Algebre di Kleene

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MATeXp { Teorie di riferimento
Capitolo T72:
Algebre di Kleene
Contenuti delle sezioni
a. AlgebrediKleeneclassichep.1 b. AlgebrediKleenestandardp.8 c. AlgebrediKleenenormali
eregolari p.11 d. Matrici su algebre di Kleene standard e regolari p.12 e. Composizioni dettate da
linguaggi p.15 f. Costruzioni guidate da un linguaggio p.16
T72:0.01 Le algebre di Kleene sono specie di strutture algebriche che consentono di stabilire dei
formalismi con i quali si trattano vantaggiosamente varie questioni riguardanti linguaggi e sistemi di
relazioni. Ilcontenutodelcapitolocostituisceunarielaborazionedialcunepartidelpiccolodensolibro
di J. H. Conway (1971): Regular languages and regular machines, Chapman & Hall.
T72:a. Algebre di Kleene classiche
T72:a.01 Diciamo algebra di Kleene classica, in sigla CKA, ogni sistema ⟨S;+;(cid:1);(cid:3);0;1⟩ nel quale S (cid:18)e un
insieme, + e (cid:1) sono operazioni binarie su S, (cid:3) (cid:18)e un’operazione unaria su S, mentre 0 e 1 sono elementi
di S. Questo sistema deve soddisfare i seguenti assiomi:
8E;E ;E ;E 2S :
1 2 3
[CKA1] E +E =E +E (propriet(cid:18)a commutativa di +)
1 2 2 1
[CKA2] E+0=E (neutralit(cid:18)a di 0 rispetto a +)
[CKA3] (E +E )+E =E +(E +E ) (associativit(cid:18)a di +)
1 2 3 1 2 3
[CKA4] (E (cid:1)E )(cid:1)E =E (cid:1)(E (cid:1)E ) (associativit(cid:18)a di (cid:1))
1 2 3 1 2 3
[CKA5] 1(cid:1)E =E (neutralit(cid:18)a di 1 rispetto a (cid:1))
[CKA6] E(cid:1)1=E (neutralit(cid:18)a di 1 rispetto a (cid:1))
[CKA7] 0(cid:1)E =0 (0 (cid:18)e elemento zero rispetto a (cid:1))
[CKA8] E(cid:1)0=0 (0 (cid:18)e elemento zero rispetto a (cid:1))
[CKA9] E (cid:1)(E +E )=E (cid:1)E +E (cid:1)E (distributivit(cid:18)a di + rispetto a (cid:1))
1 2 3 1 2 1 3
[CKA10] (E +E )(cid:1)E =E (cid:1)E +E (cid:1)E (distributivit(cid:18)a di + rispetto a (cid:1))
1 2 3 1 3 2 3
[CKA11] (E +E )(cid:3) =(E (cid:3)(cid:1)E )(cid:3)(cid:1)E (cid:3) (azione di (cid:3) rispetto a +)
1 2 1 2 1
[CKA12] (E (cid:1)E )(cid:3) =1+E (E +E )(cid:3)(cid:1)E (azione di (cid:3) rispetto a (cid:1))
1 2 1 2 1 2
[CKA13] (E(cid:3))(cid:3) =E(cid:3) (idempotenza di (cid:3))
[CKA14] 8n2N : E(cid:3) =(En)(cid:3)E[n)
E(cid:18) opportuno sottolineare che l’ultima relazione costituisce uno schema di assioma.
T72:a.02 Indichiamo con CKA la classe delle algebre di Kleene classiche.
2011-12-20 T72: Algebre di Kleene 1
Alberto Marini
Le CKA’s si possono de(cid:12)nire mediante altri vari sistemi di assiomi: oltre al precedente, dovuto a
Conway, ricordiamo quelli di Salomaa e di Yanov.
Per questi sistemi di assiomi si sono affrontati vari problemi di consistenza, di completezza e di equi-
valenza. E(cid:18) notevole il fatto che in ogni sistema di assiomi per le CKA’s deve comparire uno schema di
assiomi oppure una regola di inferenza; in altre parole non esiste alcun sistema (cid:12)nito di uguaglianze in
grado di costituire un fondamento assiomatico per le CKA’s.
T72:a.03 Osserviamo che [CKA1], [CKA2] e [CKA3] equivalgono a dire che ⟨S;+;0⟩ (cid:18)e un monoide
abeliano; che [CKA4], [CKA5] e [CKA6] equivalgono ad affermare che ⟨S;(cid:1);1⟩ (cid:18)e un monoide; che
[CKA1], ...,[CKA10] equivalgono a dire che ⟨S;+;(cid:1);0;1⟩ (cid:18)e un semianello unitale.
Vedremo che [T72:1.4(h)], escluso il caso degenere della CKA costituita da un solo elemento,
l’operazione + non possiede inverso, l’operazione (cid:1) non (cid:18)e commutativa e non possiede inverso e che i
semianelli ⟨S;+;(cid:1);0;1⟩ sono privi di divisori dell’unit(cid:18)a e non sono anelli.
T72:a.04 Prop. Sia A (cid:26) A, e con i segni \+", \(cid:1)" e \(cid:3)" denotiamo esplicitamente unione, giustap-
f
posizione e star-chiusura di linguaggi. ⟨L ;+;(cid:1);(cid:3);∅;f(cid:22)g⟩2CKA.
