Table Of ContentRugo ARIZMENDI PEIMBERT
Angel M. CARRILLO ROYO
Miguel LARA AP ARICIO
Instituto de Matemáticas y Facultad de Ciencias
Universidad Nacional Autónoma de México
.
ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA
Argentina 8 Brasil 8 Chile 8 Colombia 8 Ecuador
España 8 Estados Unidos 8 México 8 Perú
Puerto Rico 8 Venezuela
@2 003p or SociedadM atemáticaM exicana( VersiónE lectrónica)
ApartadoP ostal7 0-450; 04510,M éxico, D. F.
@1987p or ADDISoN-wmLEYmEROAMERICANA, SA
WilmingtonD, elawareE, .UA
@1987por SistemasT écni~ de Edición, SA de C.V.
SanM arcos 102,l1alpan. 14000M éxico, D.F.
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fotorreproducción,m emoria o cualquier otro, sinp ermisop or escrito del editor. Miembro de la
Cámara Nacionald e la Industria Editorial, registro número 1312.
Impreso en México.P rinted in Mexico.
ISBN 0-201-64020-1A ddison-Wesley Iberoamericana
ISBN 968-6630-29-5S istemasT écni~ de Edición
CDEFGHDKL- M -99876 543210
Se terminó de imprimir el día 27 de abril de 1990 en los talleres de Litográfica Ingramex,S .A
Centeno 162-1,0 9810 México,D .F. La tirada fue de 1000e jemplares.
[V]
Este libro comprende material suficiente para un primer curso de cálculo
diferencial e integral de dos semestresd e duración.
Del título se desprende que el libro va dirigido a estudiantes de nivel su-
perior, pues damos por supuesto que el material básico para estudiantes de
ciencias exactas se ha cubierto por completo.
Este texto es también adecuado para estudiantesd e ciencias de la ingeniería
si, a juicio del profesor de la asignatura, se suprimen algunas demostraciones
de teoremas de los cuales sólo interese su aplicación.
La experiencia demuestra que para afianzar los conocimientos teóricos
adquiridos es necesaria la resolución de ejercicios. Por ese motivo, el lector
encontrará en esta obra una cantidad apreciable de ellos, además de suge-
rencias sobre la solución de muchos.
El material de cada capítulo va precedido por una pequeña biografia de
un precursor del cálculo y por la descripción de algunos acontecimientos
culturales de su época que hayan podido influir en él. Lo primero se hizo
para apreciar la profundidad del pensamiento del personaje,y lo segundo, para
situarlo en la época correspondiente.
A fin de no confundir las ideas y conceptos del cálculo, y no alargar de-
masiado el texto, no incluimos algunos resultados de geometría analítica ni de
álgebra. Aunque, en caso necesario, el lector siempre podrá consultar algunas
de las obras incluidas en la bibliografia.
Por último, queremos agradecer a varios profesores sus sugerencias y co-
mentarios acerca del manuscrito; en especial, al doctor Alberto Barajas Celis
por sus atinadas indicaciones sobre las biografias. Agradecemos también a
Addison-Wesley Iberoamericana, en particular a nuestros amigos Juan José
Fernández Gaos y Laura Milena Valencia Escobar, por su paciencia y apoyo
editorial para la presentación de este libro.
Ciudad Universitaria, UNA M
Hugo ARIZMENDI PEIMBERT
Angel M. CARRILLO HoyO
Miguel LARA APARICIO
[VII]
AROUIMEDES (287 a 212 a.C.) . 2
4
Números Introducción. Números Intervalos Inecuaciones Elementos EjerciciosNúmeros Valor La El axioma recta absoluto.. coordenada racionales .irracionales máximo del reales supremo y mínimo de un conjunto...
4
5
8
11
.20
21
23
26
27
29
GALlLEO GALlLEI (1564 a 1642).. 34
36
GLFFFFa.uur á nnufccicniiooacnn eeioss nes inversa de ltirnigeduoaennl eaos m .é,.t.ricas una función función :
40
43
48
59
62
CCouGorvrráadfseic.n uaansd CaIso nes de tngonocmurevtansc apso lares , cuya expresiónI nversas está , dada en forma polar
65
68
7778
Ejercicios
JOHANNES KEPLER (1571 a 1630) 82
Continuidad . 84
IDnetrfiondicuiócnc ióden función continua 84
89
123...
