Analysis

300 Pages·2005·2.93 MB·German

by  Forster

Otto Forster
Analysis 1
vieweg studium
Grundkurs Mathematik
Berater:
Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann
und Gisbert Wüstholz
Lineare Algebra
von Gerd Fischer
Übungsbuch zur Linearen Algebra
von Hannes Stoppel und Birgit Griese
Analytische Geometrie
von Gerd Fischer
Analysis 1
von Otto Forster
Übungsbuch zur Analysis 1
von Otto Forster und Rüdiger Wessoly
Analysis 2
von OttoForster
Übungsbuchzur Analysis 2
von Otto Forster und Thomas Szymczak
Numerische Mathematik für Anfänger
von GerhardOpfer
Numerische Mathematik
von Matthias Bollhöfer und Volker Mehrmann
vieweg
Otto Forster
Analysis 1
Differential- und Integralrechnung
einer Veränderlichen
9., überarbeitete Auflage
Mit 55 Abbildungen
Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen
Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Otto Forster
Ludwig-Maximilians-Universität München
Mathematisches Institut
Theresienstraße 39
80333 München
[email protected]
1. Auflage 1976
2Nachdrucke
2.,durchgesehene Auflage 1979
3.,durchgesehene Auflage 1980
2Nachdrucke
4.,durchgesehene Auflage 1983
7Nachdrucke
5.,überarbeitete Auflage 1999
1Nachdruck
6.,verbesserte Auflage 2001
2Nachdrucke
7.,verbesserte Auflage 2004
1.AuflageJuli 1999
8., verbesserte Auflage 2006
2., überarbeitete Auflage März 2004
9., überarbeitete Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten
©Friedr.Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel
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Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tesinská Tiskárna, Tschechien
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in the Czech Republic
ISBN 978-3-8348-0395-5
V
Vorwort zur ersten Auflage
DiesesBuchistentstandenausderAusarbeitungeinerVorlesung,dieichim
WS1970/71fu¨rStudentenderMathematikundPhysikdeserstenSemesters
anderUniversita¨tRegensburggehaltenhabe.DieseAusarbeitungwurdespa¨ter
vonverschiedenenKollegenalsBegleittextzurVorlesungbenutzt.
Der Inhalt umfaßt im wesentlichen den traditionellen Lehrstoff der Analy-
sis-Kurse des ersten Semesters an deutschen Universita¨ten und Technischen
Hochschulen.Bei derStoffauswahlwurdeangestrebt,demkonkretenmathe-
matischenInhalt,derauchfu¨rdieAnwendungenwichtigist,voreinemgroßen
abstraktenBegriffsapparatdenVorzugzugebenunddabeigleichzeitiginsys-
tematischer Weise mo¨glichst einfach und schnell zu den grundlegenden Be-
griffen(Grenzwert,Stetigkeit,Differentiation,RiemannschesIntegral)vorzu-
dringenundsiemitvielenBeispielenzuillustrieren.Deshalbwurdeauchdie
Einfu¨hrungderelementarenFunktionenvordieAbschnitteu¨berDifferentiati-
onundIntegrationgezogen,umdortgenu¨gendBeispielmaterialzurVerfu¨gung
zuhaben.AufdienumerischeSeitederAnalysis(ApproximationvonGro¨ßen,
die nicht in endlich vielen Schritten berechnet werden ko¨nnen) wird an ver-
schiedenen Stellen eingegangen, um den Grenzwertbegriff konkreter zu ma-
chen.
DerUmfangdesStoffesistsoangelegt,daßerineinervierstu¨ndigenVorlesung
ineinemWintersemesterdurchgenommenwerdenkann.DieeinzelnenPara-
graphenentsprechenjenachLa¨ngeeinerbiszweiVorlesungs-Doppelstunden.
Bei Zeitmangel ko¨nnendie§§ 17 und 23 sowieTeileder §§16 (Konvexita¨t)
und20(Gamma-Funktion)weggelassenwerden.
Fu¨r seine Unterstu¨tzung mo¨chte ich mich bei Herrn D. Leistner bedanken.
ErhatdieseinerzeitigeVorlesungs-Ausarbeitunggeschrieben,beimLesender
KorrekturengeholfenunddasNamens-undSachverzeichniserstellt.
Mu¨nster,Oktober1975 O.Forster
VI
Vorwort zur 5. Auflage
DieersteAuflagediesesBucheserschien1976.SeitdemhatesvieleJahrga¨nge
vonStudentinnenundStudentenderMathematikundPhysikbeimBeginnih-
resAnalysis-Studiumsbegleitet.AufgrundderdamaligenSatz-Technikwaren
beiNeuauflagennurgeringfu¨gigeA¨nderungenmo¨glich.Dieeinzigewesentli-
cheNeuerungwardasErscheinendesU¨bungsbuchszurAnalysis1[FW].
BeiderjetzigenNeuauflageerhieltderTextnichtnureineneuea¨ußereForm
(TEX-Satz), sondern wurde auch gru¨ndlich u¨berarbeitet, um ihn wo mo¨glich
nochversta¨ndlicherzumachen.AnverschiedenenStellenwurdenBezu¨gezur
