Analytische und p−adische Aspekte von klassischen und Mock-Modulformen

307 Pages·2013·6.75 MB·German

Analytische und p adische Aspekte von
−
klassischen und Mock-Modulformen
Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades
der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät
der
Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn
vorgelegtvon
Karl-Heinz Fricke
aus
Belecke
Bonn, 2013
Angefertigt mit Genehmigung
der Mathematisch-NaturwissenschaftlichenFakultät
der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn
1. Gutachter: Prof. Dr. Don B. Zagier
2. Gutachter: Prof. Dr. Jens Franke
Tag der Promotion: 06. September 2013
Erscheinungsjahr: 2013
Zusammenfassung
Ausgangsthema war die Gleichverteilung von geschlossenen Geodäti-
schen auf der Modulkurve SL (Z) bei wachsender Bogenlänge. Mit
2
\H
der Theorie verallgemeinerter Funktionen (Distributionen) beweisen wir
einenSpezialfall dieserAussagedurch Integration von charakteristischen
Funktionen überGeodätische. Siegel erkannte, dass man Zyklenintegrale
derThetareihezueinerindefinitenquadratischenFormüberGeodätische
beliebiger Bogenlänge zu einer erzeugenden Funktion zusammenfassen
kann. Wir liefern viele Beispiele für Zyklenintegrale von Eisensteinrei-
hen, Poincaréreihen... Das war der Ursprung der Thetakorrespondenzen,
die Modulformen ganzen und halbzahligen Gewichts in Beziehung set-
zen. Wir konstruieren Kernfunktionen dieser Integraltransformationen
und verallgemeinern diese Korrespondenzen auf harmonische schwache
Maaßformen, die in jüngerer Zeit zum Gegenstand vieler Forschungen
geworden sind. Diese Verallgemeinerungen beruhen auf dem Prinzip der
Regularisierung von divergenten Integralen. Dazu tragen wir einige neue
Gedanken und Anwendungen auf Periodenintegrale und L Funktionen
−
bei.
Es werden verschiedene andere Lifte von schwachen Maaßformen, bei-
spielsweise von Gewicht k 0 auf 2 k untersucht, die speziell für
≤ −
Mock-Modulformen interessant sind.
In dieser Arbeit werden Aussagen zur Teilbarkeit bzw. Ganzzahligkeit
von Mock-Modulformkoeffizienten gemacht. Es gibt anschauliche Mus-
ter, was die p Ordnungen der Fourierkoeffizienten betrifft. Sie sind fast
−
gesetzmäßig, aber es gibt immer wieder Ausnahmen. Hier kommen not-
wendigerweise p adischeMethodeninsSpiel.Entscheidend istdieTheo-
−
rie schwacher Hecke-Eigenformen, die wir detailliert entwickeln. Es er-
geben sich Verallgemeinerungen der bekannten Ramanujan- und Honda-
Kaneko Kongruenzen. Wir zeigen, dass ungewöhnliche Primzahlen (z.B.
Primzahlen p k) Hindernisse für die Ganzzahligkeit von Mock-
≤ −
Modulformkoeffizienten sind. Hiermit erklärt sich, dass alle bekannten
Beispiele (Ramanujans Mock-Thetafunktionen, die Eisensteinreihe E )
2
positives Gewicht haben.
Danksagung
ZunächstmöchteichmichbeiHerrnProf.ZagierfürdieinteressanteThe-
menstellungbedanken.ErgabderDissertationdurcheigeneForschungen
immerwiederüberraschende Wendungen.Sowurdeesnielangweilig und
ein Thema fügte sich zum anderen. Die Zusammenarbeit mit ihm hat zu
erstaunlichen Einsichten geführt.
Außerdem hat Frau Prof. Bringmann sehr zum zweiten Teil der Doktor-
arbeit über Periodenfunktionen und p adische Methoden beigetragen.
−
Siehatsich immerZeitgenommen, mirmitTips undneuenForschungen
weiter zu helfen. Durch ihre schnelle und spontane Hilfe trug sie sehr zur
abschließenden Ausarbeitung der Arbeit bei.
Bedanken möchte ich mich des weiteren bei Martin Raum, der mir wert-
volle Tips zum Programmieren in Sage gegeben hat.
