Brauergruppen: LATEX-Bearbeitung von Ole Riedlin

146 Pages·2007·1.438 MB·German

by  Ina Kersten

Dieser Universitätsdruck wendet sich an Studierende der Mathematik ab dem vierten Ina Kersten
Semester und knüpft an den Stoff einer Algebra-Vorlesung an. Es werden nicht-
kommutative Körper, die über ihrem Zentrum endlich-dimensional sind, betrachtet.
Brauergruppen
Ein Beispiel ist der von Hamilton 1844 eingeführte Quaternionen-Schiefkörper, der
4-dimensional über den reellen Zahlen ist. Allgemeiner werden endlich-dimen-
sionale einfache Algebren studiert, die einen vorgegebenen Körper als Zentrum
enthalten. Diese bilden nach geeigneter Einteilung in Äquivalenzklassen eine Grup- LATEX-Bearbeitung Ole Riedlin
pe, die nach dem Mathematiker Richard Brauer benannt wurde. Die Brauergruppe
spielt in weiten Teilen der reinen Mathematik eine wesentliche Rolle.
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ISBN 978 - 3 - 938616 - 89 - 5 Universitätsdrucke Göttingen Universitätsdrucke Göttingen

Ina Kersten
Brauergruppen
Except where otherwise noted, this work is
licensed under a Creative Commons License
erschienen in der Reihe der Universitätsdrucke
im Universitätsverlag Göttingen 2007
Ina Kersten
Brauergruppen

LAT X-Bearbeitung
E
von Ole Riedlin

Universitätsverlag Göttingen
2007
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Anschrift der Autorin
Prof. Dr. Ina Kersten
Bunsenstraße 3–5
37073 Göttingen
http://www.uni-math.gwdg.de/kersten/
[email protected]

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Satz und Layout: Ina Kersten und Ole Riedlin
Umschlaggestaltung: Kilian Klapp

