaumont de Lomagne de 1. ax2 = bx II. ax2 = c.. III. bx = c
1992 [ ... ]. Cela m'a incité à revenir sur le sujet." Qu'il soit remercié pour ce
témoignage direct de l'utilité du travail du C.I.H.S.O. Puissions-nous, mille IV. ax2 + bx = c, avec la solution
ans après Gerbert, en ce nouveau tournant du calendrier, porter notre
.y
contribution aussi modeste soit-elle, à la circulation des idées et des hommes
:~ (~2+ac
et, nous l'espérons, "ouvrir des nouvelles voies" +
x =
a
V. ax2 = hx + c, avec la solution
x
a
VI. ax2 + c = hx, avec (pour autant que (~)2 > ac) les deux solutions
a
VIII
L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS
On rencontre de telles connaissances déjà dans des textes cunéiformes
~uis ?ans l'antiquité, grecque. Mais il est rare que les résolutions de~ On aura ainsi le nouveau système
eq~atIOns ou de proble~es du. second d~gré mènent à une solution autre que
r~tIOnnelle: Ce sont nean,?OI~s ces memes connaissances qui suffiront à 1
1 mtroductIOn de nombres IrratIOnnels au moyen âge. En d'autres termes le x2 + x3 = m1+1 (S+y)
moye~ âge n'aura pas. besoin d'autres notions que ces connaissances antiq~es
1
pour etendre le domame des nombres admis aux nombres irrationnels. x1+ x3=--(S+y) ( * )
m2+1
1
~'antiquité grecque connaissait aussi une règle permettant de résoudre x1 + x2 = -+1 (S+y)
c,ertams . systèmes linéair~s. de n équations à n inconnues, et c'est celle que m3
1 on attrIbue au pythagOrICIen Thymaridas. Jamblique (vers 300 après 1.-c.)
nous rens~igne s.ur cette règle, dite En:av8THHX, et sur J'application que l'on dont on peut, si l'on veut, introduire les équations dans le système originel,
peut en faIre. SOIt (dans notre écriture) le système proposé obtenant ainsi
n m1
S + y == LXi + Y = Il x] + y = m]+l (S+y)
i=l
m2
X1 + Y = m1 X2+Y=--I(S+y) ( * * )
m2+
X2 +Y = m2
m3
X3 + Y = -+1 (S+v).
m3 . -
Xn + y = mn
où Xi' y sont les n+ 1 inconnues et Il, mi les n+ 1 grandeurs données. La règle
Si l'un de S et y est connu, l'autre sera déterminé en ajoutant les équations
de Th~maridas enseigne que l'inconnue principale y (de laquelle se déduit la de (*), ce qui établira une relation entre Set S+y. Si S+y n'est pas donné, le
connaIssance des autres) est déterminée par
problème est indéterminé et on pourra le poser; l'examen des fractions de
(m] + m2 + ... + mn) -11 (*) permettra de choisir une valeur de S+y amenant des nombres entiers à
y = n-l droite. Ajoutant les équations, on aura 2S égal à une somme d'entiers, et la
Ce résultat est obtenu en ajoutant les n équations trinomiales, puisqu'on connaissance de S et y rend aisée la déduction des Xi' Le système (**) serait
trouve
traité semblablement.
n y + Il - Y = m] + m2 + ... + mn' Nous ignorons si cette application de la règle de Thymaridas, qui résout
d'où l'on déduit la règle. des systèmes linéaires en y complétant les équations et en les ajoutant, a été
Avec cette règle, dit Jamblique, on peut résoudre d'autres systèmes transmise ou si, plus simplement, elle a été retrouvée à l'époque médiévale.
linéaires. Ainsi, le système Quoi qu'il en soit, elle y a été largement utilisée, et c'est elle qui est à
l'origine de l'introduction des nombres négatifs. Ici à nouveau, le moyen âge
x]+y=m1(X2+ X3) n'aura pas besoin d'autres notions que ces connaissances antiques pour son
x2+y=m2(x1+ x3) second accroissement du domaine des nombres admis, qui J'étendra aux
{ nombres négatifs.
