Algebra Liniara si Geometrie Analitica

49 Pages·2007·0.44 MB·Romanian

Algebraˇ Liniarˇa ¸si Geometrie Analiticˇa 1
1 SPAT¸II VECTORIALE
Fie V o mul¸time nevid˘a ¸si K un corp comutativ (cˆamp). O structurˇa de spa¸tiu vectorial pe mul¸timea V, peste corpul
comutativ K, (un
K-spa¸tiuvectorial)estedefinitˇadeuntriplet(V,+,¢ ),unde(V,+)esteungrup,iar¢ :K£V !V esteolegedecompozi¸tie
sc sc
extern˘a, astfel c˘a au loc proprietˇa¸tile:
(V1) α¢(x¯+y¯)=α¢x¯+α¢y¯, (8)α2K, x¯,y¯2V;
(V2) (α+β)¢x¯=α¢x¯+β¢x¯, (8)α,β 2K, x¯2V;
(V3) (α¢β)¢x¯=α¢(β¢x¯), (8)α,β 2K, x¯2V;
(V4) 1¢x¯=x¯, (8)x¯2V.
Elementele mul¸timii V se numesc vectori, legea de compozi¸tie internˇa ,,+” pe V se nume¸ste adunarea vectorilor, iar legea
de compozi¸tie externˇa ,,¢” pe V este numitˇa produs cu scalari. .
Un spa¸tiu vectorial peste corpul numerelor reale (K = IR) se nume¸ste spa¸tiu vectorial real, iar un spa¸tiu vectorial peste
corpul numerelor complexe (K =C0 ) se nume¸ste spa¸tiu vectorial complex. Orice spa¸tiu vectorial consideratˆın continuare va fi
real sau complex, dacˇa nu va fi fˇacutˇa altˇa specifica¸tie.
Doi vectori x¯ ¸si y¯pentru care exist˘a un scalar α2K astfelˆıncˆat x¯=αy¯sau y¯=αx¯ se numesc vectori coliniari.
Pn
Dacˇax¯ , ..., x¯ 2V suntvectori¸siα ,..., α 2K suntscalari, atuncisespunecˇavectorulx¯= α x¯ esteo combina¸tie
1 n 1 n ı ı
i=1
liniarˇa a vectorilor x¯ ,...,x¯ . Astfel, de exemplu, dac˘a x¯, y¯2V ¸si α, β 2K, atunci vectorul z¯=αx¯+βy¯este o combina¸tie
1 n
liniar˘a a vectorilor x¯ ¸si y¯.
Exemple
1. Fie IR2 =IR£IR ¸si legile de compozi¸tie:
+:IR2£IR2 !IR2,(x,y)+(a,b)d=ef.(x+a,y+b),(8)(x,y),(a,b)2IR2,
¢:IR£IR2 !IR2,α¢(x,y)d=ef.(αx,αy),(8)α2IR,(x,y)2IR2.
Tripletul (IR2,+,¢) este un spa¸tiu vectorial, numit spa¸tiul vectorial aritmetic IR2.
2. Pentru n2IN⁄,pe IRn =IR£¢¢¢£IR se definesc legile de compozi¸tie:
| {z }
nori
+:IRn£IRn !IRn,
(x1,x2,...,xn)+(y1,y2,...,yn)d=ef.(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn),
(8)(x1,x2,...,xn),(y1,y2,...,yn)2IRn,
¢:IR£IRn !IRn,α¢(x1,x2,...,xn)d=ef.(αx1,αx2,...,αxn),
(8)α2IR,(x1,x2,...,xn)2IRn.
Tripletul (IRn,+,¢) este un spa¸tiu vectorial real, numit spa¸tiul vectorial aritmetic IRn.
3. Un caz particular important al exemplului de mai sus este
n=1. Astfel, corpul real (IR,+¢) este un spa¸tiu vectorial real, numit spa¸tiul vectorial aritmetic IR.
4. ˆIn general, dac˘a (K,+,¢) este un corp comutativ, atunci (K,+,¢) este un K-spa¸tiu vectorial.
5. Fie (K,+,¢) un corp comutativ ¸si n2IN⁄. Pe Kn =K£¢¢¢£K se definesc legile de compozi¸tie:
| {z }
nori
+:Kn£Kn !Kn,
(x1,x2,...,xn)+(y1,y2,...,yn)d=ef.(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn),
(8)(x1,x2,...,xn),(y1,y2,...,yn)2Kn,
¢:K£Kn !IRn,α¢(x1,x2,...,xn)d=ef.(αx1,αx2,...,αxn),
(8)α2K,(x1,x2,...,xn)2Kn.
Tripletul (Kn,+,¢) este un spa¸tiu vectorial peste corpul K.
6. Corpul complex (C0 ,+¢) este un spa¸tiu vectorial complex, conform exemplului 4. de mai sus.
7. Se poate defini un spa¸tiu vectorial real (C0 ,+¢ ), cu legile de compozi¸tie + : C0 £C0 ! C0 , de adunare a numerelor
IR
complexe, ¸si ¢ :IR£C0 !C0 , deˆınmul¸tire a numerelor reale cu numerele complexe: α¢(a+ib)=αa+iαb. S˘a remarc˘am c˘a
IR
este important s˘a fie specificat corpul peste care este definit un spa¸tiu vectorial.
8. Ca un caz particular al exemplului 5. este spa¸tiul vectorial complex (C0 n,+,¢).
2 Paul Popescu ¸si Marcela Popescu
9. Fie p,q 2 IN⁄ ¸si M (K) = f(a ) ja 2 K,(8)i = 1,p, j = 1,qg, mul¸timea matricilor cu p linii ¸si q coloane, cu
p,q ij i=1,p ij
j=1,q
elemente din corpul comutativ K. Se consider˘a legile de compozi¸tie
+:M (K)£M (K)!M (K),
p,q p,q p,q
(a ) +(b ) = (a +b ) , de adunare a matricilor, ¸si
ij i=1,p, ij i=1,p, ij ij i=1,p,
j=1,q j=1,q j=1,q
¢ :K£M (K)!M (K),α¢(a ) =(αa ) ,deˆınmul¸tireamatricilorcuscalaridinK. Tripletul(M (K),+,¢ )
sc p,q p,q ij i=1,p, ij i=1,p, p,q sc
j=1,q j=1,q
este un spa¸tiu vectorial peste corpul K.