Informatikhergestellt.Soerhielt§5,indemu.a.dieEntwicklungreellerZah-
len als Dezimalbru¨che (und allgemeiner b-adische Bru¨che) behandelt wird,
einenAnhangu¨berdieDarstellungreellerZahlenimComputer.In§9finden
sich einigegrundsa¨tzlicheBemerkungen zurBerechenbarkeit reellerZahlen.
VerschiedenenumerischeBeispielewurdendurchProgramm-Codeerga¨nzt,so
dassdieRechnungendirektamComputernachvollzogenwerdenko¨nnen.Da-
beiwurdederPASCAL-a¨hnliche Multipra¨zisions-InterpreterARIBAS benutzt,
den ich urspru¨nglich fu¨r das Buch [Fo] entwickelt habe, und der frei u¨ber
das Interneterha¨ltlich ist(Einzelheitendazu aufSeite VIII). DieProgramm-
BeispielelassensichaberleichtaufandereSysteme,wieMapleoderMathe-
matica u¨bertragen. In diesem Zusammenhang sei auch auf das Buch [BM]
hingewiesen.
Insgesamtwurdenaberfu¨rdieNeuauflagediebewa¨hrtenCharakteristikendes
Buchesbeibehalten,na¨mlichohnezugroßeAbstraktionenundohneStoffu¨ber-
ladungdiewesentlichenInhaltegru¨ndlichzubehandelnundsiemitkonkreten
Beispielenzu illustrieren.Sohoffeich,dassdasBuchauchweiterhinseinen
LeserinnenundLeserndenEinstiegindieAnalysiserleichternwird.
Wertvolle Hilfe habe ich von Herrn H. Stoppel erhalten. Er hat seine
TEX-ErfahrungalsAutordesBuches[SG]eingebrachtunddenHauptteilder
TEXnischen Herstellung der Neuauflage u¨bernommen.Viele der Bilder wur-
den von Herrn V. Solinus erstellt. Ihnen sei herzlich gedankt, ebenso Frau
Schmickler-HirzebruchvomVieweg-Verlag,diesichmitgroßemEngagement
fu¨rdasZustandekommenderNeuauflageeingesetzthat.
Mu¨nchen,April1999 OttoForster
VII
Vorwort zur 9. Auflage
NebenderKorrekturbekanntgewordenerDruckfehler(denvielenaufmerksa-
menLeserInnenseiDank!),habeichfu¨rdie6.bis9.AuflagedenTextanver-
schiedenenStellenweiteru¨berarbeitetunderga¨nzt.Außerdemhabeichneue
AbbildungenundU¨bungsaufgabenhinzugefu¨gt.
Mu¨nchen,November2007 OttoForster
VIII
Software zum Buch
DieProgramm-BeispieledesBuchessindfu¨rARIBASgeschrieben.Diesistein
Multipra¨zisions-InterpretermiteinerPASCAL-a¨hnlichen Syntax.Erist(unter
der GNU General Public License) frei u¨ber das Internet erha¨ltlich. Es gibt
Versionen von ARIBAS fu¨r verschiedene Plattformen, wie MsWindows(von
Windows95u¨ber WindowsNTbis WindowsXP), LINUX und andere UNIX-
Systeme. Fu¨r diejenigen, die hinter die Kulissen sehen wollen, ist auch der
C-Source-Code von ARIBAS verfu¨gbar. Um ARIBAS zu erhalten, gehe man
aufdieWWW-HomepagedesVerfassers,
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/∼forster
undvondortzumUnterpunktSoftware/ARIBAS. DortfindensichweitereIn-
formationen. Da ARIBAS ein kompaktes System ist, muss nur etwa 1/4 MB
heruntergeladenwerden.
VonderobengenanntenHomepagegelangtmanu¨berdenUnterpunktBu¨cher/
Analysis auch zur Homepage dieses Buches. Von dort sind die Listings der
Programm-Beispiele erha¨ltlich, so dass sie nicht mu¨hsam abgetippt werden
mu¨ssen. Im Laufe der Zeit werden noch weitere Listings zu numerischen
U¨bungsaufgabenundzuErga¨nzungenzumTextdazukommen.Ebenfallswird
dorteineListederunvermeidlichzutagetretendenErrataabgelegtwerden.Die
aufmerksamenLeserinnenundLeserseienermuntert,mirFehlerperEmailan
folgendeAdressezumelden:
[email protected]
IX
Inhaltsverzeichnis
1 Vollsta¨ndigeInduktion 1
2 DieKo¨rper-Axiome 12
3 DieAnordnungs-Axiome 20
4 Folgen,Grenzwerte 29
5 DasVollsta¨ndigkeits-Axiom 43
6 Wurzeln 56
7 Konvergenz-Kriterienfu¨rReihen 64
8 DieExponentialreihe 75
9 Punktmengen 82
10 Funktionen.Stetigkeit 94
11 Sa¨tzeu¨berstetigeFunktionen 104
12 LogarithmusundallgemeinePotenz 114
13 DieExponentialfunktionimKomplexen 126
14 TrigonometrischeFunktionen 135
15 Differentiation 151
16 LokaleExtrema.Mittelwertsatz.Konvexita¨t 165
17 NumerischeLo¨sungvonGleichungen 178
18 DasRiemannscheIntegral 188
19 IntegrationundDifferentiation 203
20 UneigentlicheIntegrale.DieGamma-Funktion 219
21 Gleichma¨ßigeKonvergenzvonFunktionenfolgen 234
22 Taylor-Reihen 249
23 Fourier-Reihen 268
ZusammenstellungderAxiomederreellenZahlen 283
Literaturhinweise 284
Namens-undSachverzeichnis 285
Symbolverzeichnis 290