x 3 + Y = m 3(X 1 + x 2)
où m l' m 2' m 3 sont des quantités données devient, en ajoutant à chaque II. Moyen âge islamique
=
équation l'expression entre parenthèses et en posant xJ + x2 + x3 S,
La tradition arabe en général, et Ibn Khaldün en particulier, veut que le
s+y=(m1 + 1)(X2+ X3) second algébriste fut, après al-KhwarizmÏ (vers 820), Abü Kamil (fin du
{ S+y=(m2+ 1)(X1+ X3) IXe siècle). Le premier qui écrivit sur cette branche des mathématiques,
S+y=(m3+ 1)(x1+x2)'
apprenons-nous de J'encyclopédiste, fut Abü 'Abdallah al-Khwârizmt,
après lequel vint Abü Kâmil Chudja' ibn Aslam. On a généralement suivi la
2
3
~ •• ~...,~I.H'-L!Je .JLJlvitl( A l'AMIt:K.') L'ALGÈBRE DE SUMER À. PAMIERS
méthode de ce dernier dans cette science, et son traité sur les six problèmes
de ['algèbre est l'un des meilleurs ouvrages composés sur cette science. (1) Cas de x2 + px = q
La différence entre les deux auteurs est beaucoup plus considérable que
ne le laisserait deviner cette courte mention. L'importance d'al-KhwarizmI Il n'y a qu'une seule solution positive, que les textes en arabe décrivent
réside surtout dans son rôle d'initiateur: ayant écrit des ouvrages largement (verbalement) selon la formule
accessibles, il contribua à répandre le goût des disciplines scientifiques et à 1·
provoquer ainsi de nouvelles vocations. En revanche, le second destine son x = ~ (~) 2 + q -
écrit à ceux qui ont déjà trouvé leur vocation: ses lecteurs seront des Supposons (fig. 1 p. 19) que le carré ABCO représente x2; prolongeons
mathématiciens, formés à l'étude des Eléments d'Euclide auxquels il renvoie 1
lorsqu'il le faut. Au reste, il sait aussi vulgariser: dans sa géométrie AB de BE = puis complétons le carré AF; celui-ci comprend .donc les
pratique, il fait totalement abstraction, et intentionnellement comme il le
carrés AC et CF ainsi que les rectangles CG et CE. Par la constructIOn, nous
mentionne, de la connaissance d'Euclide.
savons que
Oans la forme au moins, le traité d'Abu Kamil est bien l'héritier de
l2
celui CE = CG = 2 x.
d'al-KhwarizmI. L'expression est purement verbale, il n'y a aucun symbole, Examinons maintenant la figure formée par CG, CE et AC. D'après
et seuls les termes désignant l'inconnue et ses puissances sont caractéristiques l2 2 l" d '
l'équation, son aire doit être égale à q. Comme CF = (2)' aIre u carre
du langage algébrique. Les chiffres, d'usage courant dans les traités
arithmétiques, en sont complètement absents, les quantités numériques étant
entier AF sera égale à (})2 + q, mais sera aussi égale, selon la construction,
décrites en mots. Entïn, les connaissances de base du calcul algébrique,
multiplication de binômes, calcul avec les racines carrées, résolution des
à (x + ~)2. L'égalité des deux expressions illustre la formule de résolution
équations sont accompagnées d'illustrations géométriques permettant au
lecteur de vérifier la formule enseignée sur une figure. posée initialement.
a. Les illustrations géométriques (2) Cas de x2 = px + q
Quoique la justification de formules à l'aide de figures géométriques L'unique solution positive est
suggérerait une influence grecque, al-KhwarizmI ne mentionne nulle part le 1 (1)
nom d'Euclide. Il n'yen avait aucun besoin: ses illustrations reposent sur des x = + ~ 2 + q .
constructions géométriques faisant appel à la vue et à l'intuition. A l'opposé, Supposons (fig. 2 p.19) que le carré ABCO représente x2, que EB est
i·
Abo Kamil renvoie explicitement à Euclide, certaines de ses illustrations = =
p, et faisons de F le milieu de EB, en sorte que EF FB Complétons la
étant de simples applications de deux théorèmes du livre II d'Euclide.