A
Dim.: [CKA1],..., [CKA10] sono propriet(cid:18)a evidenti di L .
A
[CKA11]:
(E +E )(cid:3) =(cid:22)+E +E +E 2+E E +E E +E 2+E 3+E 2E +E E E +E E 2+E E 2+
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1
+E E E +E 2E +E 3+::::= sommatoria di tutti i prodotti costituiti dai fattori E ed E ;
2 1 2 2 ∑1 2 ∑ 1 2
(E1(cid:3)(cid:1)E2)(cid:3)(cid:1)E1 = m2N0 h1;:::;hm+12N0(E1h1+E2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(E1hm+E2)E1hm+1 =
sommatoria di tutti i prodotti costituiti dai fattori E ed E .
1 2
[CKA12]:
(E (cid:1)E )(cid:3) =(cid:22)+E E +E (E E )E +E (E E )2E +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+E (E E )nE +(cid:1)(cid:1)(cid:1)=(cid:22)+E (E E )(cid:3)E .
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
[CKA13]:
8E 2L E+E =E e 8n2N En+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+En =En.
A 0
Quindi E(cid:3)2 =((cid:22)+E+E2+(cid:1)(cid:1)(cid:1))((cid:22)+E+E2+(cid:1)(cid:1)(cid:1))=
=(cid:22)+(E+E)+(E2+E2+E2)+(E3+E3+E3+E3)+(cid:1)(cid:1)(cid:1)=(cid:22)+E+E2+E3+(cid:1)(cid:1)(cid:1)=E(cid:3);
E(cid:3)3 =E(cid:3)2E(cid:3) =E(cid:3)E(cid:3) =E(cid:3) ;
8n2N E(cid:3)n =E(cid:3); (E(cid:3))(cid:3) =(cid:22)+E(cid:3)+E(cid:3)2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)=(cid:22)+E(cid:3)+E(cid:3)+(cid:1)(cid:1)(cid:1)=(cid:22)+E(cid:3) =E(cid:3).
[CKA14]:
E(cid:3) =(cid:22)+E+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+Ep+(cid:1)(cid:1)(cid:1); (cid:12)ssato n 2 N 8p 2 N , h 2 N e k 2 f0;:::;n (cid:0) 1g tale che
∑ ∑ 0∑ 0 ∑
p=nh+k; (En)(cid:3)E[n) =( h2N0Enh)( 0(cid:20)k<nEk)= h2N00(cid:20)k<nEnh+k = p2N0Ep =E(cid:3)
T72:a.05 Come per ogni altra specie di struttura algebrica si pu(cid:18)o parlare di sottoalgebra di Kleene
classica e di mor(cid:12)smi tra algebre di Kleene classiche e si possono scrivere enunciati come i seguenti:
⟨S′;+′;(cid:1)′;(cid:3)′;0;1⟩ (cid:20) ⟨S;+;(cid:1);(cid:3);0;1⟩ ; S′′ < S ; S 7(cid:0)! S′′′ .
CKA CKA CKA
T72:a.06 Prop. Sia A(cid:26) A. ⟨R ; +; (cid:1); (cid:3); ∅; (cid:22) ⟩< ⟨L ; +; (cid:1); (cid:3); ∅; (cid:22)⟩.
f A CKA A
Dim.: Dato che R (cid:26)L e che le operazioni su R sono le restrizioni di quelle su L , basta stabilire
A A A A
che R 2CKA . Questo equivale a stabilire R 2[[+; (cid:1); (cid:3)]], fatto garantito da [23e.03(b)]
A A
T72:a.07 Prop. Sia A(cid:26) A ed L(cid:18)L ; ⟨L(( +; (cid:1); (cid:3); ∅; (cid:22))); +; (cid:1); (cid:3); ∅; (cid:22)⟩2CKA.
f A
Dim.: L(( +; (cid:1); (cid:3); ∅; (cid:22) ))(cid:18)L e, dato che questa collezione di linguaggi (cid:18)e chiusa rispetto a +, (cid:1) e (cid:3) e
A
contiene ∅ e (cid:22), L(( +; (cid:1); (cid:3); ∅; (cid:22) ))(cid:20) L
CKA A
2 T72: Algebre di Kleene 2011-12-20
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T72:a.08 R costituisce un caso particolare di L(( +; (cid:1); (cid:3); ∅; (cid:22) )) relativo ad L=f(a )ja 2Ag. R
A i i A
risulta essere la CKA libera (cid:12)nitamente generata da f(a )ja 2Ag.
i i
Il suo carattere di struttura libera dipende dal fatto che i suoi elementi sono forniti da espressioni
razionali su A, cio(cid:18)e da espressioni costituite con lettere di A composte con gli operatori +, (cid:1) e (cid:3)
ed opportunamente parentizzate e che due espressioni forniscono lo stesso elemento di R sse sono
A
riconducibili l’una all’altra sulla base degli assiomi [CKA1], ... ,[CKA14].
T72:a.09 La precedente affermazione traduce la propriet(cid:18)a di completezza del suddetto sistema di
assiomi.
Nel caso in cui L sia (cid:12)nito, L(( +; (cid:1); (cid:3); ∅; (cid:22) )) risulta essere una CKA (cid:12)nitamente generata; una tale
CKA pu(cid:18)o essere libera o meno, in quanto due espressioni razionali sui linguaggi di L non equivalenti
per f[CKA1],...[CKA14]g (()) possono dare lo stesso linguaggio, cio(cid:18)e lo stesso elemento della CKA,
a causa di particolari legami intercorrenti fra i linguaggi in L.