10. Fie K un corp comutativ ¸si
P1
K[X] = f a Xn = a +a X +a X2 +¢¢¢+a Xn +¢¢¢ja 2 K, (8)n 2 IN ¸si (9)n0 2 IN a.ˆı. a = 0, (8)n > n0g,
n 0 1 2 n n n
n=0
mul¸timea polinoamelorˆın nedeterminata X, cu coeficien¸tii din K. Se consider˘a legile de compozi¸tie
P1 P1 P1
+ : K[X]£K[X] ! K[X], a Xn+ b Xn = (a +b )Xn, de adunare a polinoamelor ¸si ¢ : K £K[X] ! K[X],
n n n n sc
n=0 n=0 n=0
P1
α¢ a Xn =
n
n=0
P1
= (αa )Xn, deˆınmul¸tire a polinoamelor cu scalari din K.
n
n=0
Tripletul (K[X],+,¢ ) este un spa¸tiu vectorial peste corpul K.
sc
11. Fie M o mul¸time ¸si V un K-spa¸tiu vectorial. Atunci mul¸timea F(M,V)=ff :M !Vg, a func¸tiilor cu domeniul M
¸si codomeniul V, cu legile de compozi¸tie +:F(M,V)£F(M,V)!F(M,V) ¸si
¢:K£F(M,V)!F(M,V), definite prin (f+g)(x)=f(x)+g(x)¸si (α¢f)(x)=α¢f(x), (8)f,g 2F(M,V), α2K, x2M,
este un K-spa¸tiu vectorial.
Fie un K-spa¸tiu vectorial (V,+,¢). Sunt adev˘arate urm˘atoarele propriet˘a¸ti:
1. 0¢x¯=¯0, (8)x¯2V.
2. α¢¯0=¯0, (8)α2K.
3. Dac˘a α2K ¸si x¯2V sunt astfelˆıncˆat α¢x¯=¯0, atunci α=0 sau x¯=¯0.
4. Dac˘a α,β 2K ¸si x¯,y¯2V:
5. Dacˇa α¢x¯=β¢x¯ ¸si x¯6=¯0, atunci α=β;
6. Dacˇa α¢x¯=α¢y¯¸si α6=0, atunci x¯=y¯.
7. (¡1)¢x¯=¡x¯, (8)x¯2V.
8. x¯+y¯=y¯+x¯, (8)x¯,y¯2V, adicˇa grupul (V,+) este un grup comutativ.
2 Subspa¸tii vectoriale
Fie V un K-spa¸tiu vectorial. Un subspa¸tiu vectorial al lui V este o submul¸time nevid˘a W ‰ V care are proprietatea cˇa
pentru orice x¯,y¯2W ¸si α2K rezultˇa x¯+y¯, α¢x¯2W.
Orice K-spa¸tiu vectorial V con¸tine ca subspa¸tii vectoriale pe elˆınsu¸si (V ‰ V) ¸si subspa¸tiul nul f¯0g ‰ V, care con¸tine
numai vectorul nul. Acestea se numesc subspa¸tii vectoriale improprii. Celelalte subspa¸tii vectoriale se numec proprii. A¸sadar,
un subspa¸tiu vectorial W este propriu dacˇa con¸tine un vector nenul ((9)x¯ 2 Wnf¯0g) ¸si existˇa un vector V necon¸tinut ˆın
subspa¸tiul W ((9)y¯2VnW).
Se observ˘a c˘a din condi¸tia c˘a submul¸timea W ‰ V este un subspa¸tiu vectorial, rezult˘a c˘a W +W ‰ W ¸si K ¢W ‰ W,
unde am notat
W +W =fw¯ +w¯ jw¯ ,w¯ 2Wg ¸si K¢W =fα¢w¯jα2K, w¯ 2Wg. Rezult˘a c˘a restric¸tiile celor dou˘a opera¸tii la W definesc
1 2 1 2
aplica¸tiile induse +:W £W !W ¸si ¢:K£W !W.
Propozi¸tia 1 Fie V un K-spa¸tiu vectorial. Atunci W ‰V este un subspa¸tiu vectorial dac˘a ¸si numai dac˘a orice combina¸tie
liniar˘a de dou˘a elemente ale lui W esteˆın W, mai precis, dac˘a
w¯ , w¯ 2W ¸si α , α 2K, atunci α w¯ +α w¯ 2W.
1 2 1 2 1 1 2 2
Un subspa¸tiu vectorial este la rˆandul s˘au ub spa¸tiu vectorial.
Propozi¸tia 2 Dacˇa V este un K-spa¸tiu vectorial, atunci orice subspa¸tiu vectorial W ‰ V este la rˆandul sˇau un K-spa¸tiu
vectorial cu opera¸tiile induse de pe V.
Algebraˇ Liniarˇa ¸si Geometrie Analiticˇa 3
Exemple.
1. Fie V un K-spa¸tiu vectorial ¸si x¯2V. Atunci submul¸timea V =fα¢x¯jα2Kg‰V este un subspa¸tiu vectorial. Dac˘a
x¯
x¯6=¯0, atunci V nu este spa¸tiu vectorial nul (pentru c˘aˆıl con¸tine pe x¯). Nu putem afirmaˆıns˘a,ˆın general, c˘a V ‰V este un
x¯ x¯
subspa¸tiu propriu, deoarece este posibil ca V =V.
x¯
2. Fie n 2 IN ¸si K [X] ‰ K[X] submul¸timea polinoamelor cu elemente din K, care au gradul cel mult n (reaminitim c˘a
n
P1
gradulunuipolinomnenulf = a Xk estecelmaimicnum˘arn0 2IN astfelˆıncˆata =0,(8)n>n0,iargradulpolinomului
k n
k=0
nul este ¡1).
