Algorithmes paralleles pour le calcul formel: algebre lineaire creuse et extensions algebriques

242 Pages·2000·1.32 MB·French

by  Dumas J.-G.

INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE
T H È S E
pourobtenirletitrede
DOCTEUR DE L’INPG
Spécialité:«MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES»
préparéeau LABORATOIRE INFORMATIQUE ET DISTRIBUTION
danslecadre del’ÉCOLE DOCTORALE «MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE»
présentéeetsoutenue publiquement
par
JEAN-GUILLAUME DUMAS
le20 décembre2000
ALGORITHMES PARALLÈLES EFFICACES POUR LE CALCUL FORMEL :
ALGÈBRE LINÉAIRE CREUSE ET EXTENSIONS ALGÉBRIQUES
DIRECTRICE DE THÈSE
Mme.Brigitte PLATEAU
JURY
M.Jean DELLA DORA, Président
M.Mark GIESBRECHT, Rapporteur
M.Paul ZIMMERMANN, Rapporteur
Mme.Brigitte PLATEAU, Directricedethèse
M.Thierry GAUTIER, Responsabledethèse
M.David SAUNDERS, Examinateur
M.Gilles VILLARD, Examinateur

T
ABLE DES MATIÈRES
Tabledesfigures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Tabledestableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Tabledesalgorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Tabledescodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Introduction 17
1 Thèse 19
2 Boîte à outils : bibliothèques de calcul formel et modèle de program-
mationparallèle 23
2.1 Linbox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 GMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 NTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 ALP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.4 Givaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.5 SparseLib++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.6 LEDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Quellangagedeprogrammationparallèle? . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Athapascan-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Interface deprogrammation . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 ÉliminationdeGaußavecAthapascan-1 . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Modèledecoût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
I Corps finis 37
3 Constructiondes corpsfinis 41
3.1 ConstructiondescorpsdeGalois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Racinesprimitivesdans lessous-groupesde (cid:0) . . . . . . . . . . . 47
3.3 Générateursdesextensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 Polynômescyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Polynômesirréductiblescreuxde . . . . . . . . . 52
(cid:1)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:4)(cid:7)(cid:6)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:10)
3.3.3 Racines primitivescreusesde . . . . . . . . . . . . 54
(cid:1)(cid:12)(cid:2)(cid:13)(cid:4)(cid:14)(cid:6) (cid:8) (cid:10)
3.4 Efficacitédel’ -Irréductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
(cid:15)
4 Arithmétiquedescorps premiers 59
4.1 Implémentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.1 Classique avecdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.2 Avecracinesprimitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.3 TotalementTabulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.4 Référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Résultatsexpérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 ComparaisonavecALPetNTL . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 Quelle arithmétiquemodulaire? . . . . . . . . . . . . . . 67
II Algèbre linéaire creuse 75
5 Méthodesde Gauß 79
5.1 Stratégiesdepivotetrenumérotation . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.1 Du remplissagedansl’algorithmedeGauß . . . . . . . . 81
5.1.2 Heuristiquesderenumérotation . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Résultatsexpérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.1 Matrices aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.2 Matrices issuesdebasesdeGröbner . . . . . . . . . . . . 88
5.2.3 Matrices d’homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.4 Matrices BIBD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.5 Méthode deMarkowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Éliminationmodulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
(cid:16)(cid:18)(cid:17)
5.3.1 FormedeSmithetnotionderang . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.2 Calcul durangdans (cid:0) / (cid:0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
(cid:19)(cid:21)(cid:20)
5.4 Algorithmesparallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.1 Un graintropfin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.2 Algorithme récursifparallèleparblocs . . . . . . . . . . . 97
5.4.3 Complexitéarithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4.4 Gaindecommunications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6 MéthodesdeKrylov 109
6.1 Du numériqueauformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.1.1 Krylovnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.1.2 Adaptationaucalculdu rang . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 AlgorithmesdeLanczos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2.1 Cassymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2.2 Casnonsymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 AlgorithmedeWiedemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3.1 Casnonsymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.2 Cassymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4 AlgorithmesdeLanczosparblocs . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4.1 Lanczosnumériqueparblocs. . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4.2 Lanczosformelparblocs,cassymétrique . . . . . . . . . 124
6.5 Polynômesgénérateursmatriciels . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.5.1 AlgorithmedeCoppersmith . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.5.2 ApproximantsdePadévectoriels . . . . . . . . . . . . . . 135
6.5.3 RésolutionToeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.6 Préconditionnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.7 QuelleméthodedeKrylov? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.8 Parallélisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.8.1 Parallélisationdel’algorithmedeWiedemann . . . . . . . 140
6.8.2 Parallélisationdesalgorithmesparblocs . . . . . . . . . . 143
7 DavidetGoliath:calculdu rangde matricescreuses 145
7.1 Bestiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.1.1 Aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.1.2 Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.1.3 BasesdeGröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.1.4 BalancedIncompleteBlockDesign . . . . . . . . . . . . 149
7.2 Quelalgorithmepour lerang? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
III Forme normale de Smith entière 155
8 Étatde l’art 159
8.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.2 Méthodesdirectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.2.1 KannanetBachem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2.2 A.Storjohann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2.3 Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.3 Matricescreusesetméthodesitératives . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.3.1 M. Giesbrecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.3.2 G.Villard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.3.3 Valence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9 Calculparallèledu polynômeminimalentier 165
9.1 RestesChinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.2 Terminaisonanticipée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.3 OvalesdeCassini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.4 Degrédu polynômeminimaletnombre premiertrompeur . . . . . 171
9.5 Polynômeminimalentier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.6 Parallélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10 Valence 181
10.1 MrSmithgoes toValence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.2 Unpointsur lasymétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.3 Évictiondenombrespremiers:méthodedu noyau . . . . . . . . . 185
10.4 FormedeSmithlocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.5 AnalyseAsymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.6 Expériencesavecmatrices d’Homologie . . . . . . . . . . . . . . 193
IV Implémentation 197
11 Structures dedonnées 199
11.1 Domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
11.2 Matricesetvecteurscreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.2.1 Ellpack-Itpacketligne-compressé . . . . . . . . . . . . . 202
11.2.2 Format hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.3 Boîtesnoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12 Logiciels 211
12.1 Corpsfinisdans Givaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
12.2 OrganisationdelabibliothèqueLinbox. . . . . . . . . . . . . . . 213
12.3 SIMPHOM:un packagepourGAP . . . . . . . . . . . . . . . . 214
12.3.1 La bibliothèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
12.3.2 Lesalgorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
12.3.3 Leslangages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.3.4 Lesutilisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Conclusions et perspectives 219
Bibliographie 225