Se L non (cid:18)e (cid:12)nito L(( +; (cid:1); (cid:3); ∅; (cid:22) )), in genere , non (cid:18)e generabile (cid:12)nitamente. Questo (cid:18)e il caso di L .
A
T72:a.10 Deduciamo dagli assiomi [CKA1],...,[CKA14] alcune importanti relazioni; valendo esse per
ogniCKA,inparticolarecostituisconopropriet(cid:18)adiL ,R edelleL((+; (cid:1); (cid:3); ∅;(cid:22))). Inquestiultimi
A A
casi alcune delle relazioni che seguono sono piuttosto evidenti.
Consideriamo dunque ⟨S;+;(cid:1);(cid:3);0;1⟩2 CKA ed E , P, Q denotino generici elementi di S.
i
T72:a.11 Prop. E(cid:3) =1+EE(cid:3) =1+E(cid:3)E .
Dim.: Da [CKA12] con E =E ed E =1 oppure E =1 ed E =E segue la tesi
1 2 1 2
T72:a.12 Prop. 8n2N E(cid:3) =E[n)+EnE(cid:3) .
0
Dim.: Per n=0 si riduce a E(cid:3) =(cid:22)E(cid:3) e per n=1 ad (a); supponiamo vera E(cid:3) =E[n)+EnE(cid:3); da essa
e da (a) E(cid:3) = E[n)+En(1+EE(cid:3)) = E[n)+En+En+1E(cid:3) = E[n+1)+En+1E(cid:3) e la relazione (cid:18)e provata
per induzione
T72:a.13 Prop. (E E )(cid:3)E =E (E E )(cid:3).
1 2 1 1 2 1
Dim.: Utilizzando in questa dimostrazione [CKA12] ed T72:1.11, si ha che:
(E E )(cid:3)E =E +E (E E )(cid:3)E E =E (E E )(cid:3)
1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1
T72:a.14 Prop. EE(cid:3) =E(cid:3)E .
Dim.: Da T72:1.13 con E = E ed E = 1 =) (E(cid:1)1)(cid:3)E = E(1(cid:1)E)(cid:3) e sfruttando [CKA5] e [CKA6]
1 2
=)E(cid:3)E =EE(cid:3)
T72:a.15 Prop. 0(cid:3) =1 .
Dim.: Da (a) con E =0 e utilizzando [CKA7] segue che 0(cid:3) =1+00(cid:3) =1
T72:a.16 Prop. 1(cid:3) =1 .
Dim.: Sfruttando [CKA13] e T72:1.15 e ponendo E =0 si ha che (0(cid:3))(cid:3) =0(cid:3) =)1(cid:3) =1
T72:a.17 Prop. 1+1=1 .
Dim.: Da (a), (f), [CKA6] e dalla scelta E =1 segue che 1(cid:3) =1+1(cid:3)(cid:1)1=)1=1+1
T72:a.18 Prop. E+E =E ed ⟨S;+⟩ (cid:18)e una banda abeliana.
Dim.: Da 1.17 segue che (1+1)(cid:1)E =1(cid:1)E. Utilizzando [CKA10] e [CKA5] si ha che E+E =E.
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Invece valgono [CKA1] e [CKA3] ()⟨S;+⟩(cid:18)e un sottogruppo abeliano e la propriet(cid:18)a di idempotenza
rispetto a + di tutti gli elementi di S garantisce che ⟨S;+⟩ sia una banda abeliana
T72:a.19 Prop. (1+E)(cid:3) =E(cid:3) .
Dim.: Da [CKA11] e da (f), con E =1 ed E =E segue che (1+E)(cid:3) =(1(cid:3)E)(cid:3)1(cid:3) =E(cid:3)
1 2
Prop. [CKA1],...[CKA12], (f) =) [CKA13].
Dim.: [CKA1],...[CKA12], (f) =) (i). Utilizzando (i),[CKA1], [CKA11], [CKA5] e ponendo E =E ed
1
E =1 si ha che E(cid:3) =(1+E)(cid:3) =(E+1)(cid:3) =(E(cid:3)(cid:1)1)(cid:3)E(cid:3) =(E(cid:3))(cid:3)E(cid:3).
2
Da [CKA1],...[CKA12], (f) =) (a) ed (g) e quindi E(cid:3) = 1+E(cid:3)E = 1+1+E(cid:3)E = 1+E(cid:3) =
1+(E(cid:3))(cid:3)E(cid:3) =(E(cid:3))(cid:3)
T72:a.21 Prop. [CKA1],...[CKA13] () [CKA1],...[CKA12], (f).
Dim.: Basta osservare che nelle precedenti deduzioni non si (cid:18)e mai fatto ricorso a [CKA14] e che (f)
richiede [CKA13]
T72:a.22 Prop. E(cid:3)E(cid:3) =E(cid:3).
Dim.: Tenendo presenti (i), [CKA11], [CKA6], [CKA13], segue che E(cid:3) =(1+E)(cid:3) =(E(cid:3))(cid:3)E(cid:3) =E(cid:3)E(cid:3)
T72:a.23 Prop. (E (cid:3)E )(cid:3) =1+(E +E )(cid:3)E .