© 2007 Universitätsverlag Göttingen
http://univerlag.uni-goettingen.de
ISBN: 978-3-938616-89-5
5
Vorwort
Dieser Universit¨atsdruck enth¨alt den Stoff der Vorlesung Brauergruppen,
die ich im WS 2001/02 an der Universit¨at G¨ottingen gehalten habe. Ge-
genu¨berdemurspru¨nglichenVorlesungsskript,dasvondemdamaligenStu-
denten Ole Riedlin in LATEX gesetzt worden ist, haben sich hier einige
A¨nderungen ergeben, zum Beispiel sind die U¨bungsaufgaben hinzugefu¨gt
worden. Der Universit¨atsdruck Brauergruppen setzt die Reihe Analytische
Geometrie und Lineare Algebra (AGLA) und Algebra fort und dient im
Sommersemester 2007 als Begleittext zur Vorlesung Algebra II.
SoweitErgebnisseausdenUniversit¨atsdruckenAGLAI,IIundAlgebrabe-
nutztwerden,werdensiehierinderFormvon vgl.AGLA11.4“ oder vgl.
” ”
Algebra 16.1“ zitiert.
Ein herzlicher Dank geht an Kristin Stroth fu¨r sorgf¨altiges Korrekturlesen.
M¨arz 2007 Ina Kersten
Abku¨rzende Schreibweisen
∃ es gibt
∀ fu¨r alle
=⇒ folgt
⇐⇒ genau dann, wenn
\ ohne
(cid:3) Ende des Beweises
|M| Anzahl der Elemente einer Menge M
m∈M m ist Element der Menge M
M ⊂N M ist Teilmenge von N (d.h. m∈M =⇒ m∈N)
a6b a ist kleiner oder gleich b
a<b a ist kleiner als b
a|b a teilt b
Standardbezeichnungen
N:={1,2,3,...} Menge der natu¨rlichen Zahlen
Z:={0,±1,±2,±,...} Ring der ganzen Zahlen
Q K¨orper der rationalen Zahlen
R K¨orper der reellen Zahlen
C K¨orper der komplexen Zahlen
GL (K) Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen mit Eintr¨agen in K
n
F K¨orper mit q Elementen
q
id: M →M, m7→m, Identit¨at
Brauergruppen,Universita¨tGo¨ttingen2007
Inhaltsverzeichnis
0 Worum geht es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.1 Vereinbarungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.2 U¨bungsaufgaben1–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Einfache Algebren 15
1 Struktursatz von Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 OppositionellerRing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Endomorphismenringu¨bereinemSchiefk¨orper . . . . . . . . 16
1.4 MinimaleLinksideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 EinLemmavonBrauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 EinfacheRinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 EinfacheModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 EinHilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10 Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11 StruktursatzvonWedderburn(1907) . . . . . . . . . . . . . 22
1.12 U¨bungsaufgaben3–5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Zentrum und Zentralisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 ZentraleAlgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 DasZentrumeinesMatrizenringes . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 DasZentrumeinereinfachenAlgebra. . . . . . . . . . . . . 24
2.4 TensorproduktvonAlgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 DerZentralisatoreinesTensorproduktes . . . . . . . . . . . 26
2.6 TensorproduktvoneinfachenAlgebren . . . . . . . . . . . . 27
2.7 TensorproduktvonzentraleneinfachenAlgebren . . . . . . . 28
2.8 Beispielefu¨rzentraleeinfacheAlgebren. . . . . . . . . . . . 29
2.9 U¨bungsaufgaben6–9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Definition der Brauergruppe von K . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1 Nu¨tzlicherHilfssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 DefinitioneinerAzumaya-Algebra . . . . . . . . . . . . . . 30
Brauergruppen,Universita¨tGo¨ttingen2007
Inhaltsverzeichnis 7
3.3 DasTensorproduktvonAundAop . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 A¨hnlichkeit(oderBrauer-A¨quivalenz) . . . . . . . . . . . . 31
3.5 DieBrauergruppeBr(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 DieBrauergruppeeinesalgebraischabgeschlossenenK¨orpers . 32
3.7 FunktoriellesVerhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.8 CharakterisierungvonAzumaya-Algebren . . . . . . . . . . 34
3.9 DieDimensioneinerAzumaya-Algebra . . . . . . . . . . . . 35
3.10 DerIndexteiltdenGrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.11 U¨bungsaufgaben10–12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Der Satz von Skolem-Noether und der Zentralisatorsatz. . . . 37
4.1 EinModullemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 DerSatzvonSkolem-Noether . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Satzu¨berinnereAutomorphismen . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 EinfachheitdesZentralisators . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 DerZentralisatorsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.6 Anwendungvon4.5aufK¨orpererweiterungen . . . . . . . . . 42
4.7 EineDimensionsbeziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.8 U¨bungsaufgaben13–15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Zerf¨allungsk¨orper und maximale Teilk¨orper . . . . . . . . . . 44
5.1 DerBegriffdesZerf¨allungsk¨orpers . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 MaximalkommutativeUnterringeeinesSchiefk¨orpers . . . . . 44
5.3 Lemmau¨bereinfacherzeugteTeilk¨orper . . . . . . . . . . . 45
5.4 MaximaleTeilk¨orpereineszentralenSchiefk¨orpers . . . . . . 45
5.5 SeparableElementeinD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.6 ExistenzeinesseparablenZerf¨allungsk¨orpers . . . . . . . . . 47
5.7 ExistenzeinesgaloisschenZerf¨allungsk¨orpers . . . . . . . . . 47
5.8 Folgerungfu¨rdieBrauergruppe . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.9 Satzu¨berendlich-dimensionaleZerf¨allungsk¨orper . . . . . . . 48
5.10 U¨bungsaufgaben16–19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.1 LemmaausderGruppentheorie . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 SatzvonWedderburn(1905) . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 DieBrauergruppeeinesendlichenK¨orpers . . . . . . . . . . 51
6.4 EineAnwendungvon6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5 SatzvonFrobenius(1878) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.6 DieBrauergruppedesK¨orpersderreellenZahlen . . . . . . . 54
6.7 DerSatzvonTsen(hierohneBeweis) . . . . . . . . . . . . 54
6.8 U¨bungsaufgaben20–21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Brauergruppen,Universita¨tGo¨ttingen2007
8 Inhaltsverzeichnis
Kohomologische Beschreibung der Brauergruppe 55
7 Verschr¨ankte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 A¨hnlichkeitmiteinemverschr¨anktenProdukt . . . . . . . . 55
7.3 Strukturanalysefu¨rverschr¨ankteProdukte . . . . . . . . . . 56
7.4 U¨ber2-Kozyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.5 Konstruktionvonverschr¨anktenProdukten . . . . . . . . . . 58
7.6 U¨ber2-Kor¨ander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.7 Isomorphiekriteriumfu¨rverschr¨ankteProdukte . . . . . . . . 63
7.8 DiezweiteKohomologiegruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.9 DieersteKohomologiegruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.10 U¨bungsaufgaben22–25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 Die Isomorphie H2(G,L∗)’Br(L/K) . . . . . . . . . . . . . 68
8.1 Normierungvon2-Kozykeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2 Multiplikativit¨atssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.3 Hauptsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.4 DieIsomorphieH2(K)’Br(K) . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.5 EinDarstellungslemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.6 Inflationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.7 Folgerungfu¨rdieBrauergruppe . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.8 U¨bungsaufgaben26–29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9 Exponent und Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.1 EinweiteresDarstellungslemma . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.2 TorsioninderBrauergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.3 DerExponentteiltdenIndex . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.4 ExponentundIndexhabendieselbenPrimteiler . . . . . . . 79
9.5 PrimfaktorzerlegungeinesSchiefk¨orpers . . . . . . . . . . . 80
9.6 EindeutigkeitderPrimfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . 81
9.7 U¨bungsaufgaben30–32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10Zyklische Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.2 Struktursatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.3 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.4 Multiplikativit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.5 Isomorphiekriteriumfu¨rzyklischeAlgebren . . . . . . . . . . 84
10.6 DierelativeBrauergruppeimzyklischenFall . . . . . . . . . 85
10.7 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.8 InflationssatzimzyklischenFall . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.9 WeitererBeweisdesSatzesvonWedderburn . . . . . . . . . 88
10.10 Zyklizit¨atsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.11 U¨bungsaufgaben33–36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Brauergruppen,Universita¨tGo¨ttingen2007