Subspa¸tiul vectorial K [X] ‰ K[X] este propriu, deoarece con¸tine polinoamele constante nenule, care au gradul 0 (de
n
exemplu, f =12K [X]), deci K [X]6=f¯0g, ¸si exist˘a polinomul Xn+1 2K[X]nK [X], deoarece are gradul n+1).
n n n
Propozi¸tia 3 Intersec¸tia a douˇa sau mai multe subspa¸tii vectoriale ale unui K-spa¸tiu vectorial V este un subspa¸tiu vectorial
al lui V.
Fie M ‰ V o submul¸time a unui spa¸tiu vectorial. Fie L(M) intersec¸tia toturor subspa¸tiilor vectoriale care con¸tin pe M,
adic˘a \
L(M)= W.
M‰W‰V
W subspa¸tiu
Din propozi¸tia 3 rezult˘a c˘a L(M) ‰ V este un subspa¸tiu vectorial, care se nume¸ste subspa¸tiul vectorial generat de mul¸timea
M. S˘a remarc˘am faptul c˘a M ‰ L(M), deoarece M este inclusˆın toate subspa¸tiile vectoriale care se intersecteaz˘a pentru a
se ob¸tine L(M).
Defini¸tiasubspa¸tiuluivectorialgeneratdeomul¸timeestedificildefolositˆınaplica¸tii. Deaceea,esteutilurm˘atorulrezultat,
care exprim˘a concret forma elementelor lui L(M).
Propozi¸tia 4 Fie V un spa¸tiu vectorial ¸si M ‰ V o submul¸time a sa. Atunci L(M) = fα v¯ +α v¯ +¢¢¢+α v¯ jv¯ , v¯ ,
1 1 2 2 n n 1 2
...,v¯ 2M,
n
α , α , ...,α 2Kg (adic˘a subspa¸tiul vectorial generat de mul¸timea M este format din mul¸timea tuturor combina¸tiilor liniare
1 2 n
cu elemente din M ¸si scalari din K, numit˘a acoperirea liniar˘a a lui M).
Aceastaarat˘ac˘asubspa¸tiulliniargeneratdeosubmul¸timeaunuispa¸tiuvectorialcoincidecuacoperirealiniar˘aasubmul¸timii.
Se consider˘a spa¸tiul vectorial canonic (IR2,+,¢) ¸si subspa¸tiile
V =IR£f0g,V =f0g£IR‰IR2. Seobserv˘ac˘aV [V ‰IR2 nu este un subspa¸tiu vectorial,pentruc˘asuma(1,0)+(0,1)=
1 2 1 2
(1,1)2/ V [V . Prin urmare reuniunea a dou˘a subspa¸tii vectoriale nu este,ˆın general, un subspa¸tiu vectorial. ˆIn schimb, se
1 2
poate demonstra rezultatul urm˘ator.
Propozi¸tia 5 Fie V un K-spa¸tiu vectorial ¸si V , V ‰ V sunt douˇa subspa¸tii vectoriale. Atunci V +V = fx¯+y¯ j x¯ 2 V ,
1 2 1 2 1
y¯2V g este un subspa¸tiu vectorial al lui V ¸si are loc egalitatea V +V =L(V [V ).
2 1 2 1 2
Avem,ˆın general, urm˘atorul rezultat.
Propozi¸tia 6 Dac˘a M , M ‰V sunt dou˘a submul¸timi ale spa¸tiului vectorial V, atunci L(M )+L(M )=L(M [M ).
1 2 1 2 1 2
Dou˘a subspa¸tii vectoriale V , V ‰ V spunem c˘a sunt transverse dac˘a V \V = f¯0g, adic˘a dac˘a intersec¸tia lor este
1 2 1 2
subspa¸tiul vectorial nul.
Dac˘a dou˘a subspa¸tii vectoriale V , V ‰ V sunt transverse, atunci suma lor, V +V , se noteaz˘a V 'V ¸si se nume¸ste
1 2 1 2 1 2
sum˘a direct˘a a celor dou˘a subspa¸tii.
Propozi¸tia 7 Fie dou˘a subspa¸tii vectoriale V , V ‰V. Atunci sunt echivalente afirma¸tiile:
1 2
1. V ¸si V sunt transverse;
1 2
2. (8)v¯2V +V se scrieˆın mod unic sub forma v¯=v¯ +v¯ , cu v¯ 2V ¸si v¯ 2V .
1 2 1 2 1 1 2 2
Spunem c˘a spa¸tiul vectorial V este suma direct˘a a dou˘a subspa¸tii vectoriale V , V ‰ V, dac˘a V = V 'V . ˆIn acest caz
1 2 1 2
subspa¸tiile V ¸si V se spune c˘a sunt subspa¸tii suplimentare.
1 2
Vom ar˘ataˆın continuare c˘a mul¸timea solu¸tiilor unui sistem liniar ¸si omogen poate fi privit˘a ca un subspa¸tiu vectorial al
unui spa¸tiu vectorial de matrici coloan˘a.
Un sistem liniar ¸si omogen, cu m ecua¸tii ¸si n necunoscute, cu coeficien¸tii din corpul K, este un sistem de forma:
8
>< a11x1 +¢¢¢+ a1nxn = 0,
.
. (1)
>: .
a x1 +¢¢¢+ a xn = 0,.
m1 mn
4 Paul Popescu ¸si Marcela Popescu
unde n,m2IN⁄ ¸si a 2K, (8)i=1,m, j =1,n. Sistemul de mai sus se poate scrie matricial:
ij
A¢X =0 , (2)
m
0 1
a ¢¢¢ a
11 1n
unde A=(a ) =B@ .. .. CA2M (K),
ij i=1,m . . m,n
j=1,n a ¢¢¢ a
0 1 m1 0 m1n
x1 0
X =B@ .. CA2M (K) ¸si 0 =B@ .. CA2M (K).