1 2 1 2 2
Dim.: Utilizzando (a) e [CKA11] si ha che (E (cid:3)E )(cid:3) =1+(E (cid:3)E )(cid:3)E (cid:3)E =1+(E +E )(cid:3)E
1 2 1 2 1 2 1 2 2
T72:a.24 Prop. (E E (cid:3))(cid:3) =1+E (E +E )(cid:3).
1 2 1 1 2
Dim.: Utilizzando (a) e [CKA11] segue che (E E (cid:3))(cid:3) =1+E E (cid:3)(E E (cid:3))(cid:3) =1+E (E +E )(cid:3)
1 2 1 2 1 2 1 1 2
T72:a.25 Prop. E =P(cid:3)Q=)E =PE+Q.
Dim.: Tenendo presenti (a), [CKA1], [CKA10] e [CKA4], si ha che E = P(cid:3)Q = (PP(cid:3)+1)Q =
PP(cid:3)Q+Q=PE+Q
T72:a.26 Prop. E =QP(cid:3) =)E =EP+Q .
Dim.: Utilizzando (a) , [CKA1], [CKA9] e [CKA4] si ha che E = QP(cid:3) = Q(P(cid:3)P+1) = QP(cid:3)P+Q =
EP+Q
T72:a.27 Consideriamo ⟨S;+;(cid:1);(cid:3);0;1⟩2 CKA, la relazione entro S (cid:20):=f⟨E;F⟩2S(cid:2)SjE+F =Fg
ed E, F, G, E , F 2S.
i i
T72:a.28 Prop. (cid:20) (cid:18)e una relazione d’ordine su S.
Dim.:Essendo⟨S;+⟩unabandaabeliana[.72:1.5(h)]perE;F;G2S, E+E =E =)E (cid:20)E; E (cid:20)F
e F (cid:20) E =) E+F = F = F+E = E ; E (cid:20) F e F (cid:20) G =) E+F = F; F+G = G =) E+G =
E+(F+G)=(E+F)+G=F+G=G=)E (cid:20)G, cio(cid:18)e (cid:20) (cid:18)e ri(cid:13)essiva, simmetrica e transitiva
T72:a.29 Prop. E (cid:20)E+F .
Dim.: Utilizzando [.72:1.4(h)], segue che E+(E+F)=E+F
T72:a.30 Prop. 0 (cid:18)e il minimo per (cid:20).
Dim.: Usando [CKA1] e [CKA2] si ha che 0+E =E
T72:a.31 Prop. E (cid:20)F ; E (cid:20)F =)E +E (cid:20)F +F .
1 1 2 2 1 2 1 2
Dim.: Ricordando [CKA3] e considerando E (cid:20)F , si ha che E +E +F +F =(E +F )+(E +F )=
i i 1 2 1 2 1 1 2 2
F +F
1 2
4 T72: Algebre di Kleene 2011-12-20
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T72:a.32 Coroll.: E (cid:20)F =) E+G(cid:20)F+G .
Si noti che queste propriet(cid:18)a valgono per ogni banda abeliana.
T72:a.33 Prop. E (cid:20)F ; E (cid:20)F =) E E (cid:20)F F .
1 1 2 2 1 2 1 2
Dim.: Utilizzando [CKA9], [CKA10] e (a), segue che E +F = F ; E +F = F =) F F =
1 1 1 2 2 2 1 2
(E +F )(E +F )=E E +(E F +F E )+F F =)F F (cid:21)E E +(E F +F E )=)E E (cid:20)F F
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
T72:a.34 Coroll.: E (cid:20)F =) EG(cid:20)FG; GE (cid:20)GF
T72:a.35 Prop. m(cid:20)n2N =) E[m) (cid:20)E[n) .
0
Dim.: Questo risultato segue da (b)
T72:a.36 Prop. n2N =)E[n) (cid:20)E(cid:3) .
0
Dim.: Ci(cid:18)o segue da :a.04(b) e da (b)
T72:a.37 Coroll.: 1(cid:20)E(cid:3)
T72:a.38 Prop. E (cid:20)F =)E(cid:3) (cid:20)F(cid:3) .
Dim.: Utilizzando (j), (f), [CKA11] e supponendo E (cid:20) F, si ha che E(cid:3) = 1(cid:1)E(cid:3) (cid:20) (E(cid:3)F)(cid:3)E(cid:3) =
(E+F)(cid:3) =F(cid:3)
T72:a.39 Si noti che (c),...,(h) discendono dai soli assiomi [CKA1],...,[CKA12], mentre la ri(cid:13)essivit(cid:18)a
di (cid:20) e quindi (a), (b), (i), (j), (k), richiedono [.72:1.4(h)], cio(cid:18)e anche [CKA13].
T72:a.40 Consideriamo ⟨S;+;(cid:1);(cid:3);0;1⟩2 CKA ed a ;:::;a 2S.
1 n
Si dice espressione razionale relativa ad S negli argomenti a ;:::;a ogni espressione negli operandi
1 n
a ;:::;a , negli operatori binari + e (cid:1) e nell’operatore unario (cid:3).
1 n
Chiaramente (v. :a.03(a)] si tratta della generalizzazione delle espressioni razionali introdotte in [2A].
Per esse valgono tutte le conseguenze derivabili dagli assiomi e quindi anche le propriet(cid:18)a ricavate in
:a.04] e :a.05].
