1.1 Mengen und Abbildungen

12 Pages·2013·0.26 MB·German

by  Rudolf Scharlau

Lineare Algebra – 2005 - 2013 c Rudolf Scharlau 3
￿
1.1 Mengen und Abbildungen
In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und
Notation zusammen, die fu¨r jede Art von heutiger Mathematik unverzichtbar
ist. Wir knu¨pfen an u¨bliches (schul-)mathematisches Vorwissen u¨ber Zahlen und
Funktionen an, auch setzen wir ein Grundverst¨andnis von analytischer Geome-
trievoraus(BeschreibungvonPunktendurchKoordinaten).DerRahmenunserer
Ausfu¨hrungen ist aber viel weiter gesteckt und dementsprechend die Darstellung
abstrakt“ im Sinne der axiomatischen Vorgehensweise der modernen Mathema-
”
tik. (Im folgenden Abschnitt 1.3 wird dieser Aspekt noch deutlicher werden.)
Im ersten Teil dieses Abschnittes geht es um Mengen: Darstellung von Mengen,
Standard-Bezeichnungen fu¨r gewisse Mengen, Teilmengen, Vereinigung, Durch-
schnitt, Differenzmenge, kartesisches Produkt, M¨achtigkeit. Im zweiten Teil geht
es um das Konzept einer Abbildung (Funktion); hierzu geh¨oren die Begriffe Defi-
nitionsbereich,Zielbereich,BildundUrbild(vonElementenundvonTeilmengen).
Besonders wichtig sind die Begriffe injektiv, surjektiv, bijektiv und Umkehrabbil-
dung (inverse Abbildung). Nicht jede Abbildung besitzt eine Umkehrabbildung,
vielmehr trifft dieses genau fu¨r die bijektiven Abbildungen zu. Zum Schluss stel-
len wir den Zusammenhang zwischen Abbildungen und M¨achtigkeit von Mengen
her und fu¨hren den Begriff einer abz¨ahlbaren Menge ein.
Erkl¨arung 1.1.1 (G. Cantor1) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimm-
ter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens –
welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen.
Schreibweise:
x M x ist ein Element von M
∈
x M x ist nicht ein Element von M
￿∈
Definition 1.1.2 (Standard-Bezeichnungen fu¨r Mengen)
N = 1,2,3,4,... die natu¨rlichen Zahlen
{ }
N0 = 0,1,2,3,4,... die natu¨rliche Zahlen mit Null
{ }
Z = ..., 2, 1,0,1,2,... die ganzen Zahlen
{ − − }
Q = m m Z, n N die Bruchzahlen, rationalen Zahlen
{n | ∈ ∈ }
R die reellen Zahlen
die leere Menge
∅
Definition 1.1.3 Eine Menge M heißt endlich, wenn sie aus nur endlich vielen
Elementen besteht. In diesem Fall heißt die Anzahl der Elemente die M¨achtigkeit
oder auch Kardinalit¨at von M, in Zeichen: M oder #M.
| |
1Georg Cantor 1845 - 1918
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WirkommenuntenaufdiesenBegriffzuru¨ckundgehendannauchaufunendliche
Mengen ein.
Erkl¨arung 1.1.4 (Beschreibung von Mengen)
1. Durch Aufz¨ahlung der Elemente, z.B.
M = 1,3,5,6 , A = a,b,c,d,e,f ;
{ } { }
dieses ist prinzipiell bei endlichen Mengen m¨oglich, u.U. auch bei unendli-
chen Mengen, wenn keine Missverst¨andnisse zu befu¨rchten sind:
N0 = 0,1,2,3,4... , G = 2,4,6,8,... die Menge der geraden Zahlen.
{ } { }
2. Inbeschreibender Form,d.h.durchAngabederEigenschaftenderElemente,
z.B.
G = x x N und x ist gerade .
{ | ∈ }
Die allgemeine Form ist:
M = x A(x) ,
{ | }
dabei steht A fu¨r eine Eigenschaft, die potentielle Elemente haben k¨onnen;
A(x) heißt: die Eigenschaft A trifft fu¨r das Objekt x zu.