. n,1 m . m,1
xn 0
0 1
x1
O matrice X = B@ .. CA 2 M (K) care verific˘a egalitatea (2) se nume¸ste solu¸tie a sistemului liniar ¸si omogen dat;
. n,1
xn
not˘am cu S ‰M (K) mul¸timea solu¸tiilor. Dupˇa cum se ¸stie, mul¸timea de matrici M (K) este un K-spa¸tiu vectorial.
n,1 n,1
Propozi¸tia 8 Submul¸timea S ‰ M (K) a solu¸tiilor unui sistem liniar ¸si omogen de forma (2) este un subspa¸tiu vectorial
n,1
al mul¸timii matricilor coloan˘a, M (K).
n,1
0 1
‰ (cid:181) ¶ (cid:181) ¶
x
Exemplu. Fie sistemul de ecua¸tii x +2y +z =0 , care se scrie matricial 1 2 1 ¢@ y A= 0 ;
¡x +y ¡2z =0 ¡1 1 ¡2 0
z
solu¸tiile sunt de forma
0 1
5
¡ α
x=¡53α, y = 13α, z =α, α2IR, sau X =BB@ 31α CCAˆın nota¸tie matricial˘a. Rezult˘a c˘a
3
α
8 0 1 9
>>< B ¡53α C >>=
S =>>:X =B@ 13α CA2M3,1(IR)jα2IR>>;‰M3,1(IR)
α
0 1
5
¡
B 3 C
este L(fX0g), subspa¸tiul generat de X0, unde X0 =B@ 1 CA.
3
1
Fie dou˘a sisteme de ecua¸tii liniare omogene cu acela¸si num˘ar de necunoscute, scrise sub form˘a matricial˘a: A¢X = 0 ¸si
m
A0¢Y =0m0,undeA2Mm,n(K),A0 2Mm0,n(K),X,Y 2Mn,1(K). S˘anot˘amcuS,S0 ‰Mn,1(K)mu(cid:181)l¸timea¶solu¸tiilorcelor
A
dou˘a sisteme de ecua¸tii ¸si s˘a consider˘am mul¸timea solu¸tiilor S00 ‰Mn,1(K) a sistemului liniar omogen B ¢Z =0m+m0,
ob¸tinut prin reunirea ecua¸tiilor celor dou˘a sisteme. Atunci S00 =S\S0.
O submul¸time L ‰ V a unui spa¸tiu vectorial V este o subvarietate liniar˘a dac˘a exist˘a un subspa¸tiu vectorial V0 ‰ V,
numit subspa¸tiu vectorial director al lui L ¸si un vector x¯ 2V astfelˆıncˆat
0
L=fx¯ g+V (= fx¯ +x¯jx¯2V0g).
0 0
Exemplu. Fie mul¸timea solu¸tiilor sistemului liniar ¸si neomogen cu m ecua¸tii ¸si n necunoscute, cu coeficien¸tii K:
8
>< a11x1+ ¢¢¢ +an1xn = b1
.
. (3)
>: .
a x1+ ¢¢¢ +a xn = b
1m nm m
care se poate scrie matricial sub forma:
A¢X =b, (4)
unde:
0 1 0 1
a ¢¢¢ a x1
11 n1
A=B@ .. .. CA2M (K), X =B@ .. CA2M (K),
. . m,n . n,1
a ¢¢¢ a xn
0 1m1 nm
b
1
b=B@ .. CA2M (K).
. m,1
b
m
Algebraˇ Liniarˇa ¸si Geometrie Analiticˇa 5
Prin scrierea matricialˇa, mul¸timea solu¸tiilor unui sistem de ecua¸tii liniare de m ecua¸tii ¸si n necunoscute poate fi consideratˇa
ca o submul¸time a mul¸timii de matrici M (K), (mul¸timea matricilor cu n linii, unde n este numˇarul de necunoscute, ¸si o
n,1
coloanˇa, cu elemente din K).
Propozi¸tia 9 Fie A¢X =b un sistem compatibil de ecua¸tii liniare, unde A2M (K), X 2M (K) ¸si b2M (K).
m,n n,1 m,1
Atunci mul¸timea solu¸tiilor sistemului dat este o subvarietate liniar˘a a spa¸tiului vectorial M (K), care are ca subspa¸tiu
n,1
vectorial director subspa¸tiul vectorial al solu¸tiilor sistemului omogen asociat A¢Z =0 .
m
3 Sisteme de vectori
3.1 Dependen¸tˇa ¸si independen¸tˇa liniarˇa
Fie V un K-spa¸tiu vectorial. O mul¸time S ‰V se nume¸ste sistem de vectori. Spunem c˘a un sistem de vectori S ‰V este
liniar independent dacˇa din orice combina¸tie liniarˇa nulˇa cu elemente din S
(α v¯ +¢¢¢+α v¯ =¯0 cu α ,..., α 2K ¸si v¯ , ..., v¯ 2S) rezultˇa c˘a to¸ti coeficien¸tii sunt nuli (α = ¢¢¢= α = 0).
1 1 n n 1 n 1 n 1 n
Exemplu. Dac˘a v¯2 Vnf¯0g este un vector nenul, atunci mul¸timea S = fv¯g este liniar independent˘a, deoarece α¢v¯= ¯0,
α2K ¸si v¯6=0 )α=0.
Omul¸timeS ‰V sespunecˇaesteliniar dependentˇa dacˇanuesteliniarindependentˇa. Aceastarevinelacondi¸tiacˇaexistˇa
ocombina¸tieliniarˇanulˇacuelementedinS, aic˘areicoeficien¸tinusuntto¸tinuli, adicˇaexistˇaα v¯ +¢¢¢+α v¯ =¯0cuα ,...,
1 1 n n 1
α 2K, nu to¸ti nuli, ¸si v¯ , ..., v¯ 2S.
n 1 n
Exemple.
1. O mul¸time S ‰ V care con¸tine vectorul nul (¯0 2 S), este mul¸time liniar dependent˘a, deoarece dac˘a v¯ 2 S, atunci
0¢v¯+1¢¯0=¯0, coeficien¸tii nefiind to¸ti nuli.
2. Dac˘a v¯ 2 V este un vector ¸si α 2 K este un scalar, atunci mul¸timea S = fv¯,α¢v¯g este liniar dependent˘a, deoarece
α ¢v¯+(¡1)¢ (α ¢v¯) = ¯0, coeficien¸tii nefiind to¸ti nuli. Rezult˘a a¸sadar c˘a doi vectori coliniari formeaz˘a o mul¸time liniar
dependent˘a.
Propozi¸tia 10 O mul¸time de vectori S ‰V este liniar dependent˘a dac˘a ¸si numai dac˘a unul dintre vectori este o combina¸tie
liniar˘a a unui num˘ar finit de vectori din S.
