Diplomarbeit Anke Maerz

83 Pages·2012·0.49 MB·German

by  Anke Maerz

Eberhard Karls Universität Tübingen
Mathematik
Der Poincarésche Dualitätssatz
Diplomarbeit
von
Anke Maerz
Betreuer: Prof. Dr. Frank Loose
Fachbereich: Algebraische Topologie
Abgabetermin: 22.03.2012
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig angefertigt ha-
be. Die Konzepte und Ideen orientieren sich hauptsächlich an [Hat02]. Darüber hinaus
beruht die Arbeit teils ausdrücklich, teils implizit auf den angegebenen Quellen. Andere
Quellen habe ich nicht verwendet.
Tübingen, den 22.03.2012
Danksagung
In erster Linie gilt mein Dank Prof.Dr.Frank Loose, der diese Arbeit mit viel Engage-
ment und Freundlichkeit betreut hat.
Darüber hinaus danke ich Dipl.-Math.Dhia Mansour und Dipl.-Math.Johannes Spiel-
mann für die Hilfe im Umgang mit dem Vektorgrafikprogramm Inkscape.
Für die fachliche Unterstützung bedanke ich mich vor allem bei Katharina Radermacher
und Pirmin Vollert, weil sie diese Arbeit gelesen haben, außerdem bei Achim Krause und
Dipl.-Math.Christopher Nerz, auf deren Wissen ich immer wieder zurückgreifen durfte,
sowie bei Dipl.-Math.Markus Klein und Johanna Woye für deren Hilfsbereitschaft in
organisatorischen Fragen.
Ein weiterer Dank gilt meinen Kommilitonen Katharina, Chris, Markus, Max, Franzi,
Bici, Julian, Helmut und den vielen anderen, mit denen ich echte Gemeinschaft und
immer wieder auch Momente gegenseitiger geistiger Befruchtung erleben durfte.
Von ganzem Herzen danke ich meiner Familie, die nicht nur diese Arbeit gelesen hat,
sondern mir auch sonst in jeglicher Hinsicht uneingeschränkte Unterstützung, Bewun-
derung und Verständnis für manches Chaos entgegenbringt.
Insbesondere danke ich meinem Mann für jeden einzelnen Tag.
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung 7
2. Topologische Grundlagen 11
2.1. Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Kategorientheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Werkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Das Extensionsprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6. Das Cup-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Orientierung auf Mannigfaltigkeiten 29
3.1. Topologische Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Der Orientierungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Die Fundamentalklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4. Vergleich: Differentialtopologische Orientierung . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Technische Vorbereitungen 47
4.1. Das Cap-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Direkter Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3. Cohomologie mit kompaktem Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Der Dualitätssatz von Henri Poincaré 56
5.1. Poincaré -Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2. Beweis der Poincaré-Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A. Homologie mit Koeffizienten 64
A.1. Das Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.2. Das Torsionsprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.3. Homologie mit Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.4. Singuläre Cohomologie mit Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
B. Tieferer Einblick in die Orientierbarkeit von Mannigfaltigkeiten 68
B.1. Orientierbarkeit mit Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
B.2. Verallgemeinerte Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4
C. Grundlagen aus der Differentialgeometrie 70
C.1. Glatte Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
C.2. Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
C.3. Differentialtopologische Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.4. Korrespondenz der Orientierungsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Abbildungsverzeichnis i
Glossar ii
Notationen iv
Index vi
Literaturverzeichnis ix
Zusammenfassung
DiealgebraischeTopologiebeschäftigtsichdamit,topologischeRäumemitalgebraischen
Methoden zu unterscheiden und algebraische Bilder dafür zu finden, wie beispielsweise
Gruppen und Moduln.
Eine wichtige Eigenschaft topologischer Räume ist die Anzahl ihrer n-dimensionalen
„Löcher“ (für eine natürliche Zahl n), denn davon lassen sich auch einige andere Eigen-
schaften ableiten, wie zum Beispiel Homotopieäquivalenz und Homöomorphie. Um die
Räume nach diesem Kriterium zu sortieren, bieten sich zwei Wege an: Homotopie und
Homologie.
Zunächst ist die Homotopie der anschaulichere Weg, doch wenn man sich eine Zeit lang
mitHomologietheoriebeschäftigthat,wirdklar,dasssieingewisserWeisegrundlegender
ist als die Homotopie und einen großen Werkzeugkasten mit sich bringt. Noch mehr
Struktur liefert eine Dualisierung der Homologie: die Cohomologie.