Das Max-Planck-Institut für Mathematik hat mich durch seine inspirie-
rende Atmosphäre über die Grenzen meines eigenen Verständnisses hin-
ausgeführt. Ohne die Nutzung der Computer am Max-Planck Institut
wäre das gesamte fünfte Kapitel der Arbeit undenkbar gewesen. Vielen
Dank an die Mitarbeiter der EDV, der Bücherei und die vielen anregen-
den Vorträge am Max-Planck Institut.
Sicher gab es viele weitere Menschen, die sichtbar oder im Hintergrund
zum Gelingen der Arbeit beigetragen haben, und sei es, dass sie stabile
Rahmenbedingungengeschaffenhaben,diekreativesForschenüberhaupt
erst ermöglichen.
Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung ii
Danksagung iii
Teil 1. Linienintegrale auf der Modulkurve 1
Einleitung 2
Kapitel 1. Gleichverteilung 10
1.1. Geodätische und quadratische Formen 10
1.2. Ambige, spiegelsymmetrische, reziproke Geodätische 13
1.3. Definition und Fourierreihe der Bogenlängendistribution 14
1.4. Grenzwert des konstanten Fourierkoeffizienten 17
1.5. Verschiedenes 19
Kapitel 2. Zyklenintegrale 31
2.1. Eisensteinreihen 32
2.2. Holomorphe Poincaréreihen 42
2.3. Nicht-holomorphe Poincaréreihen 43
2.4. Thetareihen 51
2.5. Maaßspitzenformen 56
Kapitel 3. Thetakerne 60
3.1. Maaß-Shimura Korrespondenz 60
3.2. Zagier-Lift 77
3.3. Beispiel: Eisensteinreihen 91
Teil 2. Mock-Modulformen 93
Kapitel 4. Konvergenzdurch Regularisierung 94
4.1. Notationen 94
4.2. Eichlerintegrale, Perioden- und L Funktionen 95
−
4.3. Spezielle L-Werte 106
4.4. Mock-Modulformen und Eichlerintegale 108
4.5. Konvergenzin der unteren Halbebene 109
4.6. Mock-Modulformen haben unendlich viele Schatten 111
Kapitel 5. Kongruenzen 113
5.1. Hecke-Spitzenformen 113
5.2. Galoistheorie 119
5.3. Schwache Hecke-Eigenformen 120
5.4. Ramanujan-Honda-KanekoKongruenzen 126
5.5. Ganzheit und Selbstähnlichkeit 131
5.6. Adele 135
5.7. Mock-Jacobiformen 137
Teil 3. Hintergrundmaterial, spezielle Funktionen und Tabellen 140
Anhang A. Allgemeines 141
A.1. Symmetrische Polynome 141
iv
INHALTSVERZEICHNIS v
A.2. Partielle Summation 142
A.3. Chinesischer Restsatz 142
A.4. Primzahlen und Newton-Polygone 143
A.5. Rankin-Selberg Methode für gewichtete Funktionen 146
ys 1
A.6. Die Poincaréreihe 147
2 az2+bz+cs
A.7. Spezielle Funktionen b2−P4ac=d| | 150
Anhang B. Darstellungsanzahlen 159
B.1. Allgemeines 159
B.2. Mittelwerte 160
B.3. Voronoïformeln 164
Anhang C. Modulformen und Verallgemeinerungen 172
C.1. Schwach-holomorphe Modulformen 172
C.2. Nicht-holomorphe Eisensteinreihen (Maaßformen) 180
C.3. Harmonische schwache Maaßformen (Mock-Modulformen) 185
C.4. OverkonvergenteModulformen 228
Anhang D. Integrale und Regularisierung 250
D.1. Integralformeln 250
D.2. Regularisierung 255
Anhang E. Computer-Programme 258
E.1. Geodätische (Mathematica) 258
E.2. Poincaréreihen, Eisensteinreihen (Pari) 264
E.3. p-Ordnungen (Sage) 275
Bezeichnungen und Definitionen 282
Literaturverzeichnis 291
Index 299
Teil 1
Linienintegrale auf der Modulkurve
Einleitung
Die Horozyklen C = Γ (R+iy) füllen den Standardfundamentalbereich F der Gruppe der unimodularen
y
∞ \
TransformationenΓ=SL (Z)inderPoincaréhalbebene gleichmäßigaus:C schneideteinebeliebigvorgegebene
2 y
H
offeneMengeU Ffürgenügendkleinesy >0undderAnteilderBogenlängevonC ,derinU enthaltenist,ander
y
⊂
GesamtlängevonC gehtgegendenAnteilderFlächevonU anderGesamtflächedesStandardfundamentalbereichs
y
F, falls die Horozyklenlänge gegen geht, vgl. [Zagier 10, Chapter 3B].