Propozi¸tia 11 Fie S ‰V un sistem liniar independent. Atunci:
1. Dac˘a S0 ‰ S, atunci ¸si S0 este liniar independent (adic˘a orice
subsistem al unui sistem liniar independent este tot liniar independent).
2. Dac˘a v¯ , ..., v¯ 2S sunt diferi¸ti doi cˆate doi, α , ..., α 2K ¸si
1 n 1 n
v¯=α v¯ +¢¢¢+α v¯ , atunci α , ..., α sunt unic determina¸ti (adic˘a coeficien¸tii prin care un vector este o combina¸tie
1 1 n n 1 n
liniar˘a a unor vectori liniar independen¸ti da¸ti, sunt deternmina¸tiˆın mod unic).
Un sistem de vectori S ‰ V se spune cˇa este sistem de generatori pentru V dacˇa acoperirea sa liniarˇa coincide cuˆıntreg
spa¸tiul vectorial V, adicˇa L(S)=V.
UnsistemdevectoriB ‰V sespunecˇaestebazˇa aspa¸tiuluivectorialV dacˇaesteliniarindependent¸sisistemdegeneratori
pentru V.
Fie B =fv¯ ,...,v¯ g o baz˘a a lui V. Dacˇa x¯=α1v¯ +¢¢¢αnv¯ , atunci, cu propozi¸tia 11, coeficien¸tii α1,..., αn sunt unic
1 n 1 n
determina¸ti. Coeficien¸tii α1,..., αn se numesc coordonatele vectorului x¯ˆın baza B.
Exemple.
1. Fie Kn =K£¢¢¢£K ¸si K-spa¸tiul vectorial (Kn,+,¢ ). Atunci B =fe¯ ,...,e¯ g‰Kn, unde
| {z } sc 1 n
nori
e¯ =(1,0,...,0),...,e¯ =(0,...,0,1),
1 n
este o baz˘a, numit˘a baza canonic˘a a spa¸tiului vectorial (Kn,+,¢). Coordonatele unui vector x¯ =(x1,...,xn)= x1e¯ +¢¢¢+
1
xne¯ ,ˆın baza canonic˘a, sunt x1,..., xn.
n
2. Dac˘a corpul K are cel pu¸tin n + 1 elemente (de exemplu, K poate fi o mul¸time infinit˘a, cum este IR sau C0 ) ¸si
(K [X],+,¢ ) este K-spa¸tiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n, atunci mul¸timea de polinoame
n sc
f1, X, X2,..., Xng ‰ K [X] formeaz˘a o baz˘a, numit˘a baza canonic˘a. Dac˘a f = a +a X +¢¢¢+a Xn 2 K , atunci
n 0 1 n n
coordonatele lui f ˆın baza canonic˘a sunt a ,..., a .
0 n
Propozi¸tia 12 Dacˇa S = fv¯ ,...,v¯ g ‰ V este un sistem de vectori liniar independent, atunci S ‰ L(S) este o bazˇa a lui
1 n
L(S).
Propozi¸tia 13 Fie S = fv¯ ,...,v¯ g ‰ V un sistem de vectori liniar independent, x¯ = α1v¯ +α2v¯ +¢¢¢αnv¯ 2 L(S) ¸si
1 n 1 2 n
1•k •n. Fie sistemul de vectori S0 =fv¯1,..., v¯k¡1, x¯, v¯k+1, ...,v¯ng‰L(S).
Atunci sunt echivalente afirma¸tiile:
6 Paul Popescu ¸si Marcela Popescu
1. S0 este un sistem de vectori liniar independent.
2. αk 6=0.
3. L(S)=L(S0).
Propozi¸tia 14 Dacˇa S =fv¯ ,...,v¯ g‰V este un sistem de vectori liniar independent ¸si S0 =fw¯ ,...,w¯ g‰L(S) este de
1 n 1 k
asemenea un sistem de vectori liniar independent, atunci k •n.
Propozi¸tia 15 Fie S = fw¯ ,...,w¯ g ‰ V un sistem de generatori pentru V. Atunci exist˘a o baz˘a B ‰ V astfel c˘a B ‰ S
1 p
(adic˘a din orice sistem de generatori pentru V se poate extrage o baz˘a a lui V).
Propozi¸tia 16 Orice spa¸tiu vectorial care admite un sistem finit de generatori admite o baz˘a format˘a dintr-un num˘ar finit
de vectori.
ˆIn general, se poate ar˘ata c˘a orice spa¸tiu vectorial admite o baz˘a. Demonstra¸tia acestui fapt folose¸ste cuno¸stin¸te de
matematic˘a superioar˘a (lema lui Zorn, echivalent˘a cu axioma alegerii).
Teorema 1 (Teorema dimensiunii) Dacˇa B =fv¯ ,...,v¯ g‰V este o bazˇa a lui V, atunci orice altˇa bazˇa a lui V are acela¸si
1 n
num˘ar n de vectori.
Num˘arulvectorilordintr-obaz˘aaluiV senume¸stedimensiunea luiV ¸sisenoteazˇacudim V,saudimV. DacˇaV =f¯0g,
K
atunci se define¸ste dimV = 0. Un spa¸tiu vectorial care admite o bazˇa finitˇa se spune cˇa este finit dimensional. Spa¸tiile
vectoriale considerateˆın continuare sunt presupuse finit dimensionale.
Spa¸tiile vectoriale (Kn,+,¢ ) ¸si (K [X],+,¢ ) peste K au baze cu n, respectiv n + 1 vectori, deci au dimensiunile
sc n sc
dimKn =n ¸si dimK [X]=n+1.
n
Propozi¸tia 17 Fie W ‰V un subspa¸tiu vectorial al unui spa¸tiu vectorial (finit dimensional) V. Atunci:
1. Orice baz˘a a lui W se poate completa la o baz˘a a lui V.
2. Exist˘a un subspa¸tiu vectorial W0 ‰ V astfel ˆıncˆat V = W 'W0 (adic˘a V este sum˘a direct˘a a subspa¸tiilor vectoriale
suplimentare W ¸si W0).