Nel caso di linguaggi, evidentemente, (cid:20) si riduce alla relazione di inclusione e molte propriet(cid:18)a di
:a[T72:1.4] e [T72:1.5] sono abbastanza evidenti.
Una utile forma canonica per le espressioni razionali (cid:18)e indicata dalla seguente:
T72:a.41 Prop. Ogni espressione razionale relativa ad una CKA pu(cid:18)o trasformarsi in una equivalente
costituita da una somma ((cid:12)nita) di espressioni nei soli (cid:1) e +.
Dim.: Si procede per induzione sulla lunghezza delle espressioni razionali. L’asserto (cid:18)e ovvio per ogni
espressione di lunghezza non superiore a 5, cio(cid:18)e di una delle forme a ; (a (cid:3)); (a +a ) ed (a a ).
i i i j i j
Supponiamolo vero per tutte le espressioni di lunghezza non superiore ad un n > 5 della forma
∑ ∑
E = h E edF = k F conE ;F 2fa ;:::;a g(((cid:1);(cid:3))). L’assertochiaramente(cid:18)everoper(E+F)
i=1 i ∑ j=1 j i j 1 n ∑
e per (EF) = E F . Rimane da dimostrarlo per le (E)(cid:3) = ( h E )(cid:3) e per questo
i=1;:::;h;j=1;:::;k i j i=1 i
si procede per induzione su h. L’asserto(cid:18)e ovvio per h=1 e per h=2 discende da [CKA11]; supposto
∑ [ ∑ ]
vero per h (cid:21) 2 si ha, utilizzando appunto [CKA11], ( h+1E )(cid:3) = E (cid:3)( h E )(cid:3) (cid:3)E (cid:3) =
∑ [ ∑ ∑ ] i=∑1 i h+1 i=1 i h+1
( h E (cid:3)E )(cid:3)E (cid:3) = ( h E (cid:3)E )(cid:3) := m E′ = m E′E (cid:3)
i=1 h+1 i h+1 i=1 h+1 i l=1 l l=1 l h+1
T72:a.42 Si possono avere anche CKA’s (cid:12)nite.
2011-12-20 T72: Algebre di Kleene 5
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E(cid:18) evidente che si ha una CKA con un solo elemento, 0 = 1, ed una CKA con due elementi, 0 e
1, le cui tavole di operazioni, per [CKA1], [CKA2], [T72:1.4(g)], [CKA5], [CKA6], [CKA7], [CKA8],
[T72:1.4(e)], [T72:1.4(f)], sono :
+ 0 1 (cid:1) 0 1 (cid:3)
0 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1 , 1 0 1 e 1 1
∑
T72:a.43 Prop. Se ⟨S;+;(cid:1);(cid:3);0;1⟩2 CKA e ^:= ⟨E;F⟩2S(cid:2)S fG j G(cid:20)E;Fg .
f
⟨S;+;^⟩2Latt.
LatavoladiaddizionedelleCKA’s(cid:12)nite(cid:18)edeterminatadallastrutturadireticoloesiricavaabbastanza
agevolmente dal relativo digrafo.
La tavola per l’operazione (cid:3), per l’idempotenza di tale operazione [CKA13], per il suo rispetto della (cid:20)
[T72:1.5(k)] e per la E (cid:20)E(cid:3) [.11.1.5(i)], si ricava dalla indicazione su di quali elementi sono della
forma E(cid:3) e dalla formula A(cid:3) =fE(cid:3) (cid:21)Agmin.
Le distribuzioni degli E(cid:3) sono vincolate dalle richieste Smax = E(cid:3) [.11.1.5(i)], 1 = 1(cid:3) [.11.1.4(f)],
0(cid:3) ̸=0 [0̸=1 e [.11.1.4(e)]], 1(cid:20)E(cid:3) [.11.1.4(i)]. La tavola per la moltiplicazione (cid:18)e vincolata tra l’altro
da [CKA5], [CKA6], [CKA7] e [CKA8] che rendono interessanti solo le operazioni relative ad EF con
E;F ̸=0;1, da E(cid:3)E(cid:3) =E(cid:3) e da E (cid:20)F =)EG(cid:20)FG; GE (cid:20)GF [.11.1.5(g)].
T72:a.44 Le precedenti considerazioni consentono di individuare le CKA’s di cardinalit(cid:18)a 3 e 4.
2 (cid:15) 1 (cid:15)
j j 2(cid:1)2=0 e 2(cid:1)2=2
1 (cid:15) 2(cid:1)2=2 2 ⋄
j j (2(cid:1)2=1 (cid:18)e in contrasto con 1(cid:1)2=2
0 ⋄ 0 ⋄ e con 2<1=)2(cid:1)2(cid:20)1(cid:1)2).
3 (cid:15) 3 (cid:15)
j j
2 ⋄ 2 (cid:15)
j j
2 3 2 3 2 3
1 (cid:15) 1 (cid:15)
j 2 2 3 2 3 3 j 2 3 3
0 ⋄ 3 3 3 3 3 3 0 ⋄ 3 3 3
3 (cid:15)
j
1 (cid:15)
j
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 ⋄
j 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3
0 ⋄ 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3
6 T72: Algebre di Kleene 2011-12-20
MATeXp { Teorie di riferimento
1 (cid:15)
j
3 ⋄
j
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 ⋄
j 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 2 0 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2
0 ⋄ 3 0 0 3 0 2 3 0 3 3 0 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 2 3
1
(cid:15)
/ n
2 ⋄ ⋄ 3
2 3
n /
⋄ 2 2 0
0 3 0 3
3
(cid:15)
/ n
2 (cid:15) ⋄ 3
2 3 2 3 2 3 2 3
n /
⋄ 2 0 2 2 2 2 2 1 3 2 3 3
0 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3
T72:a.46 Abbiamo visto che Lfa1;:::;ang;Rfa1;:::;ang 2 CKA.
