Scaled Alexander-Spanier Cohomology and Lqp Cohomology for Metric Spaces

109 Pages·2014·0.53 MB·English

by  Genton, Luc

Scaled Alexander-Spanier Cohomology and Lqp Cohomology
for Metric Spaces
THÈSE NO 6330 (2014)
PRÉSENTÉE LE 29 SEPTEMBRE 2014
À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE BASE
GROUPE TROYANOV
PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
PAR
Luc GENTON
acceptée sur proposition du jury:
Prof. K. Hess Bellwald, présidente du jury
Prof. M. Troyanov, directeur de thèse
Prof. M. Bourdon, rapporteur
Prof. N. Monod, rapporteur
Prof. N. Smale, rapporteur
Suisse
2014

Thisthesisisdedicatedtothenight.

Remerciements
Ilvadesoiqu’unethèsenes’écritpasdanslevideetsansfriction,contrairementàbeaucoup
d’exercicesdephysique.J’aibénéficiédusoutiendemonentourageetdemescollèguestout
aulongdemontravail,etj’ensuisgrandementreconnaissant.
Acetitre,j’aimeraisremerciermondirecteurdethèse,leprofesseurMarcTroyanov,poursa
patienceetsasagesse.
JeremercieleprofesseurMountfordpourlefinancementsupplémentairepourmondernier
semestreàl’EPFL,ainsiquelesmembresdemonjurydethèse,lesprofesseursKathrynHess,
MarcBourdon,NicolasMonod,NathanSmale,pourl’attentionetl’intérêtqu’ilsontconsacré
àmontravail. MerciaussiàAnnaDietler,MariaCardosoetPierrettePaulou-Vaucherpour
leuraidelogistiquepermanente.
Jeremercieaussimescollègues,enparticulierZahrapoursapugnacitéexemplaire,Adrien
poursabonnehumeuretsonécoute,Maximequim’abeaucoupaidépourlasubdivision
simplicialedanslesvariétésàcourburenégativeetThomasetJulian,grâceàquijen’aipaseu
l’impressiond’êtreleseulàpratiquerleshorairesinversés.
Je remercie encore ma famille, qui n’a jamais douté de moi et dont la solidité m’a aidé à
traverserdespériodesdifficiles.
Etfinalement,jeremercieLéaquim’aapportéénormémentdesoutienetd’écoutesurtoute
laduréedemondoctoratetsansquijen’auraispeut-êtrepasréussiàallerjusqu’aubout.
Lausanne,27août2014 L.G.
v

Abstract
WiththeaimtogeneralizethetheoryofLp andLπdeRhamcohomologytometricmeasure
spaces,wedefinethescaledAlexander-SpaniercohomologyandLp andLπAlexander-Spanier
cohomology.WefollowtheworkofPansu[33],Smale[37]andHausmann[24].
Alexander-Spaniercohomologyatscalet>0ofametricspace(X,ρ)isdefinedasthesimplicial
cohomologyofthecomplexgivenbyallsimplices(x ,...x )∈Xk+1 withdiam{x ,...x }<t.
0 k 0 k
Scaled Lqp Alexander-Spanier cohomology is the Lqp simplicial cohomology of the same
complex.Thelimitast→∞istheasymptoticAlexander-SpaniercohomologyofX.
TheasymptoticLp Alexander-Spaniercohomologyisaquasi-isometryinvariantforRieman-
nianmanifoldswithboundedgeometry.WeshowthattheasymptoticLqp Alexander-Spanier
cohomologyisaquasi-isometryinvariantforgraphswithboundeddegreeandthatL∞Lqp
Alexander-Spaniercohomologyisaquasi-isometryinvariantforRiemannianmanifoldswith
boundedgeometry.
ForRiemannianmanifoldswithboundedgeometry,thereexistsanumbert >0suchthatfor
0
allscalet ≤t ,theAlexander-Spaniercohomologyatscalet isisomorphictothedeRham
0
cohomology. ThesameresultistruefortheLp Alexander-SpaniercohomologyandLp de
Rhamcohomology.
WeshowthatforRiemannianmanifoldswithboundedgeometryandnon-positivesectional
curvature,theLp Alexander-Spaniercohomologyisindependantofscale. Inthissituation,
the asymptotic cohomology coincide with the cohomology at any scale. This results in a
proofofquasi-isometryinvarianceforLp deRhamcohomologyonRiemannianmanifoldsof
non-positivesectionnalcurvature.
π
Keywords:Alexander-Spaniercohomology,L cohomology,Vietoris-Ripscomplex,quasi-
isometryinvariance,metricspace,boundedgeometry,double-complex
vii

Résumé
Nousdéfinissonslacohomologied’Alexander-Spanierd’échellet ainsiquelacohomologie
Lp etLπ d’Alexander-Spanierd’échelle t,dansl’objectifd’étendrecertainespropriétésde
lacohomologieLp etLπ dedeRhamaucadredesespacesmétriquesmesurés.Nousnous
basonsenparticuliersurlestravauxdePansu[33],Hausmann[24]etSmale[37].
Lacohomologied’Alexander-Spanieràl’échellet>0d’unespacemétriqueestlacohomologie
simplicialeducomplexedéfiniparl’ensembledessimplexesdelaforme(x ,...x )∈Xk+1
0 k
telquediam{x ,...x }<t.LacohomologieLqp d’Alexander-Spanierd’unespacemétrique
0 k
mesuré est la cohomologie Lqp du même complexe. En prenant la limite à l’inifini sur le
paramètret,onobtientlacohomologieasymptotiqued’Alexander-Spanier.
LacohomologieLp d’Alexander-Spanierasymptotiqueestuninvariantdequasi-isométrie
pourlesvariétésriemanniennescomplèteàgéométriebornée.Nousmontronsquelaco-
homologieLqp d’Alexander-Spanierasymptotiqueestuninvariantdequasi-isométriepour
lesgraphesdedegréborné.NousmontronsaussiquelacohomologieL∞Lqp d’Alexander-
Spanierasymptotiqueestuninvariantdequasi-isométriepourlesvariétésriemanniennesà
géométriebornées.
Pourlesvariétésriemanniennescomplèteàgéométriebornée,ilexisteunnombre t >0
0
telquepourtoutt ≤t ,lacohomologied’Alexander-Spanierd’échellet estisomorpheàla
0
cohomologiededeRham.LemêmerésultatestvérifiépourlescohomologiesLp d’Alexander-
SpanieretdedeRham.
Nousmontronsquepourlesvariétésriemanniennescomplèteàgéométriebornéedecou-
buresectionnellenon-positive,lacohomologieLp d’Alexander-Spanierestindépendantede
l’échellet >0choisie.Danscettesituation,lacohomologieasymptotiquecoïncideavecla
cohomologied’Alexander-Spanieràn’importequelleéchelle,cequiprouvequelacohomolo-
giededeRhamLp estuninvariantdequasi-isométriepourlesvariétésriemannniennesde
courburesectionnellenon-positive.
Motsclefs:cohomologieLp,cohomologieLπ,Alexander-Spanier,Vietoris-Rips,espacemé-
trique,quasi-isométrie,géométriebornée,double-complexe
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