Propozi¸tia 18 Dacˇa dimV =n, atunci
1. orice sistem care con¸tine n vectori liniar independen¸ti formeazˇa o bazˇaˆın V;
2. orice sistem de generatori care con¸tine n vectori formeazˇa o bazˇaˆın V;
3. dac˘a W ‰V este un subspa¸tiu vectorial, atunci W =V dac˘a ¸si numai dac˘a dimW =n.
Propozi¸tia 19 Fie V ,V ‰V douˇa subspa¸tii vectoriale (finit dimensionale) ale unui spa¸tiu vectorial V. Atunci:
1 2
dim(V )+dim(V )=dim(V \V )+dim(V +V ),
1 2 1 2 1 2
formul˘a cunoscut˘a sub numele de formula dimensiunii sau formula lui Grassmann.
3.2 Rangul unui sistem de vectori
Dacˇa M ‰V este un sistem de vectori din V, atunci rangul lui M este dimensiunea subspa¸tiului vectorial generat de M
(rangM =dimL(M)).
Propozi¸tia 20 Fie matricea A 2 M (K) ¸si fie sistemele de vectori: C ‰ M (K), format din coloanele matricii A ¸si
m,n m,1
L‰M (K), format din liniile matricii A. Au loc urmˇatoarele egalitˇa¸tiˆıntre rangurile sistemelor de vectori C , L ¸si rangul
1,n
matricii A:
rangC =rangL=rangA,
rezultat cunoscut sub numele de formula rangului.
Propozi¸tia 21 Fie F = fv¯1,...,v¯kg ‰ V un sistem finit de vectori din V ¸si [F]B matricea coordonatelor vectorilor din F
ˆıntr-o bazˇa oarecare B ‰V, cu cordonatele scrise pe coloan˘a. Atunci:
1. Rangul lui F este egal cu rangul matricii [F]B (adic˘a
rangF =rang[F]B).
2. Rangul matricii [F]B este k (rang[F]B =k) dac˘a ¸si numai dac˘a vectorii din F sunt liniar independen¸ti.
Algebraˇ Liniarˇa ¸si Geometrie Analiticˇa 7
3. Rangul matricii [F]B este strict mai mic decˆat k dac˘a ¸si numai dac˘a vectorii din F sunt liniar dependen¸ti.
4. Rangul matricii [F]B este egal cu dimensiunea lui V
(rang [F]B =dimV) dac˘a ¸si numai dac˘a vectorii din F formeazˇa o bazˇa (adicˇa F ‰V este o bazˇa) a lui V.
Exemplu. 0 1
1 ¡1 1
Fiev¯ =(1,¡1,2),v¯ =(¡1,1,1)¸siv¯ =(1,1,¡1)2IR3. MatriceacoordonatelorvectoriloresteA=@ ¡1 1 1 A,
1 1 3
2 1 ¡1
iar detA=¡6, prin urmare rangA=3, deci fv¯ ,v¯ ,v¯ g‰IR3 formeaz˘a o baz˘a.
1 2 3
DatˇaobazˇaB =fv¯ ,...,v¯ g‰V,fiecˇaruivectorx¯2V iseasociazˇaomatricecoloanˇaformatˇadincordonatelevectorului
1 n
x¯ˆın aceastˇa bazˇa: 0 1
x1
V 3x¯![x¯]B =B@ ... CA2Mn,1(K), undex¯=x1v¯1+¢¢¢+xnv¯n.
xn
Vom numi matricea [x¯]B reprezentarea matricialˇa a vectorului x¯ˆın baza B.
Exemplu.
Fie baza B0 = fv¯1 = (1,¡1,2),v¯1 = (¡1,1,1),v¯3 = (1,1,¡1)g ‰ 0IR3. 1Vectorul x¯ = (2,4,1) 2 IR3 se scrie sub forma
1
x¯=1¢v¯1+2¢v¯2+3¢v¯3. Reprezentarea matricial˘a a lui x¯ este [x¯]B0 =@ 2 A2M3,1(IR).
3
Dacˇa B =fe¯ ,...,e¯ g‰V ¸si B0 =ff¯,...,f¯ g‰V sunt douˇa baze ale lui V, atunci matricea de trecere de la baza B la
1 n 1 n
Pn
baza B0 este, prin defini¸tie, matricea A=(ai) , unde f¯ = aie¯, n=dimV. Explicit, cordonatele vectorilor din baza
j i,j=1,n j j i
i=1
B0 formeazˇa coloanele matricii A. Not˘am A=[B,B0].
Exemplu.
Fie baza canonic˘a
B = fe¯ = (1,0,0), e¯ = (0,1,0)g, e¯ = (0,0,1)g ‰ IR3 ¸si B0 = fv¯ = (1,¡1,2),v¯ = (¡1,1,1),v¯ = (1,1,¡1)g ‰ IR3 baza
1 2 3 1 2 3
considerat˘aˆın exemplele de mai sus. Matricea de trecere de la baza B la baza B0 este matricea
0 1
1 ¡1 1
[B,B0]=@ ¡1 1 1 A.
2 1 ¡1
Propozi¸tia 22 Fie B,B0 ‰ V dou˘a baze. Pentru un vector x¯ 2 V, ˆıntre reprezentˇarile sale matricialeˆın cele douˇa baze ¸si
matricea de trecere existˇa rela¸tia:
[x¯] =[B,B0]¢[x¯] . (5)
B B0
Dacˇa n=dimV, B =fe¯g , B0 =ff¯g , x¯=x1e¯ +¢¢¢+xne¯ =
i i=1,n j j=1,n 1 n
Pn
=y1f¯ +¢¢¢+ynf¯ ¸si e¯ = ajf¯, (8)i=1,n, atunci:
1 n i i j
j=1
0 1 0 1 0 1
x1 a1 ¢¢¢ a1 y1
1 n
B@ .. CA=B@ .. .. CA¢B@ .. CA. (6)
. . . .
xn an ¢¢¢ an yn
1 n
0 1
2
Exemplu. Vectorul x¯=(2,4,1)2IR3 , are reprezent˘arile matriciale [x¯]B =@ 4 Aˆın baza canonic˘a
1
0 1
1
B = fe¯1 = (1,0,0), e¯2 = (0,1,0), e¯3 = (0,0,1)g ‰ IR3 ¸si [x¯]B0 = @ 2 Aˆın baza B0 = fv¯1 = (1,¡1,2), v¯2 = (¡1,1,1),v¯3 =
3
0 1
1 ¡1 1
(1,1,¡1)g ‰ IR3. Matricea de trecere de la baza B la baza B0 este [B,B0] = @ ¡1 1 1 A. ˆIntr-adev˘ar, [x]B =
2 1 ¡1
0 1 0 10 1
2 1 ¡1 1 1
[B,B0][x]B0, pentru c˘a @ 4 A=@ ¡1 1 1 A@ 2 A.