L'illustration des formules de résolution des équations à l'aide de la
· P . GO - GH - 12 les rectangles GC et CF sont l'un et l'autre
géométrie restera usuelle dans l'algèbre islamique -partant, dans le moyen fIgure. Ulsque - - 2' '
âge chrétien. Certains auteurs continueront à faire appel à une géométrie i
égal à x, et donc DI + lB + 2·IC = px. Comme IC = Il, et. en tenant compte
intuitive, d'autres utiliseront les théorèmes d'Euclide, d'aucuns enfin auront
recours aux deux types de démonstrations, et enseigneront en outre de l'équation, nous trouvons que Gl + Al + lF = q. Ajoutant de part et
comment construire la solution par la règle et le compas, en s'appuyant sur
le livre V d'Euclide. d'autre le carré 11, nous obtenons la relation (x - })2 = (~)2 + q, de laquelle
C'est le cas de l'auteur, resté pour nous anonyme, d'un petit ouvrage
se déduit la formule de résolution.
d'algèbre conservé par le manuscrit 5325 de la Bibliothèque Astan Qods de
Mechhed. Il dit avoir composé son traité (en 395 de l'hégire, 1004/5 de l'ère (3) Cas de x2 + q = px
chrétienne) en utilisant diverses sources. Quoi qu'il en soit de son
originalité, ses démonstrations "intuitives" des équations trinomiales
résument fort bien celles que l'on trouve antérieurement, raison pour
laquelle nous les présenterons ici.
4 5
,
L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS
L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS
et l'équation possède donc, si le discriminant est positif, deux solutions
acquis par l'un coûtaient chacun trois dirhams de moins que ceux de son
positives. Ces deux possibilités sont expliquées dans le manuscrit examiné ici
compagnon. En équations, nous aurons donc
à l'aide d'une seule figure (fig. 3 p.l9).
i,
Supposons que AB égale en sorte que AC = (1)2, et représentons par ju+v=10
tp u = (p - 3) v = 3 6 .
AD la solution x, avec soit AD > AB soit AD < AB, conformément aux
deux possibilités de signe dans la formule. Complétons la figure (en
L'illustration géométrique, qui précède la résolution algébrique,
conservant, comme le fait le manuscrit, l'emploi de mêmes lettres pour les
s'interprète comme suit. Soient (fig. 4 p.19) AB les dix vêtements, AG la
deux solutions). Désignons par N le moindre des carrés AE et par M et S les
part du premier et GB celle du second. Représentons par GE le prix d'un
deux rectangles (d'aire égale) qui l'enferment. Dans le cas de la moindre
des vêtements de AG et par GD celui d'un des vêtements de GB. Il apparaît
solution, représentée par le moindre carré AE, on a
ainsi que DE = 3 et que chacune des deux surfaces AE et DB vaut 36. Si GB
AB·AD=M+N
et est, dit Abü Kamil, l'inconnue x, on aura EZ = 3x, donc BY = AY·AB = 72
AB· AD = N + S = AE + S; + 3x, et par suite, puisque AB = 10,
dans le cas de la plus grande solution, représentée par le majeur des deux 36 3
AY=5+ 10x.
carrés AE, on a
AB· AD = M + N + S + EC + CD Comme AY = GD + 3,
et 21 3
GD = 5+ 10x;
AB·AD = AE - CE - CD.
Nous trouvons donc par addition que dans les deux cas donc
2·AB·AD = M + N + S + AE. 21 3
Or, 2·AB·AD = px et AE = x2, donc M + N + S = q. Ainsi, considérant DB = GD·GB = 5 x + 10 x2 = 36,
l'égalité des deux carrés EC et chacune des deux possibilités pour AD, d'où l'équation cherchée x2 + 14x = 120, avec la solution x = 6.
