Romain Basson

212 Pages·2015·2.92 MB·French

ANNÉE 2015
THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1
sous le sceau de l’Université Européenne de Bretagne
pour le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE RENNES 1
Mention : Mathématiques et applications
École doctorale MATISSE
présentée par
Romain Basson
préparée à l’unité de recherche 6625 du CNRS : IRMAR
Institut de recherche mathématiques de Rennes
UFR de Mathématiques
Thèse soutenue à Rennes
le 24 juin 2015
Arithmétique des devant le jury composé de :
Francesc BARS
espaces de modules Professeur, UAB Barcelona/Rapporteur
Boris KOLEV
Chargé de recherche CNRS/Rapporteur
des courbes
Evelyne HUBERT
Chargé de recherche INRIA/Examinatrice
hyperelliptiques
Gilles LACHAUD
DirecteurderechercheémériteCNRS/Examinateur
de genre 3 en Christophe RITZENTHALER
Professeur, Université Rennes 1/Examinateur
Felix ULMER
caractéristique positive
Professeur, Université Rennes 1/Examinateur
Reynald LERCIER
Chercheur DGA/Directeur de thèse
Sylvain DUQUESNE
Professeur, Université Rennes 1/Directeur de thèse

Arithmétique des espaces de modules des
courbes hyperelliptiques de genre 3 en
caractéristique positive
Romain Basson

Èn o da Ìti oŒd‡n o da
Swkràthc
in Platon, Apologie de Socrate
As all roads lead to Rome, so I find in my own case at least that
all algebraic inquiries, sooner or later, end at the Capitol of modern
algebra, over whose shining portal is inscribed The Theory of Invariants.
J. J. Sylvester, 1864

Résumé
L’objet de cette thèse est une description effective des espaces de modules des courbes hyper-
elliptiques de genre 3 en caractéristique positive. En caractéristique nulle ou impaire, on obtient
une paramétrisation de ces espaces de modules par l’intermédiaire des algèbres d’invariants pour
l’action du groupe spécial linéaire sur les espaces de formes binaires de degré 8, qui sont de type
fini. Suite aux travaux de Lercier et Ritzenthaler, les cas des caractéristiques 3, 5 et 7 restaient
ouverts.Pourcesderniers,lesméthodesclassiquesdelacaractéristiquenullesontinopérantespour
l’obtention de générateurs pour les algèbres d’invariants en jeu. Nous nous sommes donc contenté
d’exhiber des invariants séparants en caractéristiques 3 et 7. En outre, nos résultats concernant la
caractéristique 5 suggèrent l’inadéquation de cette approche pour ce cas.
À partir de ces résultats, nous avons pu expliciter la stratification des espaces de modules des
courbes hyperelliptiques de genre 3 en caractéristiques 3 et 7 selon les groupes d’automorphismes
et implémenter divers algorithmes, dont celui de Mestre, pour la reconstruction d’une courbe à
partirdesonmodule,i.e.lavaleurdesesinvariants.Pourcettephasedereconstruction,nousnous
sommes notamment attachés aux questions arithmétiques, comme l’existence d’une obstruction à
être un corps de définition pour le corps de modules et, dans le cas contraire, à l’obtention d’un
modèle de la courbe sur ce corps de définition minimal.
Enfinpourlacaractéristique2,notreapprocheestdifférente,danslamesureoùlescourbessont
étudiées via leurs modèles d’Artin-Schreier. Nous exhibons pour ceux-ci des invariants bigradués
qui dépendent de la structure arithmétique des points de ramifications des courbes.
Abstract
The aim of this thesis is to provide an explicit description of the moduli spaces of genus 3
hyperellipticcurvesinpositivecharacteristic.Overafieldofoddcharacteristic,aparameterization
of these moduli spaces is given via the algebra of invariants of binary forms of degree 8 under
the action of the special linear group. Following the work of Lercier and Ritzenthaler, the case of
fields of characteristic 3, 5 and 7 are still open. However, in these remaining cases, the classical
methods in characteristic zero do not work in providing generators for these algebra of invariants.
Hence we provide only separating invariants in characteristic 3 and 7. Furthermore our results in
characteristic 5 show that this approach is not suitable.
From these results, we describe the stratification of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic
curvesincharacteristic3and7accordingtotheautomorphismgroupsofthecurvesandimplement
algorithmstoreconstructacurvefromitsinvariants.Forthisreconstructionstep,wepaidattention
to arithmetic issues, like the obstruction to be a field of definition for the field of moduli.
Finally, in the case of characteristic 2, we use a different approach where the curves are defined
by their Artin-Schreier models. The arithmetic structure of the ramification points of these curves
stratifies the moduli space in 5 cases and we define in each case invariants that characterize the
isomorphism class of hyperelliptic curves.

Table des matières
Liste des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Liste des tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Liste des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Liste des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
Introduction 1
Résultats connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Organisation de la thèse et principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Conventions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 Courbes hyperelliptiques vs formes binaires 15
1.1 Des courbes hyperelliptiques aux formes binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Invariants et covariants de formes binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Définitions et propriétés de séparations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Opérations de transvection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Espaces projectifs pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Écriture d’un invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I Invariants de formes binaires 23
2 Structure des algèbres d’invariants 25
2.1 Définitions et propriété de finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Systèmes minimaux de générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Systèmes homogènes de paramètres et algèbres de Cohen-Macaulay . . . . . . . . 28
2.4 Nullcone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Modules de syzygies et suites de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Séries de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.1 Calculs des séries de Hilbert pour les algèbres en caractéristique nulle . 37
n
I
2.7 Majorations des degrés des familles de générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 Obtention effective de familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 L’algèbre en caractéristique positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
n
I
2.10 L’exemple des quartiques binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.10.1 Cas générique, i.e. p = 0 ou p > 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10.2 Cas de la caractéristique 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
vi Table des matières
3 Interlude : quartiques ternaires et invariants de Lüroth 45
3.1 Quartiques de Lüroth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 L’expression de l’invariant de Lüroth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Quartiques de Ciani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Quartiques de Lüroth singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Questions ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Invariants pour les octiques binaires 55
4.1 Octiques binaires en caractéristique 0 et p > 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Structure de l’algèbre des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Description de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3
4.2 Octiques binaires en caractéristique 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1 Invariants en caractéristique 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.2 Structure conjecturale de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8
I
4.2.3 Covariants quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Octiques binaires en caractéristique 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.1 Invariants en caractéristique 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.2 Structure conjecturale de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8
I
4.3.3 Covariants quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Octiques binaires en caractéristique 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Invariants séparants 71
5.1 D-invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Schéma de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Invariants séparants en caractéristique 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.1 Octiques n’annulant pas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6
5.3.2 Formes annulant I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6
5.4 Invariants séparants en caractéristique 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.1 Formes n’annulant pas J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3
5.4.2 Formes annulant J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3
II Espaces de modules des courbes hyperelliptiques de genre 3 en carac-
téristiques 3 et 7 99
6 Algorithme de Mestre 101
6.1 Identités de Clebsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 Algorithme de reconstruction générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3 Mise en œuvre en caractéristiques 3 et 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Stratification des espaces de modules 107
7.1 Stratification par le groupe d’automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Stratégie pour la reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3 Description de l’espace de modules en caractéristique 3 . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3.1 Strates de dimension 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3.2 Strates de dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3.3 Strates de dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117