VIII INDICE GENERAL
FEujenmcipolnoes s dec onftuinnucaiosn es en coinnttienruvaaslo s. en intervalos. 92
93
Ejercicios 180
112
RENE DESCARTES (1596 a 1650)
Límite de una función. 114
Introducción 114
Definición de límite de una función 115
Límites de ciertos tipos de funciones 120
Algunos teoremas sobre límites 121
Límites de sumas, productos y cocientes de funciones 123
Procedimientos para el cálculo de algunos límites.. 129
Límites infinitos y límites cuando la variable tiende a infi-
nito 131
Asíntotas 139
Ejercicios 142
FRANCESCO BONAVENTURA CAVALIERI (1598 a 1647). 148
.150
TADDDalDCgneeeLueogrrraiiinrmevvv iovaaanpsadddtoe caaas i sóic nió n derivada teoremas add ee de de una lau na de las funciones funcióncu rvfuan cionfuensf cuinocnieósn sobre inversa...t rdigeorinvaocmióénctr oicmaps uesta trigonométricas inversas
.150
.157
.162
.163
.164
.166
.169
.170
DEejDeriirvfceaircdeioanssc ial de de ordenu na función superior
.173
.180
PIERRE DE FERMAT (1601 a 1665). 186
Dibujo de gráficas. Teorema del valor medio 188
Introducción 188
Criterios para determinar máximos, mínimos o puntos de infle-
xión 199
Problemas de máximos y mínimos planteados con palabras... 206
Una generalización del teorema del valor medio. Teorema de
Cauchy 211
456...
INDICE GENERAL IX
La regla de L'Hópital y la forma indeterminada O/O 212
La regla de L 'Hópital y la forma indeterminada O/Oc uando la
variable crece indefinidamente 213
La regla de L'Hópital y la forma indeterminada 00/00 214
Otra generalización del teorema del valor medio. Teorema de
Taylor... 215
Fórmula y teorema de Taylor 218
Desarrollos especialesd e la fórmula de Taylor... 220
Ejercicios 222
ISAAC BARROW (1630 a 1677). 230
7. Funciones 109 y exp. 232
Introducción. 232
La función exponencial 237
Otras bases 240
Derivadas de las funciones exponenciales 241
Derivación logaritmica 242
Funciones hiperbólicas y sus derivadas.. 243
Funciones hiperbólicas inversas 247
Límites de algunas funciones especiales.. 249
Ejercicios 255
ISAAC NEWTON (1642 a 1727) 258
8. Sucesiones y series 260
Definiciones y notaciones 260
Operaciones con sucesiones 262
Subsucesiones 263
Sucesionesc onstantes,m onótonas y acotadas 264
Convergencia de sucesiones 267
Límites .importantes 275
Algunos resultados y ejemplos sobre sucesionesq ue divergen
a 00 ó -00 277
Algunos criterios sobre la convergencia de sucesiones.. 279
Sucesionesd e Cauchy 283
Demostración de dos teoremas sobre funciones continuas 286
Series,d efiniciones y notaciones 289
Operaciones con series 290
Subseriesy rearreglos de una serie 290
Convergencia de series .., "..,..,.., ,..,."",..,. 292
Algunos resultados relativos a las series convergentes 294
X INDICE GENERAL
Algunos resultados relativos a las seriesd e términos no negati-
vos. 295
Seriesa lternantes 296
Seriesa bsolutamente convergentes.. 298
Criterios sobre la convergenciad e las series 298
Series en forma telescópica 302
Ejercicios 303
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 a 1716) 308
9. Integración.. 310
Integral .definida 311
Integrabilidad de las funciones continuas 317
Sumas de Riemann 321
Propiedades de la integral definida.. 324
Teorema del valor medio para integrales 328
Teoremasf undamentalesd el cálculo. Una primitiva de una fun-
ción continua. Cálculo de integrales definidas 330
Integrales impropias 332
Convergencia de las integrales impropias 336
Criterio de la integral para las series 339
Ejercicios 340
GEORGE BERKELEY (1685 a 1753). 344
10. Métodos de integración 346
Integrales inmediatas 346
I t .,
negraclon por partes 347
Fórmula de Taylor con residuo en forma de integral. 350
Integración por sustitución o cambio de variable. 358
Integración por sustitución trigonométrica 362
Afectación de los límites de la integral definida al cambiar de
variable. 364
Integración de funciones racionales 366
Dos métodos de Euler 373
Integrales de potencias de funciones trigonométricas... 376
Ejercicios 381
CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 a 1855) 384
11. Aplicaciones de la integral definida 386
Areas de regiones planas 386
Area en coordenadas polares 391
IN DICE GENERAL XI
Longitud de una curva 395
Longitud de una curva expresadae n forma paramétrica 397
Volumen de sólidos de revolución 398
Area de sólidos de revolución 402
Trabajo 403
Más aplicaciones de la integral definida 405
Ejercicios 411
GEORG FRIEDRICH BERNHARDT RIEMANN (1826 a
1866) 416
12. Integración numérica.. 418
Integración por rectángulos 419
Integración por trapecios 421
Polinomios de Taylor e integración numérica.. 427
E. ..
B.i]berlicolcglroasf ía recomendada... 443310
Indice de materias... 433
[2]
Arquím.edes
(287 a 212 a.C.)