Rfa1;:::;ang, essendo ottenibile come fa1;:::;ang[+(cid:1)(cid:3)], viene detta CKA libera (cid:12)nitamente generata da
a ;:::;a . I suoi elementi infatti sono forniti dalle espressioni costituite con gli elementi a collegati
1 n i
con gli operatori +;(cid:1); e (cid:3) ed opportunamente parentizzate (espressioni regolari).
Dueespressionifornisconolostessoelementodell’algebrassesipu(cid:18)oricondurrel’unaall’altramediante
gli assiomi [CKA1],...,[CKA14].
T72:a.47 Prop. Consideriamo fL ;:::;L g2L . fL ;:::;L g[+(cid:1)(cid:3)]2L .
1 n A 1 n A
Dim.:InfattifL ;:::;L g[+(cid:1)(cid:3)](cid:18)L edessendochiusarispettoa+;(cid:1); e (cid:3) fL ;:::;L g[+(cid:1)(cid:3)](cid:20) L
1 n A 1 n cka A
Queste CKA’s, in generale, non sono libere, nel senso che due espressioni regolari in L ;:::;L non
1 n
riconducibili l’una all’altra attraverso gli assiomi a causa di particolari legami tra gli L possono dare
i
lo stesso linguaggio, cio(cid:18)e lo stesso elemento di CKA.
T72:a.48 Consideriamo f =⟨f0;1;2;3g;+;(cid:1);(cid:3);0;1⟩ ove
+ 0 1 2 3 (cid:1) 0 1 2 3 (cid:3)
0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 1
1 1 1 2 3 1 0 1 2 3 1 1
2 2 2 2 3 2 0 2 2 3 2 3
3 3 3 3 3 , 3 0 3 3 3 e 3 3
2011-12-20 T72: Algebre di Kleene 7
Alberto Marini
f (cid:18)e una CKA (cid:12)nita.
T72:b. Algebre di Kleene standard
∑
T72:b.01 Si dice algebra di Kleene standard, in sigla SKA, un sistema ⟨S; ;(cid:1);0;1⟩ nel quale S (cid:18)e un
∑
insieme, 2fSP (cid:0)(cid:0)◃Sg, (cid:1)2fS(cid:2)S (cid:0)(cid:0)◃Sg e 0;12S, il quale soddisfa gli assiomi che seguono
∑ ∑
e per i quali, in luogo di fE jt2Tg , scriviamo E 8E 2S
t t2T t t
∑ ∑
[SKA1] ∅ =0 cio(cid:18)e E =0
∑ t2∅ t ∑
[SKA2] fE g =E cio(cid:18)e E =E
{ a a∑ }∑t2fa{g t a }∑
[SKA3] fE ju2U g jt2T = E ju2UfU jt2Tg cio(cid:18)e
∑ u ∑ t ∑ u t
( E )= E
t2T u2Ut u u2([t2TUt) u
[SKA4] (E (cid:1)E )(cid:1)E =E (cid:1)(E (cid:1)E )
t u v t u v
[SKA5] 1(cid:1)E =E
t t
[SKA6] E (cid:1)1=E
( t t ∑)( ∑) ∑
[SKA7] fE jt2Tg (cid:1) fE ju2Ug =fE (cid:1)E j⟨t;u⟩2T (cid:2)Ug cio(cid:18)e
∑t ∑ u ∑ t u
( E )(cid:1)( E )= E (cid:1)E .
t2T t u2U u ⟨t;u⟩2T(cid:2)U t u
Indichiamo con SKA la classe delle SKA’s.
∑ ∑
T72:b.02 In luogo di fE ;E g = E si scrive E +E . In tal modo si (cid:18)e individuata
t1 t2 t2ft1;t2g t t1 t2
un’operazione binaria su S: +2fS(cid:2)S (cid:0)(cid:0)◃Sg:
T72:b.03 Prop. E +E =E +E .
t u u t
Dim.: Infatti ft;ug=fu;tg
T72:b.04 Prop. E +∅=E .
t t
Dim.: Infatti ftg[∅=ftg
T72:b.05 Prop. (E +E )+E =E +(E +E ).
t u v t u v
Dim.: Infatti ft;ug[fvg=ftg[fu;vg
∑
T72:b.06 In luogo di E si pu(cid:18)o scrivere E +E +:::+E .
t2ft1;t2;:::;tng t t1 t2 tn
Come al solito si pone 8E 2S 8n2N E(cid:1)E =E2; En+1 =En(cid:1)E E1 =E; E0 =1 .
∑ ∑
Si pone inoltre E+ = n2NEn; E(cid:3) = n2N0En individuando due operazioni unarie su S.