Man kann auch schreiben:
G = x N x ist gerade ,
{ ∈ | }
d.h. die gr¨oßere Menge, in der sich die Elemente der zu definierenden Menge
befinden, hier die Menge N, wird nicht unter den Eigenschaften, sondern
bereits vor dem Trennstrich in der Mengenklammer genannt.
3. In abgeku¨rzter beschreibender Form, z.B.
G = 2 m m N .
{ · | ∈ }
Man verzichtet hier auf einen speziellen Namen fu¨r die Elemente und gibt
sofort ein Bildungsgesetz, z.B. einen Term oder algebraischen Ausdruck, an.
Ein anderes Beispiel hierzu:
K = 1+3z z Z
{ | ∈ }
= ..., 5, 2,1,4,7,10,... .
{ − − }
Beispiel: die Menge der Quadratzahlen in allen drei Beschreibungsformen:
Q = 1,4,9,16,25,...
{ }
= y y N und es existiert ein x N so dass x2 = y
{ | ∈ ∈ }
= x2 x N
{ | ∈ }
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Definition 1.1.5 (Teilmenge)
a) Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge M, falls jedes Element von A
auch Element von M ist. Die entsprechende Beziehung zwischen A und M
heißt auch Inklusion (von A in M).
Bezeichnung: A M .
⊆
b) Eine Menge A heißt echte Teilmenge einer Menge M, falls A Teilmenge von
M und A = M ist. Die entsprechende Beziehung zwischen A und M heißt
￿
auch echte Inklusion (von A in M).
Bezeichnung: A ￿ M oder A ￿ M .
Wir weisen ausdru¨cklich darauf hin, dass bei der Inklusion die Gleichheit der
beiden Mengen erlaubt ist: es gilt M M. Fu¨r die Inklusion wird oft auch die
⊆
Schreibweise A M benutzt; die von uns gew¨ahlte Konvention hat den Vorteil,
⊂
dass sie zu den u¨blichen Zeichen bzw. < fu¨r den Gr¨oßenvergleich von Zahlen
≤
passt.
Definition 1.1.6 (Operationen mit Mengen)
A B = x x A und x B Durchschnitt
∩ { | ∈ ∈ }
A B = x x A oder x B Vereinigung
∪ { | ∈ ∈ }
A￿B = x x A und x B Differenz(menge)
{ | ∈ ￿∈ }
Beachte, dass bei der Bildung der Differenzmenge B nicht in A enthalten sein
muss. Man kann sich allerdings immer auf diesen Fall zuru¨ckziehen, denn es gilt
offensichtlich
A￿B = A￿(A B).
∩
MengenundMengenoperationenk¨onnendurchsog.Venn-Diagrammeveranschau-
licht werden; hier ist die Veranschaulichung der Differenzmenge:
A B A
A B B A B
\ \
Abb. 1.1: Differenzmenge
Falls alle betrachteten Mengen Teilmengen einer festen Menge M sind (in einer
solchen Situation wird M auch als Grundmenge bezeichnet), wird die Differenz-
menge M￿A auch als das Komplement von A in M bezeichnet. Oft schreibt man
fu¨r diese Menge ￿A oder A; wir werden diese Bezeichnungen nicht verwenden,
weil sie den Bezug auf die Grundmenge M nicht mehr ausdru¨cken.
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Definition 1.1.7 (Kartesisches Produkt, Produktmenge)
a) Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist definiert als
A B := (a,b) a A und b B .
× { | ∈ ∈ }
Ein Element (a,b) A B heißt geordnetes Paar. Nach Definition gilt fu¨r
∈ ×
beliebige a,a A, b,b B:
￿ ￿
∈ ∈
(a,b) = (a,b) genau dann, wenn a = a und b = b
￿ ￿ ￿ ￿
b) Allgemeiner ist das kartesische Produkt von n Mengen A ,A ,...,A defi-
1 2 n
niert als
A A A = (a ,a ,...,a ) a A fu¨r i = 1,...,n .