∞
Folgen von Geodätischen zu quadratischen Formen unbeschränkt wachsender Diskriminante in F = Γ zeigen
\H
ein ähnliches Verhalten. Sei Q(x,y)=ax2+bxy+cy2 eine primitive irreduzible ganze binäre quadratische Form
17 493
U U
16269 601953
U U
Abbildung 0.1. Geodätische im Kleinschen Modell der hyperbolischen Ebene
der Diskriminante d = b2 4ac > 0 . Die Gleichung a z 2 +b Rez +c = 0 beschreibt eine Geodätische C in
Q
− | |
, die eindeutig eine primitive, orientierte, geschlossene Geodätische Γ C in F := Γ induziert. Sei Λ die
Q Q d
H \ \H
Menge aller Geodätischen in F zu quadratischen Formen der Diskriminante d, Λ U die Teile der Geodätischen
d
∩
von Λ in U. [Duke 1] hat, ausgehend von Siegels umfangreichen Ergebnissen über ternäre quadratische Formen
d
[Siegel 3]undmitHilfevon[Maaß 3]undAbschätzungenderFourierkoeffizientenvonModulformenhalbganzen
Gewichtes ([Iwaniec 1]) gezeigt, dass für Fundamentaldiskriminanten d gilt:
l(Λ U) vol(U)
d d
∩ →∞ ,
l(Λ ) −−−→ vol(F)
d
2
EINLEITUNG 3
dabei ist l(Λ U) die Bogenlänge von Λ U und U F messbar.
d d
∩ ∩ ⊂
InAbbildung 0.1wurde stattderPoincaréhalbebenedasKleinscheModellderhyperbolischenGeometriegewählt.
Das lässt sich grafisch leichter realisieren, da Geodätische in dem Modell gerade aussehen und der Standardfun-
damentalbereich ein Dreieck ist.
Eine geometrische Aufgabenstellung, die Bogenlänge einer Geodätischen zu berechnen, wird in ein analytisches
Problem umgewandelt. Binäre quadratischen Formen lassen sich als Geodätische in der hyperbolischen Ebene
veranschaulichen. Das Integral über die Bogenlänge von Λ ist ein linearer stetiger Operator auf der Menge
d
H
der Schwartzfunktionen χ, d.h. es gibt eine Distribution D , so dass sich das Zyklenintegral als Skalarprodukt
d
(D ,χ) über den Standardfundamentalbereich F ergibt. Ihre Fourierkoeffizienten, besonders der konstante Term,
d
werdenhieruntersucht.EshandeltsichumeinzweidimensionalesAnalogonderDiracschenδ-Distributionmitden
Geodätischen zur Diskriminante d als Träger.
q(z)
D :=√d δ .
d
y
|QX|=d (cid:18) (cid:19)
Die Bogenlängendistribution D hat für festes y √3, folgende Fourier-Stieltjes-Entwicklung in x (vgl.
d ∈ 2 ∞
Bezeichnungen S.282) h i
√d √d
D (z)=4y√d 2y Nd(a) +2 ∞ 2y Sa(r,d)cos πar d−4a2y2 cos(2πrx) .
d  
Xa=1 d−4a2y2 Xr=1(cid:0)Xa=1 d(cid:0)−4pa2y2 (cid:1)(cid:1) 
p p
DasDilemmaist,dassdieFourierkoeffizientenSingularitätenbei √d haben,sodassnichtklarist,warumdieDistri-
2a
butionenfolgekonvergierensollte.Erstaunlicherweisegelingtes,IntegralmitteldeskonstantenTermsasymptotisch
abzuschätzen. Dazu benötigt man gewichtete Summenformeln für f(a)N (a). Diese lassen sich analog zum
d
a x
Beweis des Primzahlsatzes gewinnen, allerdings braucht man dazu DP≤irichletreihen mit meromorpher Fortsetzung
∞ Nd(a)
aufgroßeTeilevonC.DerPolvon beis=1ergibtdasasymptotischeVerhalten,vgl.Proposition1.4.1:
as
a=1
X
l(Λ F ) vol(F ) 1
d∩ Y d→∞ Y , dabei ist FY = z Rez < ,Imz >Y .