La grandeza del pensamiento científico de Arquímedes ha dominado el panorama de
la ciencia durante varios siglos y trasciende hasta nuestros días.
Hijo del astrónomo Fidias, nació en Siracusa y vivió las postrimerías del imperio
helénico. Se educó en Alejandría, en ese tiempo centro universal del conocimiento.
Su obra se conoce por los escritos que a la fecha han podido rescatarse y las
referencias a ella hechas por contemporáneos suyos. Mantuvo correspondencia con
algunos maestros de Alejandría, como Conon de Samos, Dositeo de Pelusa y
Eratóstenes de Cirene.
No se conoce el método seguido por Arquímedes para llegar a sus sorprendentes
resultados matemáticos; sólo se sabe, gracias a un escrito llamado Sobre teoremas
mecánicos: el método, que dedicó a Eratóstenes, que para atacar sus problemas se
valía de cualquier cosa útil. Este método significó un claro avance respecto a la
limitación que el pensamiento filosófico de Platón imponía a los matemáticos de la
época, al permitir sólo la utilización de la regla y del compás en la solución de
problemas geométricos.
Como si lo anterior fuera poco. se adelantó 2000 año.s a N ewton y Leibniz e
inventó el cálculo integral; más aún, en uno de sus problemas se vislumbra el
descubrimiento del cálculo diferencial. Calculó áreas de figuras planas y volúmenes
acotados por superficies curvas; encontró que la razón entre la circunferencia y el
diámetro de un círculo es igual a una constante que llamó n, cuyo valor estimó entre
3~ y 3W. Proporcionó métodos para calcular raíces cuadradas; inventó un sistema de
numeración mediante el cual podían representarse números tan grandes como se
de.\'eara (recuérdense las deficiencias del método griego para representar números).
En mecánica, descubrió las leyes de las palancas; calculó las áreas y los centros de
gravedad de superficies planas y de sólidos de diversas formas; creó la ciencia de la
hidrostática .v la utilizó para encontrar las posiciones de reposo y de equilibrio de
distintos cuerpos flotantes.
La figura de Arquímedes se vio acompañada de leyendas y anécdotas. He
aquí algunas:
Al pedirle el re.v Hierón que confirmara su sospecha de que un joyero había
adulterado la corona de oro puro a él encomendada. Arquímedes encontró un princi-
pio importante de la hidrostática. Durante algún tiempo el sabio buscó. sin éxito. la
solución al problema, hasta que un día, al tomar un baño de tina, observó que el agua~
ARoulMEDES 3
se desbordaba; entonces se le ocurrió que la cantidad de agua salida de la bañera
correspondfa al volumen de la parte de su cuerpo dentro de la tina. En consecuencia,
si sumergfa la corona en el agua podrfa saber, por su cambio de nivel, el volumen de la
corona, pudiendo asf compararla con el volumen desplazado por un mismo peso de
oro. Si los dos volúmenes eran iguales, la corona estaría elaborada con oro puro; si
la corona contenta una mezcla de plata o algún otro metal, el volumen desplazado sería
diferente. A continuación, recorrió, desnudo por supuesto, las calles de Siracusa,
gritando: «iEureka, eureka!» (iLo encontré!)
Durante la segunda guerra púnica diseñó, para su amigo H ierón, artefactos bélicos
que obligaron a los romanos a prolongar tres años el sitio de Siracusa. Entre éstos se
encontraba uno capaz de levantar una embarcación por la proa y, mediante una rápida
sacudida, azotarla contra el mar; catapultas que lanzaban piedras de gran tamaño a los
barcos enemigos que se encontraban aún lejos, y piedras pequeñas en gran númerO a
aquellos que se acercaban lo suficiente.. artefactos que, sobre la base de espejos
convexos, concentraban el calor del Sol sobre las velas de los barcos romanos,
incendiando y destruyendo la flota.
Cuando los romanos tomaron Siracusa, un soldado se presentó para conducir a
Arquímedes al conquistador Marcelo. El sabio, que a la sazón tenía 75 años de edad,
se enojó porque aquél se paró sobre el diagrama geométrico que resolvía en la arena,
y le increpó: «i No moleste a mis círculos!» Por toda respuesta, el soldado desenvainó
su espada y le dio muerte. Este hecho brutal quedó resumido en el comentario de
Whitehead: «Ningún romano ha perdido la vida por estar absorto en la contempla-
ción de un diagrama matemático.»
Arquimedes
Description:Este libro comprende material suficiente para un primer curso de cálculo A fin de no confundir las ideas y conceptos del cálculo, y no alargar de-.