T72:b.07 Prop. Consideriamo un insieme I; IP ; 1⊙ 2IP, un’operazione (cid:1)2fI(cid:2)I (cid:0)(cid:0)◃IPg e la
sua estensione booleana ⊙= ⟨I ;I ⟩ [fi (cid:1)i ji 2I ;i 2I g 2fIP(cid:2)IP (cid:0)(cid:0)◃IPg.
1 2 1 2 1 1 2 2
⟨IP;⊙;1⊙⟩2Mnd =) ⟨IP;[;⊙;∅;1⊙⟩2SKA.
Dim.:Infattil’insiemesoddisfa[SKA1], [SKA2]ed[SKA3], l’ipotesiimplica[SKA4], [SKA5]ed[SKA6]
eper⊙, essendoestensionebooleana, sihache8fItjt2Tg;fIuju2Ug(cid:18)IP ([t2TIt)⊙([u2UIu)=
[t2T;u2U(It⊙Iu) che non (cid:18)e altro che [SKA7]
T72:b.08 Prop. Consideriamo ⟨M;(cid:1);1⟩2Mnd e ⊙=(cid:1)bool.
8 T72: Algebre di Kleene 2011-12-20
MATeXp { Teorie di riferimento
⟨MP;[;⊙;∅;f1g⟩2SKA.
Dim.: Infatti si ha una situazione piu(cid:18) particolare di quella esposta in (a)
∑
T72:b.09 Prop. Consideriamo A(cid:26) A;⟨L ; ;(cid:1);∅;f(cid:22)g⟩2SKA .
F A
∑
Dim.: Infatti L = A(cid:3)P, indica l’unione di linguaggi e (cid:1) l’estensione booleana dell’operazione
A
indicata con lo stesso segno per la quale ⟨A(cid:3);(cid:1);(cid:22)⟩2Mnd
∑
⟨L ; ;(cid:1);∅;(cid:22)⟩ (cid:18)e la SKA libera generata (cid:12)nitamente da A; essa in breve si dice aSKA dei linguaggi su A.
A
T72:b.10 Prop. Consideriamo un insieme I. ⟨(I (cid:2)I)P;[;◦;∅;Iid⟩2SKA.
Dim.:Infatti◦I(cid:2)I = ⟨ef⟩⟨fh⟩ ⟨eh⟩ [_ ⟨ef⟩⟨gh⟩ ∅jf ̸=g 2f(I(cid:2)I)(cid:2)(I(cid:2)I)(cid:0)(cid:0)◃(I(cid:2)I)[f∅gg
e ⟨(I(cid:2)I)P;◦;Iid⟩2Mnd
T72:b.11 Consideriamo ⟨M;1⟩2Mnd, l’estensione cartesiana :: di (cid:1) a M (cid:2)M
:: = ⟨⟨st⟩⟨uv⟩⟩ ⟨s(cid:1)u;t(cid:1)v⟩js;t;u;v 2M e l’estensione booleana di :: a [:] , l’operazione per la
quale 8M ;M (cid:18)M (cid:2)M M [:] M := f⟨s;t⟩2M ;⟨u;v⟩2M :j ⟨s(cid:1)u;t(cid:1)v⟩g .
1 2 1 2 1 2
Allora ⟨(M (cid:2)M)P;[;[:] ;∅;⟨1;1⟩⟩2 SKA.
Dim.: Infatti ⟨M (cid:2)M;:: ;⟨1;1⟩⟩2Mnd
T72:b.12 Prop. Consideriamo ⟨M ;(cid:1) ;1 ⟩ 2 Mnd per i = 1;:::;n; M = M (cid:2):::(cid:2)M , 1 =
i i i 1 n
⟨1 ;:::;1 ⟩, :: estensione cartesiana di (cid:1) ;:::;(cid:1) ad M, [:] = :: bool. ⟨M;[;[:] ;∅;1⟩2 SKA.
1 n 1 n
Si tratta della ovvia generalizzazione di (e)
T72:b.13 Prop. Consideriamo un insieme I. ⟨IP;[;\;∅;I⟩2SKA.
T72:b.14 Consideriamo un reticolo completo completamente distributivo e siano Lmin ed Lmax i suoi
estremi.
Allora ⟨L;_;^;Lmin;Lmax⟩2 SKA.
∑
T72:b.15 Teorema Consideriamo⟨S; ;(cid:1);0;1⟩2SKAeleoperazioni+(binaria)e(cid:3) (unaria)introdotte
come in [.11.2.2]. ⟨S;+;(cid:1);(cid:3);0;1⟩2 CKA.
Dim.: Si tratta di veri(cid:12)care [CKA1],...,[CKA14] per questa CKA; indichiamo con E ;:::;E arbitrari
1 i
elementi di S.
[CKA1], [CKA2] e [CKA3] si sono visti in [.11.2.2 (a),(b),(c)].
[CKA4], [CKA5] e [CKA6] sono [SKA4], [SKA5] e [SKA6].
[CKA7]: Utilizzando [SKA1], [SKA2] e [SKA7], si ha che
∑ ∑ ∑ ∑
0(cid:1)E = E (cid:1) E = E E = E E =0 .
i t2∅ t u2fig u ⟨t;u⟩2∅(cid:2)fig t u ⟨t;u⟩2∅ t u
[CKA8]: come [CKA7].
[CKA9]: Utilizzando [SKA7] si ha che
∑ ∑ ∑
E (cid:1)(E +E )= E (cid:1) E = E E =E E +E E .
