Lineare Abbildungen

21 Pages·2012·0.19 MB·German

Lineare Abbildungen
Lineare Algebra I
Kapitel 10
26. Juni 2012
Logistik
Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16
Webseite: www.math.tu-berlin.de/˜holtz Email: [email protected]
Assistent: Sadegh Jokar, MA 620, Sprechstunden Donnerstag 11:30-13
Tutoren: Cronj¨ager, Guzy, Kourimska, Rudolf
Anmeldung: u¨ber MOSES
Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847
Telefon: [phone] Email: [email protected]
Vorlesungen: VL am Dienstag 10-12 im MA004, Mittwoch 8-10 im H0104
Klausur? 11.07.2012 Mittwoch 8-10 H0104
Der Kurs gilt mit 50% Punkten fu¨r Hausaufgaben als bestanden
Zur Erinnerung: Eine lineare Abbildung f :V →W wird auch lineare
Transformation oder (Vektorraum-) Homomorphismus genannt. Eine
bijektive lineare Abbildung nennt man Isomorphismus. Gibt es fu¨r zwei
K-Vektorr¨aume V und W einen Isomorphismus f ∈L(V,W), so nennt
man die R¨aume V und W isomorph, geschrieben
V ∼=W.
Lineare Abbildungen
Definition
Seien V, W zwei K-Vektorr¨aume. Eine Abbildung f :V →W heißt
K-linear (kurz: linear), wenn fu¨r alle~v,w~ ∈V und λ∈K die
Gleichungen
(1) f(λ~v)=λf(~v),
(2) f(~v +w~)=f(~v)+f(w~),
gelten. Die Menge aller dieser Abbildungen bezeichnen wir mit L(V,W).
Lineare Abbildungen
Definition
Seien V, W zwei K-Vektorr¨aume. Eine Abbildung f :V →W heißt
K-linear (kurz: linear), wenn fu¨r alle~v,w~ ∈V und λ∈K die
Gleichungen
(1) f(λ~v)=λf(~v),
(2) f(~v +w~)=f(~v)+f(w~),
gelten. Die Menge aller dieser Abbildungen bezeichnen wir mit L(V,W).
Zur Erinnerung: Eine lineare Abbildung f :V →W wird auch lineare
Transformation oder (Vektorraum-) Homomorphismus genannt. Eine
bijektive lineare Abbildung nennt man Isomorphismus. Gibt es fu¨r zwei
K-Vektorr¨aume V und W einen Isomorphismus f ∈L(V,W), so nennt
man die R¨aume V und W isomorph, geschrieben
V ∼=W.
Alle linearen Abbildungen zwischen zwei K-Vektorr¨aumen
Seien V und W zwei K-Vektorr¨aume. Fu¨r f,g ∈L(V,W) und λ∈K
seien eine Addition und eine skalare Multiplikation definiert durch
+ : (f +g)(~v):=f(~v)+g(~v), ∀~v ∈V
· : (λ·f)(~v):=λf(~v) ∀~v ∈V.
(L(V,W),+,·) ist ein K-Vektorraum.
Beispiele
Multiplikation mit Matrizen A ∈ Kn,m
Jede Matrix definiert durch die Multiplikation eine lineare Abbildung von
Km,1 nach Kn,1:
A : Km,1 →Kn,1, x 7→Ax.
Diese Abbildung ist linear, denn fu¨r die skalare Multiplikation und
Addition in der Menge Kn,m gelten:
A(λx) = λAx, fu¨r alle x ∈Km,1 und λ∈K,
A(x +y) = Ax +Ay, fu¨r alle x,y ∈Km,1.
Beispiele
Multiplikation mit Matrizen A ∈ Kn,m
Jede Matrix definiert durch die Multiplikation eine lineare Abbildung von
Km,1 nach Kn,1:
A : Km,1 →Kn,1, x 7→Ax.
Diese Abbildung ist linear, denn fu¨r die skalare Multiplikation und
Addition in der Menge Kn,m gelten:
A(λx) = λAx, fu¨r alle x ∈Km,1 und λ∈K,
A(x +y) = Ax +Ay, fu¨r alle x,y ∈Km,1.
Alle linearen Abbildungen zwischen zwei K-Vektorr¨aumen
Seien V und W zwei K-Vektorr¨aume. Fu¨r f,g ∈L(V,W) und λ∈K
seien eine Addition und eine skalare Multiplikation definiert durch
+ : (f +g)(~v):=f(~v)+g(~v), ∀~v ∈V
· : (λ·f)(~v):=λf(~v) ∀~v ∈V.