1 2 n 1 2 n i i
× ×···× { | ∈ }
Ein Element (a ,a ,...,a ) A A A heißt n-Tupel. Nach
1 2 n 1 2 n
∈ × ×···×
Definition gilt fu¨r beliebige a ,b A , i = 1,...,n:
i i i
∈
(a ,a ,...,a ) = (b ,b ,...,b ) genau dann, wenn a = b fu¨r i = 1,...,n.
1 2 n 1 2 n i i
Das kartesische Produkt wird auch einfach als Produktmenge bezeichnet.
Zwei n-Tupel sind also nur dann gleich, wenn an entsprechenden Stellen dasselbe
Element der jeweiligen Menge A steht. Insbesondere kommt es in geordneten
i
Paaren auf die Reihenfolge der beiden Elemente an: Es gilt (a,b) = (b,a), falls
￿
a = b. (Es mu¨ssen a und b beide in A und B liegen, damit die fraglichen Paare in
￿
A B liegen. Wir denken bei dieser Bemerkung insbesondere an den wichtigen
×
Fall A = B.) Bezu¨glich Reihenfolge verh¨alt sich also (a,b) anders als die Menge
a,b , fu¨r die offenbar a,b = b,a gilt. U¨brigens sollte man die Notation
{ } { } { }
a,b nur benutzen, wenn a = b ist (sonst notiert man die einelementige Menge
{ } ￿
natu¨rlich als a ), w¨ahrend ein geordnetes Paar (a,a) durchaus Sinn macht.
{ }
Bei n-Tupeln (wir nehmen wir der Einfachheit halber den Fall A = A =
1 2
= A =: A an) kommt es erst recht auf die Reihenfolge an: wenn etwa a,b,c
n
···
drei verschiedene Elemente aus A sind, dann k¨onnen wir hieraus 6 verschiedene
Tripel in A A A bilden, n¨amlich
× ×
(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).
Als Spezialfall eines kartesischen Produktes ist vor allem die Menge R R =: R2
×
bekannt. Hier handelt es sich um reelle Zahlenpaare, die nach Einfu¨hrung ei-
nes Koordinatensystems mit den Punkten der Ebene identifiziert werden. Wenn
M R und N R Intervalle sind, kann man sich entsprechendM N als Recht-
⊆ ⊆ ×
eckvorstellen.VondiesergeometrischenInterpretationkommtauchdieWortwahl
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kartesisch“ beim kartesischen Produkt her: Descartes 2 fu¨hrte als erster ein sol-
”
ches kartesisches“ Koordinatensystem ein.
”
Die Bezeichnung eines kartesischen Produktes als Produkt“ wird auch durch den
”
folgenden Satz unterstu¨tzt.
Satz 1.1.8 Es seien M und N zwei endliche Mengen. Dann ist auch ihr kartesi-
ches Produkt endlich und seine M¨achtigkeit gleich dem Produkt der M¨achtigkeiten
von M und N:
M N = M N .
| × | | |·| |
Beweis: Sei M = m, N = n, M = x ,x ,...,x , N = y ,y ,...,y .
1 2 m 1 2 n
| | | | { } { }
Dann ist M N die disjunkte Vereinigung der m Mengen x N, i = 1,...,m.
i
× { }×
Jede dieser Mengen hat n Elemente (sie ist gleichm¨achtig zur Menge N, siehe
unten 1.1.21 a)). Die M¨achtigkeit von M N ergibt sich also als die m-fache
×
Summe der Zahl n, also als m n, wie behauptet. ￿
·
Wir behandeln noch eine andere Abz¨ahlfrage im Zusammenhang mit endlichen
Mengen.
Definition und Satz 1.1.9 Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heißt
Potenzmenge von M und wird mit (M) bezeichnet:
P
(M) := X X M .
P { | ⊆ }
Wenn M endlich mit n Elementen ist, dann besteht (M) aus 2n Elementen:
P
(M) = 2M .
| |
|P |
Beweis durch vollst¨andige Induktion nach n:
Induktionsanfang: Fu¨r n = 0, also M = ist die Behauptung richtig, denn
∅
( ) = .