1 2 3 t2f1g t u2f2;3g u ⟨t;u⟩2f⟨1;2⟩;⟨1;3⟩g t u 1 2 1 3
[CKA10]: come [CKA9].
[CKA11]: Utilizzando [.11.2.2], [SKA7], [CKA9], [CKA10], [SKA3], segue che:
∑
=∑n2N0∑∑k=0;:::;n∑∑(En01;+:::E;n2k)(cid:21)(cid:3)0;=∑ki=0nn2iN=0n((cid:0)Ek1E+1nE02E)n2E=1n1E2:::E1nk(cid:0)1E2E1nk =
=∑k2N0 n0;:::;nk(cid:21)0(E1n0E2)(E1n1E2):::(E1nk(cid:0)1E2)E1nk =
= k2N0(E1(cid:3)E2)(E1(cid:3)E2):::(E1(cid:3)E2)E1(cid:3) =(E1(cid:3)E2)(cid:3)E1(cid:3) .
2011-12-20 T72: Algebre di Kleene 9
Alberto Marini
[CKA12]: Utilizzando [SKA7], si ha che:
∑ ∑
(E1E2)(cid:3) =1+ ∑n2N0(E1E2)n+1 =1+ n2N0E1(E1E2)nE2 =
=1+E1(cid:1) n2N0(E2E1)nE2 =1+E1(E2E1)(cid:3)E2 .
Prima di considerare [CKA13] e [CKA14], dimostriamo alcune propriet(cid:18)a delle SKA’s.
∑
T72:b.16 Prop. Sia T un insieme qualsiasi: E =E .
t2T i i
Dim.: Posto U =fig; ed utilizzando [SKA3], segue che
t ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
8t2T E = E = E = E =E
t2T i t2T u2Ut u u2([t2TUt) u u2fig u i
Questa relazione si pu(cid:18)o chiamare idempotenza generalizzata.
∑
In particolare Ei+Ei =Ei, n2N0Ei =Ei.
T72:b.17 Prop. E (cid:3)E (cid:3) =E (cid:3) .
i i i
∑
Dim∑.: Utili∑zzando [SKA7], [SKA3]∑ed (a),∑si trova Ei(cid:3)Ei∑(cid:3) = ⟨m;n⟩2N0(cid:2)N0Eim+n =
= k2N0 m=0;:::;kEim+(k(cid:0)n) = k2N0 m=0;:::;kEik = k2N0Eik =Ei(cid:3)
T72:b.18 Prop. (E (cid:3))n =E (cid:3) 8n2N.
i i
T72:b.19 Ritorniamo alla veri(cid:12)ca degli assiomi delle CKA.
∑
[CKA∑13]: Utilizzando (c) ed (a), si ha che: (Ei(cid:3))(cid:3) =1+ n2NEi(cid:3)n =
=1+ n2NEi(cid:3) =1+Ei(cid:3) =Ei(cid:3).
[CKA14]: Sia n 2 N; poniamo T = f0;1;:::;n (cid:0) 1g; U = nN +t 8t 2 T, ed utilizzando
∑ ∑t 0 ∑ ∑
a∑nche∑[SKA3] ed [SKA7], segue che: Ei(cid:3) = k2N0Eik = k2([t2TUt)Eik = t2T k2UtEik =
∑t2T m2N0(Ein)mEit = ∑
= (En)(cid:3)Et ==(En)(cid:3) Et =(En)(cid:3)E[n).
t2T i i i t2T i i i
T72:b.20 Con abuso di linguaggio veniale, si pu(cid:18)o dire che "ogni SKA(cid:18)e una CKA" e scrivere SKA (cid:20)
CKA .
Vedremo facilmente che non vale il viceversa.
Le SKA’s sono in effetti strutture assai privilegiate rispetto alle CKA’s, in quanto chiuse rispetto a
somme qualsiasi e tra SKA e CKA si possono considerare tipi di strutture intermedie.
Ad SKA, comunque, si possono applicare tutte le considerazioni svolte per CKA, anche se talune
propriet(cid:18)adiSKAsipossonotrovarepiu(cid:18)facilmenteedinformapiu(cid:18)stringente(comeperl’idempotenza).
∑
T72:b.21 Consideriamo ⟨S; ;(cid:1);0;1⟩2 SKA.
Su S come per ogni CKA la relazione (cid:20) = f⟨E;F⟩jE+F =Eg (cid:18)e una relazione d’ordine parziale per
la quale valgono le propriet(cid:18)a viste in [T72:1.7].
∑ ∑
T72:b.22 Prop. Conside∑riamo E(cid:18)S.∑Esup = E2EE = G2∑([E2EEmin)G.
Dim.: E1 2 E =) E1+ E2EE = E2EE e quindi E2EE (cid:18)e maggiorante∑di E; se F
(cid:18)e∑un generico maggi∑orante di E, F (cid:21)∑E, e utilizzando ∑[.11.2.4(a)], si ha che : F = E2EF =
E2E(E+F)=F+ E2EE =)F (cid:21) E2EE∑e quindi E2EE (cid:18)e il minimo maggiorante di E. Per
l’ultima espressione basta considerare che E = G in quanto E 2Emin
G2Emin
T72:b.23 Prop. Consideriamol’insiemedeiminorantidiE: Emin =fGjG(cid:20)E 8E 2Eg=\E2EEmin.
10 T72: Algebre di Kleene 2011-12-20