Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHT DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 3090 / Fachgruppe Mathematik/Informatik
Herausgegeben vom Minister fur Wissenschaft und Forschung
Dr. rer. nat. Matthias Wehrens
Lehrstuhl A fUr Mathematik
der Rhein. -Westf. Techn. Hochschule Aachen
Approximationstheorie auf
rn?
der Einheitskugel im
Legendre-Transformationsmethoden
und Anwendungen
Westdeutscher Verlag 1981
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Wehrens, Matthias:
APpro,imationstheorie auf der Einheitskugel
im IR [IR]: Legendre-Transformationsmetho
den u. Anwendungen / Matthias Wehrens. -
Opladen : Westdeutscher Verlag, 1981.
(Forschungsberichte des Landes Nordrhein
Westfalen ; Nr. 3090 : Fachgruppe Mathe
matik, Informatik)
ISBN-13: 978-3-531-03090-6 e-ISBN-13: 978-3-322-87547-1
DOl: 10.1007/978-3-322-87547-1
NE: Nordrhein-Westfalen: Forschungsberichte
des Landes •••
© 1981 by Westdeutscher Verlag GmbH, Opladen
Herstellung: Westdeutscher Verlag GmbH
Lengericher Handelsdruckerei, 454 Lengerich
ISBN-13: 978-3-531-03090-6
Inhalt
Einleitung
2 Grundbegriffe und elementare Ergebnisse
2.1 Normen und Funktionen auf der Einheits
kugel; Legendre - Polynome 8
2.2 Die spharische Legendre - Transformation;
Translation und Faltung 12
3 Der starke Laplace - Beltrami - Differential
operator; Stetigkeitsmoduln
3. 1 Der starke Laplace - Bel trarni - Differential
operator und seine Umkehrung 18
3.2 Stetigkei tsmodul und K - Funktional auf
der Kugel 27
4 Approximation auf der Kugel
4.1 Beste Approximation 35
4.2 Allgemeine Approximationssatze fUr singu
lare Integrale auf der Kugel 40
4.3 Spezielle singulare Integrale auf der
Kugel 45
5 Das Dirichlet - problem 59
6 Ungeloste Probleme 67
Allgemeine Literatur 69
Literatur zur potentialtheorie 73
- 1 -
Ein1eitung
In dieser Arbeit soll die Approximation von auf der Ober
fUiche der 3 - dimensiona1en Einheitskuge1 definierten
Funktionen durch "einfachere" Funktionen untersucht werden;
die Approximationsgeschwindigkeit hangt dann von der "G1att
heit" der zu approximierenden Funktionen abo Diese G1attheit
wird meistens durch irgendwe1che Lipschitzbedingungen ausge
drtickt.
Die dem entsprechenden und auch andere Prob1eme der Appro
ximationstheorie in den Raumen der 2lT - periodischen, stetigen
Funktionen bzw. der 2lT - periodischen, meBbaren, zur p - ten
Potenz absolut integrierbaren Funktionen sind he ute weitgehend
ge10st (siehe z.B. [ 8]). 1m a1lgemeinen noch nicht so weit
gediehen ist die Theorie ftir die entsprechenden, mit den
Jacobigewichten w Q(t) = (l-t)a(l+t)B, tE (-l,l),versehenen
a,>,
Raume von auf (-1,1) definierten nicht - periodischen Funktionen,
die z.B. in [2 ], [4 ], [21], [31] untersucht wurden.
1m Fal1e a. = B = - 1/2, dem Chebyshev -Fall, ist die Theorie
jedoch weiter ausgebaut, da man hier viele der Ergebnisse aus
der 2lT - periodischen Theorie tibertragen kann (siehe [10], [11] ,
[12] ); eine ausftihrliche Behand1ung des Legendre - Falles
a = B = 0 finden wir in [ 14], [15], [43].