P ∅ {∅}
Induktionsschritt: Die Behauptung sei fu¨r Mengen der M¨achtigkeit n bewiesen.
Sei M eine Menge mit M = n + 1. W¨ahle ein Element a M, setze M :=
￿
| | ∈
M￿ a . Es gilt also M￿ = n. Wir teilen die Teilmengen X M in zwei Klassen
{ } | | ⊆
ein: Mengen mit a / X, das sind genau die Teilmengen von M , und Mengen mit
￿
∈
a X.AufdieseArthabenwireineDarstellung (M) = (M ) alsdisjunkte
￿ ￿
∈ P P ∪P
Vereinigung, wobei = X M a X . Die Mengen in sind alle von der
￿ ￿
P { ⊆ | ∈ } P
Form X = X a , wobei X eine (durch X eindeutig bestimmte) Teilmenge von
￿ ￿
∪{ }
M ist. Von diesen Mengen gibt es also genau so viele wie Teilmengen von M ,
￿ ￿
m.a.W. = (M ) . Nach Induktionsannahme gilt (M ) = 2n. Insgesamt
￿ ￿ ￿
|P | |P | |P |
folgt also
(M) = (M ) + = (M ) + (M ) = 2 (M ) = 2 2n = 2n+1,
￿ ￿ ￿ ￿ ￿
|P | |P | |P | |P | |P | |P | ·
2Ren´e Descartes, 1596 – 1650, franz¨osischer Philosoph und Mathematiker
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wie gewu¨nscht.
Es sei n = 3, M = a,b,c . Dann ist
{ }
(M) = , a , b , c , a,b , a,c , b,c , a,b,c
P {∅ { } { } { } { } { } { } { }}
= , c , b , b,c , a , a,c , a,b , a,b,c .
{∅ { } { } { } { } { } { } { }}
(Die zweite Zeile zeigt die Anordnung der Teilmengen, die sich aus dem Beweis
ergibt.)
Bezeichnungen 1.1.10 (einige Symbole der Logik)
heißt es gibt ein“
∃ ”
heißt fu¨r alle“
∀ ”
= heißt impliziert“, aus ...folgt“
⇒ ” ”
heißt genau dann, wenn“
⇐⇒ ”
: heißt genau dann, wenn“ (Definition der linken Seite)
⇐⇒ ”
Wir kommen zum zweiten Teil dieses Paragraphen, n¨amlich dem mathematischen
Begriff einer Abbildung.
Definition 1.1.11 Es seien X und Y zwei Mengen. Eine Abbildung von X in Y
ist gegeben durch eine Vorschrift f, die jedem Element x X genau ein Element
∈
y Y zuordnet. Man schreibt y = f(x) (lies: f von x“). Fu¨r die gesamte
∈ ”
Abbildung schreibt man
f : X Y (lies: f von X nach Y“ oder ...in Y“).
→ ” ”
Fu¨r ein Element x X benutzt man die Notation
∈
x f(x) (lies: x wird abgebildet auf f(x)“).
￿→ ”
f(x) heißt das Bild von x unter f.
X heißt Definitionsbereich.
Y heißt Zielbereich oder die Zielmenge.
Die Elemente von X heißen auch die Argumente der Abbildung
Wichtig: Zwei Abbildungen sind nur dann gleich, wenn die Vorschriften und auch
die Definitions- und Zielbereiche u¨bereinstimmen.
Die Abbildungen unter (1) des folgenden Beispiels sind alle verschieden, auch
wenn die Vorschrift immer die gleiche, n¨amlich das Quadrieren einer Zahl ist.
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Beispiele 1.1.12 (Abbildungen)
(1a) X = N, Y = N, f(x) = x2
(1b) X = Z, Y = N0, f(x) = x2
(1c) X = Z, Y = Z, f(x) = x2
(2) X = Y = R, f(x) = ex, cosx, sinx
reelle Funktionen“, wie man sie in der Analysis studiert, sind ebenfalls
”
Abbildungen.
(3) X = ( 1,2,...,n ), Y = N0, f(x) = x die M¨achtigkeit von x.