1 2 1 ¡1 3
8 Paul Popescu ¸si Marcela Popescu
Propozi¸tia 23 Fie V un K-spa¸tiu vectorial de dimensiune n. Dac˘a B, B0 sunt dou˘a baze ale sale, matricea de trecere [B,B0],
de la baza B la baza B0, este o matrice inversabil˘a, inversa sa fiind [B0,B]. Reciproc, dac˘a B este o baz˘a a lui V ¸si A2M (K)
n
este o matrice inversabil˘a, atunci exist˘a o baz˘a B0 astfelˆıncˆat [B,B0]=A.
Fiind dat˘a o baz˘a B, s˘a observ˘am c˘a matricea unitate I poate fi considerat˘a drept I =[B,B] (adic˘a matricea de trecere
n n
care las˘a baza neschimbat˘a).
Propozi¸tia 24 Fie B, B0 ¸si B00 trei baze ale unui spa¸tie vectorial V. Atunci are loc egalitatea matricial˘a:
[B,B0]¢[B0,B00]=[B,B00].
Dacˇa B =fe¯ ,...,e¯ g‰V ¸si B0 =ff¯,...,f¯ g‰V sunt douˇa baze ale unui spa¸tiu vectorial real V, atunci:
1 n 1 n
1. Dac˘a det[B,B0]>0, atunci se spune c˘a bazele B ¸si B0 sunt la fel orientate;
2. Dac˘a det[B,B0]<0, atunci se spune c˘a bazele B ¸si B0 sunt invers orientate.
Propozi¸tia 25 Pe mul¸timea tuturor bazelor unui spa¸tiu vectorial real V, rela¸tia ,,B » B0 dac˘a B ¸si B0 sunt la fel orientate
(adic˘a det[B,B0]>0)” este o rela¸tie de echivalen¸t˘a.
Mul¸timeatuturorbazelorsescriecareuniuneaadou˘aclasedeechivalen¸t˘a; dou˘abazedinaceea¸siclas˘asuntlafelorientate,
iar dou˘a baze din clase diferite sunt invers orientate.
De exemplu,ˆın IR2, dac˘a se iau bazele B0 =(cid:181)fe¯1 =(1,¶0), e¯2 =(0,1)g ¸si B1 =ff¯1 =(1,0), f¯2 =(0,¡1)g, atunci cele dou˘a
1 0
baze nu sunt echivalente, pentru c˘a [B ,B ]= , det[B ,B ]=¡1, deci B ¸si B determin˘a dou˘a clase diferite.
0 1 0 ¡1 0 1 0 1
3.3 Lema substitu¸tiei
Propozi¸tia 26 (Lema substitu¸tiei) Fie B = fe¯ ,...,e¯ g o bazˇa a unui K-spa¸tiu vectorial V, doi vectori x¯ = x1e¯ +¢¢¢+
1 n 0 0 1
xne¯ 2V ¸si
0 n
x¯=x1e¯ +¢¢¢+xne¯ 2V ¸si un indice i 2f1,...,ng. Atunci
1 n 0
1. Mul¸timea B0 =fe¯1,...e¯i0¡1,x¯0,e¯i0+1,e¯ng este o bazˇa a lui V dacˇa ¸si numai dacˇa xi00 6=0.
2. Dacˇa xi0 6=0 ¸si
0
x¯=y1e¯1+¢¢¢+yi0¡1e¯i0¡1+ yi0x¯0+yi0+1e¯i0+1+¢¢¢+yne¯n este scrierea vectorului x¯ˆın baza B0, atunci:
fl fl
flfl xi0 xi0 flfl
fl 0 fl
yi0 = xi0 , yi = xixi00 ¡xi0xi0 = xi0 xi , (8)i6=i .
xi0 xi0 xi0 0
0 0 0
Numˇarulxi0 senume¸stepivot, iarreguladecalculacordonateloryi, i6=i , senume¸steregula dreptunghiului, deoarecedin
0 0
tabelul cordonatelor vectorilor:
x¯ x¯
0
e¯ x1 x1
1 0
. . .
. . .
. . .
iesedˆinbaz˘aee¯¯ii00¡1 x¯x0i0i0¡01 x¯xi0i¡01 : xi00 .& xi0
e¯i0..+1 x¯0i0..+1 x¯i0..+1 xi0 xi
. . .
e¯ xi xi
i 0
. . .
. . .
. . .
e¯ xn xn
n 0
se observ˘a c˘a yi, care va lua locul lui xi, se ob¸tine ca rezultat al sc˘aderii produselor xixi0 ¡xixi0 (al elementelor aflateˆın
0 0
col¸turile dreptunghiului din dreapta),ˆımp˘ar¸tit la pivolul xi0.
0
Se ob¸tine:
Algebraˇ Liniarˇa ¸si Geometrie Analiticˇa 9
x¯ x¯
0
e¯1 0 y1 = x1xi00x¡i0x10xi0
0
. . .
. . .
. . .
e¯i0¡1 0 yi0¡1 = xi0¡1xi00x¡i0xi00¡1xi0
0
x¯0 1 yi0 = xxii00
0
e¯i0¡1 0 yi0+1 = xi0+1xi00x¡i0xi00+1xi0
0
. . .
. . .
. . .
e¯i 0 yi = xixi00x¡i0xi0xi0
0
. . .
. . .
. . .
e¯n 0 yn = xnxi00x¡i0xn0xi0
0
Vom prezentaˆın continuare cˆateva aplica¸tii ale lemei substitu¸tiei.