In viele~ Beweisen werden Transformationsmethoden benutzt;
im periodischen Fall wird dabei einer Funktion f ihre Fourier -
Transformierte
IT
(F2lTf)(k) :=2lT J f(t)e-iktdt,
-IT
oder im Legendre - Fall ihre Fourier - Legendre - Transformierte
1
1
:= '2 J f(t)Pk(t)dt,
-1
- 2 -
eineindeutig zugeordnet, wobei Pk die Legendre - Polynome
sind.
Fur die Approximationstheorie auf der Einheitskugel S3
im euklidischen Raurn R3 spielen die Legendre -Polynome eine
ahnliche wichtige Rolle (vgl. [6 l)i mit ihrer Hilfe wird
einer auf s3 definierten Funktion f eineindeutig eine Folge
von Kugelfunktionen ("spherical harmonics") zugeordnet, nam
lich die "spharischen Legendre -Koeffizienten" (siehe (2.2.1»
f
Yn(fiX) := 4~ Pn«x,y»f(y)ds(y),
S3
wobei <x,y> das ubliche Skalarprodukt (siehe Satz 2.1.1. a»
und ds(y) das Oberflachenelement auf S3 ist. Dies ermoglicht
dann auch hier die Anwendung von Transformationsmethoden.
Ein weiterer wichtiger 8egriff ist die Translation; sie
ist im klassischen Fall fur periodische Funktionen f gegeben
durch Tuf(t) :=f(t-u). Eine angenehme Eigenschaft dieses
Operators Tu ist die Halbgruppeneigenschaft, namlich daB gilt
TuTr = Tu+r; aber wichtiger ist die Produktformel
(F (T f» (k) eiku (F2~f) (k) •
2~ u = "
1m Legendre Fall ist der entsprechende beschrankte lineare
Operator, die "Legendre - Translation" T~, gegeben durch
(T~f) (t) iT j f (t h+ ~ J1-h2 cos <jJ) d<jJ.
o
Dieser Translationsoperator besitzt zwar nicht mehr die Halb
gruppeneigenschaft, fur ihn gilt aber wieder eine Produkt
formel:
- 3 -
Im allgemeinen Jacobi - Fall existiert fUr a;;" 8 > -1, a + 8;;" -1
auch ein Jacobi - Translationsoperator, fUr den eine entspre
chende Produktformel gUltig ist (siehe [2 ), [21).
Auf der Kugeloberflache wird nun die Translation Thf,
hE (-1,1), einer Funktion f als Integralmittel Uber einen Kreis
auf der Kugel definiert (siehe Definition 2.2.2), namlich durch
(Thf) (x) := --'1- -- f f (y) dt (y) ,
21T ),-h 2 <x,y> =h
wobei dt(y) das Bogenelement der Kurve <x,y>=h auf s3 ist. FUr
diese Translation gilt die Produktformel (siehe (2.2.8»
Ublicherweise kann mittels der Translation eine Faltung f * 9
von zwei Funktionen fund 9 definiert werden. Auf der Kugel geht
man zunachst etwas anders vor; hier wird (siehe Definition 2.2.6)
eine Funktion X, die auf (-1,1) definiert ist, mit einer auf der
Kugel definierten Funktion f gefalten, ohne daB in der Defini
tion, die auf Calderon -Zygmund [17) zurUckgeht, die Translation
explizit erscheint:
(X * f) (x) := 4~ f X «x,y» f (y) ds (y) •
s3
Allerdings wird es sich herausstellen, daB man diese Faltung
auch mit Hilfe der Translation darstellen kann (siehe (2.2.16»,
namlich
1 1
(X * f) (x) -2 f X (t) Ttf (x) dt.
-1
AuBerdem hat die Faltung samtliche Eigenschaften, die man von
einer Faltung erwartet (z.B. (2.2.12), (2.2.13».
Diese Art der Faltung ermoglicht es, singulare Integrale
mit den gleichen Kernen wie in der Legendre -Theorie in [14]
I
- 4 -
[15], [43] zu erzeugen: somit kann man viele Ergebnisse
dieser Arbeiten auf die Kugel Ubertragen.
