Vom Amateur zum Großme Amateur zum Großmeister

30 Pages·2009·5.14 MB·German

ProInformatik –Funktionale Programmierung
Freie Universität Berlin
VVoomm AAmmaatteeuurr zzuumm GGrrooßßmmeeiisstteerr
- vvoonn SSppiieellbbääuummeenn uunndd aannddeerreenn WWäällddeerrnn -
ProInformatik - FFuunnkkttiioonnaallee PPrrooggrraammmmiieerruunngg
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Übersicht zum Inhalt
1) Es war einmal ... Tic-Tac-Toe!
2) Das unbesiegbare Tic-Tac-Toe-PPrrooggrraammmm
3) Spiele komplexer als das Weltall?
44)) OOhhnnee mmeennsscchhlliicchhee EExxppeerrtteenn ggeehhtt eess nniicchhtt
5) Schach ist Tic-Tac-Toe sehr ähnlich
6) Suche allein genügt nicht - aauucchh ddaass BBrreetttt iisstt wwiicchhttiigg
7) Mensch versus Maschine
8) Das Schachprogramm FUSc#
99)) PPrrooggrraammmmee kköönnnneenn sseellbbssttäännddiigg SSppiieellee lleerrnneenn
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Tic-Tac-Toe – EEiiggeennsscchhaafftteenn uunndd KKoommpplleexxiittäätt
Zunächst betrachten wir die speziellen Eigenschaften uunndd Spielregeln vom Spielklassiker
Tic-Tac-Toe.
alternierendes vollständige IInnffoorrmmaattiioonn Nullsummenspiel
ZZwweeii--SSppiieelleerr--SSppiieell
mit Spieler X und O des einen Gewinn ist
des anderen Verlust
Spielablauf Komplexität
x O
Mögliche Spielverläufe: 9*8*7*...*2*1 = 9!
das entspricht 362.880
x x O
Legale Wege gibt es sogar nur 255.168.
...
x
x Ohne Rotation und Spiegelung gibt es sogar nur
765 unterschiedliche Spielsituationen.
... O
Damit ist die Komplexität von Tic-Tac-Toe relativ
x
klein und die Lösung sehr einfach.
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Tic-Tac-Toe - Bewertungsfunktion
Wir benötigen eine Bewertungsfunktion, die besagt, wweellcchheerr Spieler gewonnen hat oder
ob eine Partie unentschieden endete.
Bewertungsfunktion
x OO xOO x x OO
Ox x xx O x x
O x x O xx O O x
-1 00 1
Spieler O gewinnt UUnneennttsscchhiieeddeenn Spieler X gewinnt
Suchbaum
X am Zug
?
O am Zug
X am Zug
Spielbewertungen 0 -1 -1 1 -1 00 1 1 -1
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Tic-Tac-Toe – llookkaallee BBeettrraacchhttuunngg ffüürr SSppiieelleerr OO
Betrachten wir die folgende Spielsituation für den Spieler OO
X am Zug
??
O am Zug
X am Zug
11 00 11 11
Spieler O wird sich für den vielversprechendsten ZZuugg eennttsscchheeiiddeenn uunndd wwäähhlltt ddaass Minimum der zur Verfügung
stehenden Möglichkeiten..
X am Zug
0
O am Zug
X am Zug
1 0 1 1
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Tic-Tac-Toe – llookkaallee BBeettrraacchhttuunngg ffüürr SSppiieelleerr XX
Betrachten wir die folgende Spielsituation für den Spieler XX
O am Zug
??
X am Zug
O am Zug
--11 11 00
Auch Spieler X wird sich für den vielversprechendsten ZZuugg eennttsscchheeiiddeenn uunndd wwäähhlltt iinn ddiieesseemm FFaallll ddaass Maximum
der zur Verfügung stehenden Möglichkeiten..
O am Zug
1
X am Zug
O am Zug
-1 1 0
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Tic-Tac-Toe – MinMax-Strategie
Wenn wir davon ausgehen, dass jeder Spieler immer den für sich aktuell besten Zug spielt, dann
können wir die MinMax-Strategie (Claude Elwood SShhaannnnoonn 1950) formulieren:
0
Maximieren X am Zug Hauptvariante
--11 --11 00
Minimieren O am Zug
X am Zug
0 -1 -1 1 -11 0 1 1 0
Formal läßt sich MinMax, wie folgt beschreiben:
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Tic-Tac-Toe – MinMax-Strategie
Formal läßt sich MinMax, wie folgt beschreiben:
Pseudocode:
mmaaxxKKnnootteenn((nn)) minKnoten(n)
if n ist terminaler Zustand if n ist terminaler Zustand
return eval(n) return eval(n)
w = -∞∞∞∞ w = ∞∞∞∞
für jedes Kind m of n für jedes Kind m of n
v = minKnoten(m) v = maxKnoten(m)
if v > w then w = v if v < w then w = v
return w return w
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Tic-Tac-Toe – MinMax-Strategie
data Baum a = Knoten a [Baum a]
Haskell [3]:
maximiere :: (Ord n) => (Baum n) --> n
maximiere (Knoten x []) = x
mmaaxxiimmiieerree ((KKnnootteenn xx cc)) == mmaaxxiimmuumm ((mmaapp mmiinniimmiieerree cc))
minimiere :: (Ord n) => (Baum n) --> n
mmiinniimmiieerree ((KKnnootteenn xx [[]])) == xx
mmiinniimmiieerree ((KKnnootteenn xx cc)) == mmiinniimmuumm ((mmaapp mmaaxxiimmiieerree cc))
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Unbesiegbares Programm
Mit Hilfe der MinMax-Strategie können wir für Spiele, mit ddeenn folgenden Eigenschaften ...
alternierendes vollständige Information Nullsummenspiel Geringe Komplexität
ZZwweeii--SSppiieelleerr--SSppiieell
mit Spieler X und O
... ein Programm schreiben, das unbesiegbar ist, wenn ddaass Spiel ausgeglichen ist.
John Forbes Nash
1994 Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften
Spieltheorie: Nash-Equilibrium
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