3.3.1 Determinarea rangului unui sistem de vectori
Exemplu. Fie vectorii v¯ =(1,2,¡1), v¯ =(1,¡1,1), v¯ =(2,1,0), v¯ =(0,3,¡2)2IR3.
1 2 3 4
v¯ v¯ v¯ v¯
1 2 3 4
e¯ 1 1 2 0
1
e¯ 2 ¡1 1 3
2
e¯ ¡1 1 0 ¡2
3
v¯ 1 1 2 0
1
e¯ 0 ¡3 ¡3 3
2
e¯ 0 2 2 ¡2
3
v¯ 1 0 1 1
1
v¯ 0 1 1 ¡1
2
e¯ 0 0 0 0
3
S-au f˘acut dou˘aˆınlocuiri, deci rangul sistemului fv¯ ,v¯ ,v¯ ,v¯ g‰IR4 este 2 ¸si L(fv¯ ,v¯ g)=L(fv¯ ,v¯ ,v¯ ,v¯ g).
1 2 3 4 1 2 1 2 3 4
3.3.2 Rezolvarea unui sistem de ecua¸tii liniare
Exemple. 8
< x1 ¡x2 +x3 =0
1. Sistemul urm˘ator este incompatibil: x1 +x2 +x3 =6 .
:
Avem: 3x1 +x2 +3x3 =1
c¯ c¯ c¯ ¯b
1 2 3
e¯ 1 ¡1 1 0
1
e¯ 1 1 1 6
2
e¯ 3 1 3 1
3
c¯ 1 ¡1 1 0
1
e¯ 0 2 0 6
2
e¯3 0 4 0 1 8
c¯ 1 0 1 3 < x1 +x3 =3
1
c¯ 0 1 0 3 , x2 =3
2 :
e¯ 0 0 0 ¡11 0 =11
3
Sistemulesteincompatibil,pentruc˘a¡116=0. Justificareaesteurm˘atoarea: ¯b=3c¯ +3c¯ ¡11e¯ ,iarfc¯ ,c¯ g‰L(fc¯ ,c¯ ,c¯ g)
1 2 2 1 2 1 2 3
este baz˘a, deci¯b2/ L(fc¯ ,c¯ ,c¯ g).
1 2 3
2. Sistemul urm˘ator este compatibil:
8
< 2x1 ¡x2 +x3 =3
x1 +2x2 +x3 =6 .
:
3x1 +x2 +2x3 =9
10 Paul Popescu ¸si Marcela Popescu
Sistemul este compatibil, pentru c˘a¯b2L(fc¯ ,c¯ g). Sistemul,ˆın forma simplificat˘a, din care putem scrie solu¸tiile, se scrie:
1 2
8
>< x1 +3x3 = 12
5 5 ,
>: +x2 +1x3 = 9
5 5
3 12 1 9
decimul¸timeasolu¸tiilorestef(¡ α+ ,¡ α+ ,α)jα2IRg. Necunoscutax3 estenecunoscut˘asecundar˘a¸sinecunoscutele
5 5 5 5
x1 ¸si x2 sunt necunoscute principale.Urmeaz˘a tabelul:
c¯ c¯ c¯ ¯b
1 2 3
e¯ 2 ¡1 1 3
1
e¯ 1 2 1 6
2
e¯ 3 1 2 9
3
1 1 3
c¯ 1 ¡
1 2 2 2
5
1 9
e¯ 0 2
2 2 2
5 1 9
e¯ 0
3 2 2 2
3 12
c¯ 1 0
1 5 5
1 9
c¯ 0 1
2 5 5
e¯ 0 0 0 0
3
3.3.3 Calcularea inversei unei matrici
0 1
1 ¡1 1
Exemplu. S˘a se determine inversa matricii A=@ ¡1 1 0 A.
1 0 ¡1
c¯ c¯ c¯ e¯ e¯ e¯
1 2 3 1 2 3
e¯ 1 ¡1 1 1 0 0
1
e¯ ¡1 1 0 0 1 0
2
e¯ 1 0 ¡1 0 0 1
3
c¯ 1 ¡1 1 1 0 0
1
e¯ 0 0 1 1 1 0
2
e¯ 0 1 ¡2 ¡1 0 1
3
1 1 1
c¯ 1 ¡ 0 0 .
1 2 2 2
1
1 1
e¯ 0 2 0 1
2 2 2
1 1 1
c¯3 0 ¡2 1 2 0 ¡2 0 1
1 1 1
c¯ 1 0 0 1 1 1
1 )A¡1 =@ 1 2 1 A
c¯ 0 1 0 1 2 1
2
1 1 0
c¯ 0 0 1 1 1 0
3
ˆIntr0-adev˘ar, 10 1 0 10 1 0 1
1 ¡1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¡1 1 1 0 0
@ ¡1 1 0 A@ 1 2 1 A=@ 1 2 1 A@ ¡1 1 0 A=@ 0 1 0 A.
1 0 ¡1 1 1 0 1 1 0 1 0 ¡1 0 0 1
4 Aplica¸tii liniare ˆıntre dou˘a spa¸tii vectoriale
Fie V ¸si W dou˘a spa¸tii vectoriale peste acela¸si corp K.
O aplica¸tie f :V !W se nume¸ste aplica¸tie liniar˘a dac˘a are proprietatea c˘a f(αx¯+βy¯)=αf(x¯)+βf(y¯), (8)x¯,y¯2V ¸si
(8)α,β 2K. Not˘am cu L(V,W)=ff :V !Wjf aplica¸tie liniar˘ag.
Deexemplu,dac˘aV =M (K),W =M (K)¸siA2M (K),atunciaplica¸tiaf :M (K)!M (K)definit˘aprin
n,1 m,1 m,n n,1 m,1
f(X)=A¢X, este o aplica¸tie liniar˘a. ˆIntr-adev˘ar,¸tinˆand seama de propriet˘a¸tile opera¸tiilor cu matrici, avem f(αX+βY)=
αf(X)+βf(Y),
A¢(αX +βY)=α(A¢X)+β(A¢Y), (8)X,Y 2M (K) ¸si α,β 2K, ceea ce este, evident, adev˘arat.
n,1