(L(V,W),+,·) ist ein K-Vektorraum.
Weitere Beispiele
Polynomenr¨aume
Betrachte die Vektorr¨aume Q[t] und Q[t] der Polynome vom Grad
≤3 ≤2
kleiner gleich 3 bzw. 2 in t u¨ber Q. Dann ist die Abbildung
f :Q[t] →Q[t] , a t3+a t2+a t+a 7→2a t2+3a t+4a
≤3 ≤2 3 2 1 0 2 1 0
offensichtlich linear, die Abbildung
g :Q[t] →Qt]≤2, a t3+a t2+a t+a 7→a t2+a t+a2
≤3 [ 3 2 1 0 2 1 0
jedoch nicht, denn z.B. fu¨r die Polynome p =0t3+0t2+t+2 und
1
p =0t3+0t2+t+1 ergibt sich g(p +p )=2t+9 aber
2 1 2
g(p )+g(p )=2t+5.
1 2
D.h., dass es immer eine lineare Abbildung f :V →W gibt, die durch
Wahl einer Basis von V und Festlegung der Bilder der Basisvektoren
eindeutig bestimmt ist.
Beweis. Fu¨r jedes~v ∈V gibt es eindeutig bestimmte Koordinaten
λ ,...,λ mit~v =Pm λ~v. Wir definieren f :V →W durch
1 m i=1 i i
f(~v):=Pm λw~ . Es gilt dann f(~v)=w~ fu¨r i =1,...,m. Fu¨r jedes
i=1 i i i i
α∈K gilt α~v =Pm (α·λ)~v, also
i=1 i i
m m
X X
f(α~v)= (α·λ)w~ =α λw =αf(~v).
i i i i
i=1 i=1
Festlegung der Bilder der Basisvektoren
Satz
Seien V und W zwei K-Vektorr¨aume. Ist {~v ,...,~v } eine Basis von V
1 m
und sind w~ ,...,w~ ∈W, dann gibt es genau eine lineare Abbildung
1 m
f ∈L(V,W) mit f(~v)=w~ fu¨r i =1,...,m.
i i
Beweis. Fu¨r jedes~v ∈V gibt es eindeutig bestimmte Koordinaten
λ ,...,λ mit~v =Pm λ~v. Wir definieren f :V →W durch
1 m i=1 i i
f(~v):=Pm λw~ . Es gilt dann f(~v)=w~ fu¨r i =1,...,m. Fu¨r jedes
i=1 i i i i
α∈K gilt α~v =Pm (α·λ)~v, also
i=1 i i
m m
X X
f(α~v)= (α·λ)w~ =α λw =αf(~v).
i i i i
i=1 i=1
Festlegung der Bilder der Basisvektoren
Satz
Seien V und W zwei K-Vektorr¨aume. Ist {~v ,...,~v } eine Basis von V
1 m
und sind w~ ,...,w~ ∈W, dann gibt es genau eine lineare Abbildung
1 m
f ∈L(V,W) mit f(~v)=w~ fu¨r i =1,...,m.
i i
D.h., dass es immer eine lineare Abbildung f :V →W gibt, die durch
Wahl einer Basis von V und Festlegung der Bilder der Basisvektoren
eindeutig bestimmt ist.
Fu¨r jedes
α∈K gilt α~v =Pm (α·λ)~v, also
i=1 i i
m m
X X
f(α~v)= (α·λ)w~ =α λw =αf(~v).
i i i i
i=1 i=1
Festlegung der Bilder der Basisvektoren
Satz
Seien V und W zwei K-Vektorr¨aume. Ist {~v ,...,~v } eine Basis von V
1 m
und sind w~ ,...,w~ ∈W, dann gibt es genau eine lineare Abbildung
1 m
f ∈L(V,W) mit f(~v)=w~ fu¨r i =1,...,m.
i i
D.h., dass es immer eine lineare Abbildung f :V →W gibt, die durch
Wahl einer Basis von V und Festlegung der Bilder der Basisvektoren
eindeutig bestimmt ist.
Beweis. Fu¨r jedes~v ∈V gibt es eindeutig bestimmte Koordinaten
λ ,...,λ mit~v =Pm λ~v. Wir definieren f :V →W durch
1 m i=1 i i
f(~v):=Pm λw~ . Es gilt dann f(~v)=w~ fu¨r i =1,...,m.
i=1 i i i i