P { } | |
(4) X wie eben, Y = X, f(x) = x := 1,2,...,n ￿x das Komplement von x.
{ }
(5) X sei endlich. Dann kann die Vorschrift“ als eine (endliche) Tabelle auf-
”
gefasst werden.
Zum Beispiel: X = 1,2,3,4,5 , Y = u,v,w,x,y,z ,
{ } { }
x 1 2 3 4 5
f(x) y v w x w
Abbildungen zwischen endlichen Mengen (mit wenigen Elementen) kann man
auch durch ein Pfeildiagramm veranschaulichen: die Mengen X und X werden in
geeigneter Weise skizziert, und jedes Element des Definitionsbereiches wird mit
seinem Bild durch einen Pfeil verbunden:
1 u
2 v
3 w
4 x
5 y
z
Abb. 1.2 Pfeildiagramm einer Abbildung.
Das Pfeildiagramm einer Abbildung kann nicht beliebig aussehen, vielmehr hat es
folgendecharakteristischeEigenschaft:BeijedemElementdesDefinitionsbereichs
X beginnt genau ein Pfeil.
Ist eine Abbildung f mit Definitionsbereich X gegeben, kann man den Begriff des
Bildes unter f“ von den Elementen von X auf Teilmengen von X ausdehnen;
”
wir erg¨anzen ihn nun um den Begriff des Urbildes:
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Definition 1.1.13 (Bilder und Urbilder von Teilmengen) Es sei f : X Y eine
→
Abildung.
a) Fu¨r A X definiere
⊆
f(A) := y Y es gibt ein a A mit f(a) = y
{ ∈ | ∈ }
= f(a) a A
{ | ∈ }
das Bild von A unter f.
b) Die Menge f(X) (also das Bild von ganz X unter f) heißt auch die Bild-
menge oder einfach das Bild von f.
c) Fu¨r B Y definiere
⊆
f 1(B) := x X f(x) B
−
{ ∈ | ∈ }
das Urbild von B unter f.
d) Fu¨r einelementiges B = b schreibe kurz f 1(b) := f 1( b ), das Urbild
− −
{ } { }
von b unter f.
Zur Illustration dieser Begriffe benutzen wir die obigen Beispiele 1.1.12.
Beispiele 1.1.14
(1a) X = N, Y = N, f(x) = x2
f( 1,2,3 ) = 1,4,9
{ } { }
f( 5,7,12 ) = 25,49,144
{ } { }
f 1( 25,36,49 ) = 5,6,7
−
{ } { }
f 1( 10,11,12,...,20 ) = 4
−
{ } { }
f 1( 100,101,...,200 ) = 10,11,12,13,14
−
{ } { }
(1c) X = Z, Y = Z, f(x) = x2
f 1( 25 ) = 5, 5
−
{ } { − }
f 1( 25,36,49 ) = 5, 6, 7 (6 Elemente)
−
{ } {± ± ± }
f 1( 1, 2, 3,... ) = (leere Menge)
−
{− − − } ∅
(5) (siehe 1.1.12 (5)): X = 1,2,3,4,5 , Y = u,v,w,x,y,z
{ } { }
f 1( u,v ) = 2
−
{ } { }
f 1( z ) =
−
{ } ∅
f 1( v,w ) = 2,3,5
−
{ } { }
Man mache sich auch klar, wie man Bilder und Urbilder sieht“, wenn eine Ab-
”
bildung durch ein Pfeildiagramm gegeben ist.
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Definition 1.1.15 Eine Abbildung f : X Y heißt
→
injektiv : fu¨r alle x,x X gilt: x = x = f(x) = f(x),
￿ ￿ ￿
⇐⇒ ∈ ￿ ⇒ ￿
(Verschiedene Elemente in X haben auch verschiedene
Bilder unter f.)
surjektiv : fu¨r alle y Y gibt es ein x X mit f(x) = y,
⇐⇒ ∈ ∈
(Jedes Element in Y kommt als Bild unter f vor.)
bijektiv : f ist injektiv und surjektiv.
⇐⇒
Bemerkung Die Injektivit¨at kann man auch wie folgt formulieren:
x,x X, f(x) = f(x) = x = x .