= = La résolution proprement algébrique vient après cette résolution
(i)2 - q (i - x)2 (x - i)2
géométrique -bien teintée, il est vrai, de raisonnement algébrique. Abü K
ce qui illustre la formule. );a)mil pose x pour l'achat d'un des deux hommes, donc 10-x pour celui de
l'autre, et obtient ainsi successivement
On pourrait penser que ces illustrations étaient destinées à rassurer le p(10 - x) + (p - 3)x = 72,
lecteur qui, comme saint Thomas, préférait le palpable à l'affirmation 10p = 3x + 72
péremptoire, et que l'algèbre, s'affirmant et s'affinant avec Abü Kamil, 3 36
allait rendre leur présence superflue. Ce fut exactement le contraire qui se p = 10x + 5
produisit, du moins pour un temps. En effet, Abu Kamil renforça le rôle puis, comme (p - 3)x = 36,
des représentations géométriques, car elles interviennent même dans certains l2~
10 x + 5 x = 36
problèmes, lorsqu'il faut en établir la formule de résolution. Le
raisonnement more geometrico a ainsi la préséance sur quelque ars qui est l'équation déjà rencontrée. Toute cette résolution est bien entendu
calculatoria certes plus rapide mais sans l'élégance de l'aspect et la sûreté de purement verbale. Ainsi, l'inconnue x est désignée par le terme habituel
l'expression que forge le commerce continu avec des esprits raffinés. Les «chose» (chay'); quant à notre p, il est, lui, le «prix de chaque habit» payé
débuts de l'analyse vivront une même situation, le «nouveau calcul» étant par l'un des deux hommes.
considéré par certains, dont Huygens, comme pratique mais moins assuré
que les méthodes géométriques traditionne]]es. b. L'usage de nombres irrationnels
Montrons par un exemple que]]e forme prend la géométrie dans la
résolution d'un problème d'Abü Kamil, celui qu'il expose dans le livre II de Dans l'introduction de son livre d'algèbre, Abü Kàmil avait annoncé
v r qu'il exposerait des problèmes menant à «d'autres espèces» d'équations que
son Algèbre (fol. 82 -83 du texte arabe, lignes 1741-1789 de la traduction
les six types usuels. C'est l'objet du livre III de son Algèbre, qui commence
latine). Deux hommes y sont dits avoir acquis dix vêtements pour 72
comme suit: J'ai découvert de nombreux problèmes de calcul algébrique qui
dirhams; chacun a dépensé la même somme, 36 dirhams, mais les vêtements
mènent à d'autres espèces que les six expliquées dans mon présent ouvrage.
6
7
L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS
Je vais en expo,~'er quelques-uns, qui permettront de connaître cette e,~pèce de
calcul algebnque. La particularité de cette nouvelle espèce de calcul
d'une fraction. L'originalité de ce livre III de l'Algèbre d'Abu Kamil est
~pparaîtra d'un exemple pris de ce livre III (fol. 46v -47v du texte arabe
l'acceptation de quantités irrationnelles, tant comme données que comme
lIgnes 2551-2599 du texte latin). Il y est proposé de déterminer deu~
solutions, alors que ceci était autant que possible évité chez les auteurs
grandeurs, u et v (u > v ), telles que
antérieurs. Comme une innovation est d'autant mieux acceptée qu'elle est
répétée, Abo Kamil s'étend dans le livre III sur des exemples de ses
«nouvelles espèces», amplement assez pour en faire ressortir le caractère
original, juste point assez pour en dégoûter le lecteur. Ainsi, le vingt
cinquième amène l'équation peu commode
Abu Kami1 prend ~ comme inconnue x; la seconde équation aura donc, dans 36 ... l, 282 [ 15 ... 1 498
x2+ [ 176+ +-'J 31558+ = 35+ +-'J 1262+
notre écriture symbolique, la forme 39 1521 39 1521