Der Poincarésche Dualitätssatz besagt nun, dass für eine orientierbare, geschlossene
MannigfaltigkeitM dieAnzahlderk-dimensionalenLöcherinMn derAnzahlder(n k)-
−
dimensionalen Löcher in M entspricht, wobei k, n natürliche Zahlen sind. Das ist eine
erstaunliche Aussage, da man üblicherweise keine Beziehungen zwischen verschiedendi-
mensionalen Löchern finden kann.
1. Einführung
Die Mathematik kommt also „durch Konstruktionen“ vorwärts, sie
„konstruiert“ immer verwickeltere Kombinationen.
Indem sie dann durch die Analyse dieser Kombinationen, die man als
selbstständige Gesamtheiten bezeichnen könnte, zu ihren ursprünglichen
Elementen zurückkehrt, wird sie sich der gegenseitigen Beziehungen dieser
Elemente bewusst und leitet daraus die Beziehungen zwischen diesen
Gesamtheiten selbst ab.
(Henri Poincaré, vgl.[Poi04], S.15 f.)
Dieses Zitat von Henri Poincaré bietet eine sehr schöne Beschreibung der Arbeitsweise
von Mathematikern. Und für kaum ein Gebiet wäre sie wohl zutreffender als für die alge-
braische Topologie. Hier führen Konstruktionen auf ein sehr abstraktes Niveau, wenn sie
aber erst einmal eingeführt und verstanden sind, lassen sich plötzlich mit beeindrucken-
der Leichtigkeit große Sätze beweisen. Wie sehr Poincaré mit seiner Aussage Recht hat,
zeigt sich auch an der Geschichte seines Dualitätssatzes: In den Jahrzehnten nach Poin-
carésTodwurdedieserSatzdurchneueKonstruktionenweiterabstrahiert,umformuliert
und dadurch in die moderne algebraische Topologie eingebettet.
Der Poincarésche Dualitätssatz besagt, dass für eine orientierbare, geschlossene Man-
nigfaltigkeit M die Anzahl der k-dimensionalen Löcher in Mn der Anzahl der (n k)-
−
dimensionalen Löcher in M entspricht, wobei k, n natürliche Zahlen sind. Die nötigen
Konstruktionen sind also einerseits Werkzeuge, mit denen Löcher gemessen werden, also
die Konzepte Homologie und Cohomologie, andererseits die Räume, die betrachtet wer-
den, also Mannigfaltigkeiten und Orientierung, sowie weiterhin die Abbildung, die für
diese Räume ein Isomorphismus wird. Wie wichtig diese Konstruktionen sind und wie
leicht im Vergleich dazu der Beweis des Dualitätssatzes ist, zeigt sich auch am Umfang
der einführenden Kapitel.
Erste Begriffsbildung
Um die genauen Definitionen der oben genannten Begriffe geht es in Kapitel 2. Hier
soll zunächst ein erstes Gespür für die Bedeutung des Poincaréschen Dualitätssatzes
entwickelt werden.
Der Dualitätssatz von Henri Poincaré fällt in das Gebiet der algebraischen Topologie.
DiealgebraischeTopologiebeschäftigtsichdamit,topologischeRäumemitalgebraischen
Methoden zu unterscheiden und algebraische Bilder dafür zu finden, wie beispielsweise
7
1. Einführung
Gruppen und Moduln.
Um zwei verschiedene topologische Räume miteinander zu vergleichen, kann man als
Maßstäbe Homotopieäquivalenz, Homöo- und Diffeomorphie anwenden. Manchmal ist
es aber sehr schwer, konkrete Homotopien, Homöo- oder sogar Diffeomorphismen an-
zugeben. Dann kann man sie auch auf die Anzahl ihrer „Löcher“ hin vergleichen, denn
diese ist unter allen drei Arten von Abbildungen invariant. Um die Räume nach diesem
Kriterium zu sortieren, bieten sich zwei Wege an: Homotopie und Homologie.
ZunächstistdieHomotopiederanschaulichereWeg,dochdiehöherdimensionalenHomo-
topiegruppen sind sehr schwierig zu berechnen. Außerdem bringt die Homologietheorie
einen großen Werkzeugkasten mit sich, der sich zumindest teilweise auf die Homotopie
zurück übertragen lässt. In gewisser Weise ist daher die Homologietheorie das grund-
legendere Konzept. Noch mehr Struktur liefert eine Dualisierung der Homologie: die
Cohomologie.
Der Dualitätssatz von Poincaré besagt, dass auf orientierbaren, geschlossenen Mannig-
faltigkeiten die Anzahl der k-dimensionalen Löcher in Mn der Anzahl der (n k)-
−
dimensionalen Löcher in M entspricht, wobei k, n natürliche Zahlen sind. Das ist eine
erstaunliche Aussage, da man üblicherweise keine Beziehungen zwischen verschiedendi-
mensionalen Löchern finden kann.