l(Λ ) −−−→ vol(F) | | 2
d (cid:26) (cid:27)
(cid:12)
(cid:12)
Die ganze Argumentation lässt sich auf die Verteilung von Hyperzyklen verallgemeinern, Linien, die konstanten
Abstand von Geodätischen haben. Man kann auch hier die Kerndistribution in eine Fourierreihe entwickeln. Wie
im Fall der Geodätischen gibt es auch hier Gleichverteilung der Bogenlängeim Fundamentalbereich bezüglich der
y Achse, Satz 1.5.3.1.3:
−
l(Λ F ) vol(F )
d,θ Y d Y
∩ →∞ .
l(Λ ) −−−→ vol(F)
d,θ
Im Anschluss an die Frage nach der Gleichverteilung der Bogenlänge werden allgemeiner Zyklenintegrale für
automorph transformierende Funktionen der oberen Halbebene untersucht. Anschließend an Siegels Theorie der
indefinitenquadratischenFormenlassensichZyklenintegralefürEisensteinreihenuntersuchen.ErgebnisistdieZe-
tafunktionderzugehörigenIdealklassebzw.,fallsmanüberalleGeodätischeneinerDiskriminantedsummiert,die
∞ Nd(a)
Dirichletreihe . Ausgangspunktsind die [Hecke]schen Integralformelnim reell-quadratischenFall, Satz
as
a=1
X
2.1.2.3. Das lässt sich auf beliebige Stufe (Abschnitt 2.1.3) und beliebiges Gewicht (Satz 2.1.4.1) verallgemeinern:
E (z,s)d z = ds2 Γ(s)Γ s−2k Γ s+2k ∞ Nd(a) für 2 k.
2k Λd,2k Γ(s k)Γ(s+k) as |
Z − (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)a=1
Λd X
Es ergeben sich viele Parallelen zu den Periodenintegralen von holomorphen Modulformen, [Kohnen Zagier 2].
Ähnlich gelingtes,nicht-holomorpheEisensteinreihen über Hyperzyklen(Satz 2.1.5.1) in der hyperbolischenEbe-
ne zu integrieren. Die Mellintransformierte des Konstantgliedes ist nach dem Rankin-Selberg Verfahren zugleich
das Hyperzyklenintegral der nicht-holomorphen Eisensteinreihe. Bis auf einen hypergeometrischen Faktor ist das
wieder die Zetafunktion der zugehörigen Idealklasse. Dagegen ergibt das Integral der Eisensteinreihe über einen
hyperbolischen Kreis im wesentlichen den Wert der Eisensteinreihe im (hyperbolischen) Kreismittelpunkt (Satz
2.1.6.1).
EINLEITUNG 4
Für beliebige Funktionen ist die Berechnung von Zyklenintegralenetwas schwieriger,so dass wir uns auf einzelne
Beispiele beschränken: Für Poincaréreihen hat man (Abschnitt 2.3):
P (z,s)d z = ds+41Γ 2s ∞ Sa(n,d)J π|n|√d .
Z n Λd πs2−1(2 n(cid:0))(cid:1)s−21 a=1 as+21 s−21 a !
Λd | | X
Als Anwendung betrachten wir die Dirichletreihe
∞ Sa(n,d) nb
S (s):= ,Res>1 mit S (n,d)= e ,d 0 1 (mod 4)
n,d as a 2a ≡ ∨
Xa=1 b (mXod2a) (cid:18) (cid:19)
b2 d (mod4a)
≡
und ihre analytische Fortsetzung. Ihre Polstellen enthalten die Information über alle nichttrivialen Nullstellen
der Riemannschen ζ Funktion, sowie über sämtliche Maaßformen sowie deren Spektralparameter, Satz 2.5.2.1.
−
AußerdemwerdenThetareihen(Abschnitt 2.4)und Maaßformen(Abschnitt 2.5.1)) untersucht.Es isterstaunlich,
dass sich Integrale von komplexen Funktionen über Geodätische überhaupt so gut berechnen lassen.