￿ ￿ ￿
∈ ⇒
Wenn zwei Elemente das gleiche Bild haben, so sind sie gleich.
Im Pfeildiagramm bedeuten diese Eigenschaften:
injektiv : es laufen keine zwei Pfeile zusammen
surjektiv : bei jedem y in Y endet ein Pfeil
Eine Abbildung f : X Y ist surjektiv genau dann, wenn f(X) = Y ist, d.h.
→
ihr Bild ist gleich ganz Y. Aus einer beliebigen Abbildung f : X Y kann
→
man leicht eine surjektive Abbildung machen: Man ersetze n¨amlich Y durch die
Bildmenge f(X).
Definition 1.1.16 Es sei f : X Y eine Abbildung. Der Graph von f ist
→
definiert als
Γ := (x,f(x) x X X Y .
f
{ | ∈ }⊆ ×
Definition 1.1.17 Es seien f : X Y und g : Y Z, dabei Y Y zwei
￿ ￿
→ → ⊆
Abbildungen, wobei der Zielbereich der ersten im Definitionsbereich der zweiten
enthalten ist. Die Komposition, Verkettung oder Hintereinanderausfu¨hrung
g f : X Z
◦ →
(lies: g nach f“) ist definiert durch
”
(g f)(x) = g(f(x)) fu¨r alle x X.
◦ ∈
Bemerkung 1.1.18 Die Komposition ist assoziativ, d.h. wenn f : X Y,
→
g : Y Z, h : Z W drei Abbildungen sind mit Y Y und Z Z , so ist
￿ ￿ ￿ ￿
→ → ⊆ ⊆
h (g f) = (h g) f : X W .
◦ ◦ ◦ ◦ →
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Definition und Bemerkung 1.1.19 EsseiX irgendeineMenge.Dieidentische
Abbildung
id : X X
X
→
ist definiert durch id (x) = x fu¨r alle x X. Wenn f : X Y eine beliebige
X
∈ →
Abbildung ist, so gilt
f id = f = id f .
X Y
◦ ◦
Satz und Definition 1.1.20 (Umkehrabbildung) Es sei f : M N eine
→
Abbildung.
a) Die folgenden beiden Eigenschaften sind ¨aquivalent:
i) f ist bijektiv.
ii) Es gibt eine Abbildung g : N M so, dass
→
g(f(x)) = x fu¨r alle x M, d.h. g f = id und
M
∈ ◦
f(g(y)) = y fu¨r alle y N, d.h. f g = id .
N
∈ ◦
b) Falls f bijektiv ist, so gibt es nur eine Abbildung g, die ii) erfu¨llt. Schreibe
g = f 1. Diese Abbildung heißt die zu f inverse Abbildung, oder Umkehr-
−
abbildung von f.
c) Wenn f : M N bijektiv ist, so ist auch f 1 : N M bijektiv, und es
−
→ →
gilt (f 1) 1 = f.
− −
Beweis:
zu a): Es sind zwei Implikationen zu zeigen:
i) = ii)“: Zu jedem y N gibt es genau ein x M mit f(x) = y, denn f
” ⇒ ∈ ∈
ist surjektiv und injektiv. Setze nun g(y) := x. Dann gilt nach Konstruktion
g(f(x)) = x fu¨r alle x M ,
∈
wie unter ii) als erstes behauptet.
Wir zeigen nun die zweite Behauptung unter ii). Sei y N beliebig. Weil f
∈
surjektiv ist, existiert ein x M mit f(x) = y. Es folgt
∈
f(g(y)) = f(g(f(x))) = f(x) = y,
wie gewu¨nscht.
ii) = i)“:
” ⇒
1) f ist injektiv: Es seien x,x M mit f(x) = f(x). Dann ist x = g(f(x)) =
￿ ￿
∈
g(f(x)) = x, wie gewu¨nscht.
￿ ￿
2) f ist surjektiv: Sei y N gegeben. Setze x := g(y). Dann ist
∈
f(x) = f(g(y)) = (f g)(y) = y,
◦
wie gewu¨nscht.