T
ABLE DES FIGURES
2.1 LeprojetLinbox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Graphededépendance: élimination . . . . . . . . . . . . . 34
(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:3)(cid:0)
3.1 Répartitionde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
(cid:4)(cid:6)(cid:5)(cid:8)(cid:7)(cid:10)(cid:9)(cid:12)(cid:11)(cid:14)(cid:13)(cid:16)(cid:17) (cid:15)
3.2 Calculd’unpolynômeirréductibleayant comme générateur . . 57
(cid:15)
3.3 Générationdestablesdesuccesseursetdeconversions . . . . . . 58
3.4 Rapportdestempsdegénérationdestables . . . . . . . . . . . . 58
4.1 ComparaisonavecALPetNTL,modulo 32479 . . . . . . . . . . 66
4.2 ComparaisonavecALPetNTL,modulo 3 . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 AXPYetproduitdematricessur IBMrs6000,100MHz . . . . . 70
4.4 AXPYetproduitdematricessur ultrasparc,133 MHz . . . . . . . 71
4.5 AXPYetproduitdematricessur PentiumII,333MHz . . . . . . 72
4.6 AXPYetproduitdematricessur Decalpha,400MHz . . . . . . 73
5.1 Gaindelarenumérotationsur matricesaléatoires . . . . . . . . . 87
5.2 Gaindelarenumérotationsur matricesd’Homologie . . . . . . . 89
5.3 Remplissage,avecrenumérotation,dans lamatricemk12.b4 . . . 89
5.4 Gaindelarenumérotationsur matricesBIBD . . . . . . . . . . . 90
5.5 Rangrécursifparblocs, étapes1 et2 . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.6 Rangrécursifparblocs, étapes3 et4 . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.7 Rangrécursifparblocs :graphededépendancedestâches . . . . 100
5.8 Matricerkat7_mat5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.9 Rangpar4 blocssur lamatricerkat7_mat5 . . . . . . . . . . . . 107
6.1 Calculdupolynômeminimald’unematrice . . . . 141
(cid:18)(cid:20)(cid:19)(cid:22)(cid:21)(cid:20)(cid:23)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:1)(cid:28)(cid:27)(cid:30)(cid:29) (cid:31)!(cid:23)!(cid:27)
7.1 Échiquier4-4,matricesdeslimitesendimension2 . . . . . . . . 147
7.2 Matricerobot24c1_mat5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3 MatriceBIBDpour 11objetsdans desblocsdetaille5 . . . . . . 150
7.4 Temps comparés des méthodes directe et itérative pour des ma-
tricesaléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1 DisquesdeGershgörinetovalesdeCassini . . . . . . . . . . . . 169
10.1 AlgorithmeValence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.1 Unematricecreuse stockéeauformat Ellpack-Itpack . . . . . . . 202
11.2 Unematricecreuse stockéeauformat ligne-compressé . . . . . . 203
11.3 Unematricecreuse stockéeauformat hybride . . . . . . . . . . . 204
12.1 Organisationdesmodulespour lescorpsfinis dansGivaro . . . . 213