Viele der hier vorkommenden Ideen stehen mit dem Rankin-Selberg Verfahren in Zusammenhang. Symmetrien
der oberenHalbebene werdenbeseitigt, indem durchdie Einheitengruppe dividiertwird. Das hateinen doppelten
Nutzen. Es vereinfachtsowohlden Integrationsbereichwie auch den Integrandender Periodenintegrale,eine Idee,
die im wesentlichen auf Hecke zurückgeht.
Es ergibt sich ein faszinierender Einblick in die analytische Zahlentheorie, angefangen von Landaus Untersuchun-
gen über Dirichletreihen, Voronoïs Reihenentwicklungen für deren Koeffizientensummen (, vorausgesetzt, dass es
Funktionalgleichungen gibt), Weils Erkenntnisse über den Zusammenhang von Dirichletreihen und Modulformen,
Maaß’VerallgemeinerungdieserTheorieaufdenreell-quadratischenFallbishinzuZagiersexpliziterKonstruktion
von Kernfunktionen(distributionen) für Periodenintegrale.
Ein wesentlicher Beitrag kommt auch von der [Schwartz]schen Distribtionentheorie. Schon Wilton hat in den
dreißiger Jahren mit Differenzialen von (unstetigen) Funktionen beschränkter Schwankung gerechnet. Das sind
dann Distributionen. Nach Schwartz’ vollständiger Systematisierung der Theorie lag es nahe, sie auf die obere
Halbebene anzuwenden, um Kernfunktionen für Periodenintegrale zu konstruieren. Interessantist die Existenz
H
von Fourier-Stieltjes Reihen, deren Koeffizienten nicht wie gewohnt bei n verschwinden. Der konstante
→ ∞
KoeffizientlässtsichwieimFallvonSL (Z) invariantenFunktionenfürdieRankin-SelbergMethodeverwenden,
2
−
umPeriodenintegraleauszurechnen.Das ergibtneue einfacheBeweisefürdie HeckeschenIntegralformelnimreell-
quadratischen Fall.
Interessant ist das Auftreten der Zyklenintegrale als Fourierkoeffizienten von automorphen Formen halbganzen
Gewichts. Nach [Siegel 4] sind die Integralmittel von Thetareihen über den Majorantenraum der quadrati-
schen Formen Eigenfunktionen des Laplaceoperators. [Maaß 3] verallgemeinert das zu Integralen über Maaß-
formen. [Shintani] fand eine Korrespondenz von holomorphen Modulformen. Meine Motivation für das drit-
te Kapitel war es, die Arbeiten von [Kohnen 2] zur Shimura-Korrespondenz zu verstehen. Nach Lektüre von
[Shimura 2, Maaß 3, Katok Sarnak] ergab sich die Vermutung, dass ein einheitlicher Rahmen für all diese
Korrespondenzen von Modulformen existieren müsste, nahegelegt natürlich auch durch die vielen darstellungs-
theoretischen Arbeiten zu dem Thema. [Katok Sarnak] gaben einen Thetakern in drei Variablen an, der die
Korrespondenz von automorphen Formen von Gewicht Null auf Gewicht 1 vermittelt. Wir verallgemeinern hier
2
diese Korrespondenz auf automorphe Formen vom Gewicht 2k mit dem Thetakern:
k
aτ2+bτ+c
2k+3 η
Θ2k(z,τ):=y 4 d≡0,1X(mod4)e(dz)b2−X4ac=de4(cid:16)πy(cid:16)a|τ|2+ηbξ(cid:17)+c(cid:17)2, vgl. Definition 3.1.2.2.
Siegels Parametrisierung des Majorantenraums einer ternären quadratischen Form überträgt sich ohne weiteres
auf andere Kernfunktionen. Die Fourierkoeffizientendieses Maaßlifts werden in Satz 3.1.5.1 berechnet:
dξdη
f(τ)Θ (x+iy,τ)
2k η2
Z
F
C (f) k!C (f)
n n
= W (4πny)e(nx)+ W (4π n y)e(nx).
n>02k+23πk2+14n43 k2+41,ν2 n<022k+23πk2−14 n 34 −k2−14,ν2 | |
X X | |
Im Beweis dieses Satzes wird verständlich, warum im definiten Fall „modulare Spuren“ (Abschnitt 3.1.3) als
Fourierkoeffizienten von Modulformen halbganzen Gewichts auftreten. Diese Korrespondenz ist kompatibel mit