1
x2 = x2 + 2 dont une solution positive, encore moins commode, est
ou
x4 + 2x2 = 1,
en sorte que 315+1858251 + 451+11502219 + 395'130+22''301537''464710 - 31 '5S8+fs8221'
x = ~r--..fi-2- _- 1 v
u
Même si les nombres irrationnels chez Abu Kamil sont exclusivement
Selon la première équation, on a
des irrationalités quadratiques, on doit admettre que c'est avec lui que les
v = 10 - u,
nombres irrationnels deviennent vraiment des nombres à part entière. Il en
et donc
est bien convaincu, lui qui affirmait si vigoureusement avoir étendu le
~_10-u champ de l'algèbre à de nouveaux types d'équations. Mais il faut bien
u u
reconnaître que l'aspect le plus novateur est dans la forme, et qu'il se traduit
Le résultat précédent permet donc de poser surtout par le désagrément que causent les calculs. Dans le fond, les
10-u ~I connaissances sont antiques, et même le but du livre III est dicté par
--='V..fi-l
u l'antiquité: le livre III doit familiariser le lecteur avec les irrationalités
qui se réduit à quadratiques parce que le livre IV appliquera l'algèbre aux polygones
u2 + 100 - 20u = u2(..fi - 1) étudiés par Euclide, dont le lien entre côté et rayon dépend de la résolution
ou d'équations quadratiques (et qui, de ce fait, sont constructibles par la règle et
(2-..fi)u2 + 100 = 20u, le compas). La domination de la géométrie grecque reste donc ici manifeste
ou encore, après transformation, : c'est Euclide qui accompagne l'algèbre dans l'établissement des formules;
u2 + 100 + vl5000 =u (20 + vl200) c'est Euclide aussi qui fixe l'évolution des calculs algébriques.
d'où la solution
III. Moyen âge chrétien
u = 10 + {50 - -V 5 0 + vi 5000 .
~out~s ~e~ connaissances amenant cette solution étaient déjà Connues a. La première voie de transmission de l'algèbre
dans 1 antIqUl te. Il en va de même de la relation
L'Europe du début du moyen âge ne connaissait de la mathématique
1 -{Q + vlb antique que de pâles reflets: des extraits des Eléments d'Euc1ide évitant les
-{Q ± vlb = a - b démonstrations, une adaptation due à Boèce de l'Introduction à
l'arithmétique de Nicomaque, des ouvrages d'arpentage, une collection de
problèmes de géométrie pratique ou récréatifs réunie par Alcuin. C'est dire
e?seig~ée dans le livre X des Eléments d'Euclide, qui permet de faire
l'importance qu'eut, au XIIe siècle, la rencontre avec la science grecque et
dlsparmtre une somme ou une différence de deux racines du dénominateur
musulmane en Espagne et, dans une moindre mesure, en Sicile. C'est aussi
en Espagne que les premiers commentaires ou ouvrages originaux
8
9
T
L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS
L'ALGÈBRE DE SUMER À PAMIERS
apparurent, même si bien évidemment ils étaient encore totalement
b) Puis il établit ensuite cette formule comme suit. Posons (fig. 5 p.19) BD
dépendants d'oeuvres en arabe. Le plus important en est le Liber = xl> DA = x2' en sorte que AB = l. Traçons, perpendiculairement à AB,
mahameleth, composé sans doute par Johannes Hispalensis (Jean de Séville)
vers 1140 à Tolède. Le titre fait d'une pierre deux coups: il annonce le sujet les segments DK = a] et DG = a2' puis complétons le rectangle. On aura
ainsi BK = a]x] et DT = a2x2' Formons alors sur BD un rectangle DH dont
et dévoile les sources : mu' amalia est la dénomination arabe de la
mathématique appliquée à la science du négoce. l'aire soit égale à celle de DT (le théorème 1,43 des Eléments d'Euclide
démontre que dans tout parallélogramme les deux parallélogrammes