In vie len Fallen ist die Charakterisierung der Approxi
mationsordnung der besten Approximation in einem Banachraum
durch einen allgemeinen Satz von Butzer - Scherer von 1969
(siehe z.B. [10, S. 185]) moglich. Darin werden im wesentlichen
nur eine Jackson- und eine Bernstein -Ungleichung vorausge
setzt: die "Glattheit" der Funktion wird hierbei zunachst Uber
ein K - Funktional beschrieben.
1st ITn die Menge der trigonometrischen Polynome vom Grade
.;; n, so gilt z. B. fUr stetige 21T - periodische Funktionen fund
°
< ex < r, wobei r eine natUrliche Zahl ist, daB fUr die beste
Approximation
E
n (f:C21T) :=infj max If(s) -t (s) I:t EIT } ,
s E[0,21T] n n n
genau dann
-ex
.;; M n
ist, wenn die Lipschitzbedingung
(0 > 0)
erfiillt ist. Die r - te Different ist hier gegeben durch
(siehe hierzu [ 9 , S. 120] ) •
Hier kann man also die Bedingungen an das K - Funktional im
- 5 -
Butzer - Scherer - Satz durch Lipschitzbedingungen ersetzeni
dies ist dadurch m6glich, daB das K - Funktional und der
Stetigkeitsmodul ~r(6if) ~quivalent zueinander sind.
Definiert man jedoch analog im Legendre -Fall einen Stetig
keitsmodul Uber die Translation TL, so konnte man bisher nur
. u
die entsprechende Xquivalenz fur r =1 beweisen (siehe [13],
[43])i ~hnlich verh~lt es sich fur den entsprechenden Stetig
keitsmodul auf der Kugel (vgl. [7]).
Wenn man aber den r - ten Stetigkei tsmodul auf der Kugel
nicht uber die r -te Differenz lI~f (=(1 -Th)rf) definiert,
sondern iterativ (Definition 3.2.1) durch
:= sup{lIlIh lIh lIh f II Xi 6 < hj < 1 ,j = 1 ,2 , ••• r } ,
1 2 r
so kann man eine solche Xquivalenz auch fur r > 1 beweisen.
(X ist hier ein Banachraum von auf s3 definierten Funktionen
wie in Abschnitt 2.1.) Dadurch wird es dann m6glich, die beste
Approximation En(fiX) einer Funktion f durch Polynome vom Typ
L~=o Yk(x) nun erstmalig vollst~ndig durch hahere Lipschitz
klassen zu charakterisieren (Folgerung 4.1.4). Die dabei be
nutzten Methoden lassen sich auch leicht auf andere Falle ubertragen ,
so auf den der EinheitsKugel inhoheren Dimensionen (siehe [47]),
den Jacobi-Fall (siehe [16]) und den Laguerre-Fall (in Vorbereitung) •
In Kapitel 2 werden die fur die Approximation auf der Kugel
grundlegenden Begriffe und Definitionen bereitgestellt. 1m
ersten Abschnitt werden die betrachteten Funktionenraume LP(S3)
und C(S3) definierti danach werden die elementaren Eigenschaften
der Kugelfunktionen Yn ("spherical harmonics") und der damit
eng verbundenen Legendre -Polynome aufgefuhrt. Weiterhin werden
im zweiten Abschnitt dieses Kapitels die spharischen Legendre -
Koeffizienten Yn(fiX), der Translationsoperator Th und die
Faltung X * f eingefuhrt.
- 6 -
Mittels eines uber die Translation 'h gebildeten Differen
zenquotienten wird in Abschnitt 3.1, wie bei Rudin [39], ein
verallgemeinerter Differentialoperator Dr definiert. Seine
"Urnkehrung" im Sinne der klassischen Fundamentalsatze der
Differential- und Integralrechnung ist uber die Faltung mit
einer Funktion I:;, gegeben, woraus sich ein verallgemeinerter
Integraloperator ergibt. Weiterhin wird die Differenzierbar
keit in diesem Sinne einer Funktion f ~ollstandig uber ihre
spharischen Legendre -Koeffizienten charakterisiert. In den
Beweisen werden die (Steklov-) Integralmittel ~ (siehe Defi
nition 3.1.8) benutzt, die auch in Abschnitt 3.2 eine entschei
dende Rolle spielen. Mit ihrer Hilfe konnen diejenigen Eigen
schaften des Stetigkeitsmoduls wr(O;f;X) bewiesen werden, die
nicht unmittelbar einsichtig sind, namlich Lemma 3.2.2.g) und
die entscheidende Aquivalenz zum K -Funktional (Satz 3.2.5).