Mannigfaltigkeiten sind Räume, die lokal sehr einfach sind. Sie sind Hauptgegenstand
vonDifferentialgeometrieundtheoretischerPhysik.OrientierbarkeitistkeinestarkeEin-
schränkung (wie wir in Kapitel 3 sehen werden). Daher hat Poincarés Dualitätssatz in
diesen Gebieten hohen, praktischen Nutzen.
Henri Poincaré: Das letzte Universalgenie?
Henri Poincaré kommt auf die Welt als Kind einflussreicher französischer Eltern im Jahr
1854, in einem Zeitalter der beginnenden Industrialisierung, als gerade Napoleon III sich
zumKaisergekrönthat.DieZeit,indererlebt,istgeprägtvoneinemgroßenWandel,vor
allemalsNapoleonIIIimJahr1870DeutschlandunterliegtundimAnschlussFrankreich
zum dritten Mal zur Republik wird.
Es ist eine Zeit voller Veränderungen, in der Worte wie „Zukunft“ und „Entwicklung“
einewesentlicheRollespielenundinderdasBürgertumzumerstenMalinderGeschichte
zur wichtigsten Gesellschaftsschicht wird.
Telegrafie,EisenbahnundDampfschifffahrtetablierensich,DarwinentwickeltseineEvo-
lutionstheorie und die Wissenschaften werden erstmals in Natur-, Ingenieurs-, Geistes-
und Sozialwissenschaften unterteilt und damit erheblich aufgestockt. Berufe sind nun
für jedermann erlernbar, der Zunftzwang wird aufgehoben.
AuchdieMathematikmachtindieserZeitgroßeSprünge,angefangendamit,dasssiesich
überhaupt als eigenständige Wissenschaft betrachtet. Angeregt durch die neue Auftei-
lung der Wissenschaften entstehen eigene Lehrstühle und Professuren für Mathematik,
vor allem in Deutschland, England und Frankreich. Überall wächst der Wunsch, Ma-
8
1. Einführung
thematik auf ein sicheres Fundament zu stellen. Die Notation spielt plötzlich eine große
Rolle; die Mathematik wird formalisiert.
DasGebietderAlgebrawächstmitGaloisinnerhalbwenigerJahrzehntevoneinemkaum
wahrgenommenen Randgebiet zu einem mächtigen Instrument, das tieferliegende Struk-
turen aufdecken und so andere mathematische Teilgebiete miteinander verknüpfen kann.
Cauchy begründet unsere heutige analytische Auffassung von Stetigkeit; Kronecker und
DedekindetablierendiekomplexenZahlen.DieDifferentialgeometriewirdvonGaußund
Riemann begründet und die Geometrie selbst wird um nicht-euklidische Konzeptionen
erweitert. Cantor wirft die Frage auf, ob es mehr als eine Unendlichkeit geben kann und
wird damit zum Begründer der Mengenlehre.
Dies ist nun die Zeit, in der dank Poincaré auch die Geburtsstunde der algebraischen To-
pologie schlägt. Denn Henri Poincaré wird nicht nur von dieser Zeit beeinflusst, sondern
er trägt maßgeblich zu ihrer Entwicklung bei: Mit 19 Jahren beginnt er sein Mathe-
matikstudium an der École polytechnique, wird bald darauf Schüler von Hermite und
anschließend Dozent in Caen, später an der Sorbonne in Paris.
Außerdem ist er Bergbauingenieur und arbeitet an der internationalen Synchronisierung
der Weltzeit im Bureau des Longitudes. So könnte man ihn sogar als mitverantwortlich
für die heute üblichen Zeitzonen und der Schaltsekunde bezeichnen.
In der Physik ist er flächendeckend tätig, vor allem aber begründet er die spezielle Rela-
tivitätstheorie mit. Im Rahmen dessen lernt er auch Einstein kennen, allerdings halten
die beiden nicht viel voneinander, obwohl sie das Genie des jeweils anderen durchaus
erkennen (vgl.[Gal03], S.314, [Pai82], Kap.8). Poincarés Genie wird auch von der Öf-
fentlichkeit anerkannt, doch seine Arbeitsweise ist oft unvollständig und ungenau, wie
sowohl Mittag-Leffler als auch andere (vgl.[Mes90], S.212) anmahnen.