Nous avons vu que dans son Algèbre Abu Kamil n'hésitait pas à utiliser
"complémentaires", semblables au parallélogramme principal et qui se
des quantités irrationnelles dans les calculs et qu'il utilisait des figures
touchent en un point sur la diagonale principale, sont égaux). On aura donc:
géométriques pour illustrer les résolutions non seulement dans le cas des
HK = BK - DH = a]x] - a2x2 = b; comme d'autre part BI = AB·DK = a],
équations quadratiques mais encore dans les problèmes. Alors que dans
l'Orient musulman l'algèbre s'affranchissait peu à peu de cette tutelle de la on aura aussi BI - HK (= a] - b) = DH + DI = DT + DI = KT = (a] + a2)x2'
géométrie et venait à gagner une certaine indépendance, l'Occident Il apparaît également de la figure que GK-DB = (a] + a2)x] = HK + HG =
musulman resta en dehors de cette évolution. Il demeura fidèle aux principes HK + BT = b + a2'
de l'époque d'Abl1 Kamil, augmenta même l'emploi de la géométrie. Le
Liber mahameleth en est le meilleur exemple. La résolution de chaque c) La résolution algébrique prend x2 comme inconnue x, et introduit 1 - x
nouveau type de problème y prend généralement trois aspects séparés: une dans la première relation en remplacement de x].
formule toute faite que l'on peut se contenter d'appliquer; une résolution
géométrique qui montre que cette formule peut être établie par la géométrie
Voyons maintenant à quels résultats peuvent mener certains problèmes
d'Euclide; enfin, une résolution algébrique. L'influence d'Abl1 Kàmil du Liber mahameleth. Une quantité de setiers inconnue est vendue pour un
apparaît aussi de la disposition et de la forme: comme chez Abu Kamil, le prix inconnu, et une autre quantité de setiers, elle aussi inconnue, est vendue
Liber mahameleth se termine par des problèmes de nature récréative ou des au même prix à l'unité; sachant que le produit de la première quantité par
son prix est 10 et celui de la seconde par son prix 30, et que la somme des
systèmes linéaires à plusieurs équations; comme chez Abu Kamil aussi, tout
quantités et des prix est 20, déterminer les quantités et leurs prix.
est exprimé en mots, les quantités numériques aussi. Deux problèmes de
Si, dans notre écriture, n J et n2 figurent les quantités et P J et P2 leurs
l'Algèbre d'Abo Kamil en avaient mis en évidence pour nous les deux
prix, le système à résoudre est
caractéristiques de l'emploi de la géométrie et des irrationnels; deux
exemples du Liber mahameleth nous assureront de leur maintien.
nrp] = 10
• Un problème de change nous apprend qu'une pièce d'or est convertie n2'P2 = 30
{
en deux espèces de monnaies dont trente de l'une et dix de l'autre valent n]+n2+p]+P2=20.
ladite pièce et que, à l'issue du change, le nombre des pièces de la première
espèce dépasse de vingt le nombre des pièces de la deuxième espèce. Etablissons la formule de résolution. Comme les prix à la pièce sont les
Le système proposé aura donc, dans notre écriture, la forme
mêmes, on sait que
a]x] - a2x2 = b p] P2
{x] + x2 = 1 =
= = n] n2
avec a] = 30, a2 10, b 20. Nous devons déterminer les deux quantités de Ceci nous permet d'écrire
pièces a lX] et a2x2' n2P] n2
n2 + P2 = n2 + --= - (n] + P ])
n] n]
a) L'auteur énonce au début, et sans justification, la formule permettant de
en sorte que
calculer la réponse:
n2
a] - b n] + n2 + p] + P2 = (n] + p] )(-+ 1).
x2 = a] + a2 ' d'où x] = 1 - x2' n]
Comme d'autre part
t
~ '-;;;2 ,
n2 = 2)2 = -_\ J
-;;;Pl
ni n J
10
11