In Abschni tt 4.1 wird zunachst eine Jackson - Ungleichung
(4.1.1) bewiesen; mit der entsprechenden Bernstein -Ungleichung
(4.1.2) ist es dann moglich, den bereits erwahnten allgemeinen
Approximationssatz von Butzer - Scherer anzuwenden. Die dabei
auftretende Charakterisierung der Konvergenzordnung der besten
Approximation En(f;X) auf der Kugel durch Bedingungen an das
K -Funktional kann mit Hilfe des Hauptsatzes des vorhergehenden
Abschnitts (Satz 3.2.5) durch Lipschitzbedingungen vollstandig
ersetzt werden. Das Hauptergebnis dieses Abschnittes (siehe
Folgerung 4.1.4 )sagt dann aus, daB fur 0 < 0. < r die Ungleichung
E (f;X) .;; M n-20. (n = 1 ,2,3 •.. )
n.
genau dann gilt, wenn
W r (o'· f·,X ) .;; L(1-0)0. (-1<0<1).
Fur stetige Funktionen und r =1 wurde dieses Ergebnis von
Kusnirenko [26] bewiesen; bei Dzafarov [18] findet man auch fur
r > 1 ein ahnliches Resultat, allerdings scheint der Beweis nicht
korrekt zu sein (vgl. [7 ] , [16]). Falls 0. < 1/2 ist, kann man
- 7 -
den Stetigkeitsmodul wr(6ifiX) durch den klassischen Stetig
keitsmodul sup{ If(x) - f (y) I iX,y E s3, Ix-yl < 6} ersetzen (siehe
.[ 38], vg1. auch [ 6 , S. 215 f)). Ein derartiges Ergebnis fUr
Cl ~ 1/2 scheint nicht bekannt zu sein.
Nachdem in Abschnitt 4.2 einige allgemeine Satze fiber
Approximationsordnung und Saturation von Approximationspro
zessen, die durch Faltungsintegrale ("singulare Integrale")
gegeben sind, bewiesen oder zitiert werden, ergibt ihre An
wendung auf einige spezielle singulare Integrale in Abschnitt
4.3 eine Charakterisierung der Approximationsordnung und des
Saturationsverhaltens dieser Verfahren. Die hier untersuchten
polynomialen singularen Integrale sind die von Fejer -Korovkin
und Rogosinski, die C (6) - und de La Vallee - Poussin Mittel.
Weiterhin werden nicht -polynomiale Verfahren betrachtet, nam
lich die von WeierstraB und Abel - Poisson und die Steklov
Integralmittel.
Als weitere Anwendung der Transformationsmethoden wird in
Kapitel 5 die eindeutige Losung des Dirichletproblems fur die
Kugel konstruiert. Da diese durch die Abel-Poisson-Mittel der
Randfunktion f gegeben ist, kann ihr Randverhalten vollstandig
durch die Glattheit von f charakterisiert werden.
Zum SchluB wird auf einige ungeloste probleme hingewiesen.
Bedanken mochte ich mich bei Herrn Professor Dr. P.L. Butzer
und Herrn Dr. R.L. Stens fur die kritische Durchsicht des
Manuskripts und manche wertvolle Anregung. Mein Dank gilt auch
Frau A. Stens und Frau C. Kluber fur die sorgfaltige Reinschrift.
Diese Arbeit stellt den AbschluBbericht eines unter dem Ge
schaftszeichen II B 4 - FA 8356 vorn Minister fur Wissenschaft
und Forschung des Landes Nordrhein - Westfalen geforderten
Forschungsvorhabens dar.