Auch den nach ihm benannten Dualitätssatz, der Gegenstand dieser Arbeit ist, hat
Poincaré nicht exakt und vollständig bewiesen, sondern nur die Grundzüge dargelegt
und die Ausarbeitung anderen überlassen. Davon abgesehen wird heute die Poincaré-
Dualität viel allgemeiner formuliert, mit Konzepten, die zu Poincarés Lebzeiten erst in
Grundzügen zur Verfügung standen und erst 1944 mit Eilenberg voll entwickelt waren
(vgl. [Hat02], S. 131).
Dennoch ist er nach der Herausgabe seiner Schrift „Analysis Situs“ (1895), wie das
GebietderTopologiefrüherhieß,einerderführendenMathematikerseinerZeit.Erprägt
den Begriff der Fundamentalklasse, begründet den Begriff der Homologie und formuliert
eine erste, strikte Definition von Mannigfaltigkeiten - eine Begrifflichkeit, die in einer
gröberen Version das erste Mal 27 Jahre zuvor bei Bernhard Riemann aufgetaucht ist
(vgl. [Brü02], S. 103).
Doch auch andere mathematische Bereiche profitieren von seiner Arbeit: Er entwickelt
die Theorie der automorphen Funktionen, ein Modell für eine nicht-euklidische Geo-
metrie und verfasst Beiträge zur algebraischen Geometrie und zur Zahlentheorie. Als
Cantor die Diskussion aufbringt, ob es das Aktual Unendliche gibt oder nicht, versuchen
die Anhänger beider Seiten, Poincaré von ihrem Standpunkt zu überzeugen.
9
1. Einführung
Nicht zuletzt schreibt er einige Werke auf dem philosophischen Gebiet der Erkenntnis-
theorie,ambekanntestenistwohlseinBuch„WissenschaftundHypothese“(vgl.[Poi04]),
in dem er unter anderem zu dem Schluss kommt, dass die Mathematik keine echte Na-
turwissenschaft, sondern eine reine Geisteswissenschaft ist.
Aufgrund der Schaffenskraft auf so vielfältigen Gebieten wird Poincaré heute manch-
mal als letztes Universalgenie neben Hilbert bezeichnet. Dies ist nicht verwunderlich,
denn wie schon geschildert, ist das 19.Jahrhundert die Zeit, in der sowohl die Anzahl
als auch die Größe der wissenschaftlichen Forschungsgebiete explodiert.
Spätestens ab dem 20.Jahrhundert erscheint es unmöglich, dass ein Mensch noch einen
Überblick über das gesamte Wissen seiner Zeit besitzt.
Überblick über die Kapitel
In Kapitel 2 geht es darum, algebraisch-topologische Grundlagenkenntnisse zu entwi-
ckeln. So werden beispielsweise die Ausdrücke von Homologie und Cohomologie erörtert
und auch die Standard-Werkzeuge der algebraischen Topologie bereitgestellt. Diese ma-
chen es erst möglich, sich mit dem Thema der Poincaré-Dualität zu befassen.
Kapitel 3 führt den Begriff der algebraisch-topologischen Orientierung auf Mannigfaltig-
keiten ein und arbeitet eine Charakterisierung der Homologiegruppen von Mannigfaltig-
keiten aus.
In Kapitel 4 führen wir das Cap-Produkt und die Cohomologie mit kompaktem Träger
ein. Beides sind keine Standard-Werkzeuge der algebraischen Topologie, doch für den
Poincaréschen Dualitätssatz unverzichtbar. Denn das Cap-Produkt ist eben die Abbil-
dung, die zur Isomorphie zwischen k-dimensionalen und (n k)-dimensionalen, dua-
−
lisierten Löchern führt (für natürliche Zahlen 0 k n) und die Cohomologie mit
≤ ≤
kompaktem Träger ermöglicht es einerseits, den Dualitätssatz auch für nicht kompakte
Mannigfaltigkeiten zu formulieren und macht darüber hinaus den Beweis der Dualität
erst möglich.
In Kapitel 5 angekommen sind wir nun endlich in der Lage, den Dualitätssatz von
Henri Poincaré zu formulieren und auch zu beweisen - was sich dank der umfangreichen
Vorarbeit überraschend einfach gestaltet.
Anhang A erweitert das Konzept von Homologie und Cohomologie auf allgemeinere
Koeffizienten, sodass wir dann in Anhang B sämtliche Ergebnisse aus Kapitel 3 auch auf
die allgemeinere Version mit beliebigen Koeffizienten übertragen können.
Anhang C liefert schließlich die Grundlagen aus der Differentialgeometrie, die für den
Vergleich der verschiedenen Orientierungsbegriffe in 3 nötig sind.
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