Analitik erkrachaputyun ev gtsayin hanrahashiv: usumnakan dzernark

174 Pages·2016·1.37 MB·Estonian

by  Arakelyan H.S.

вڲêî²ÜÆ Ð²Üð²äºîàôÂÚ²Ü
ÎðÂàôÂÚ²Ü ºì ¶ÆîàôÂÚ²Ü Ü²Ê²ð²ðàôÂÚàôÜ

вڲêî²ÜÆ äºî²Î²Ü Ö²ðî²ð²¶Æî²Î²Ü вزÈê²ð²Ü

Ð.ê. ²è²øºÈÚ²Ü, Ð.Ø. ÊàêðàìÚ²Ü, ì.². ØÆð¼àÚ²Ü

²Ü²ÈÆîÆÎ ºðÎð²â²öàôÂÚàôÜ

ºì ¶Ì²ÚÆÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì

ºðºì²Ü 2003
вڲêî²ÜÆ Ð²Üð²äºîàôÂÚ²Ü
ÎðÂàôÂÚ²Ü ºì ¶ÆîàôÂÚ²Ü Ü²Ê²ð²ðàôÂÚàôÜ

вڲêî²ÜÆ äºî²Î²Ü Ö²ðî²ð²¶Æî²Î²Ü вزÈê²ð²Ü

Ø ² Â º Ø ² î Æ Î ² Ú Æ ¸ º ä ² ð î ² Ø º Ü î

Ð.ê. ²é³ù»ÉÛ³Ý
Ð.Ø. ÊáëñáíÛ³Ý
ì.². ØÇñ½áÛ³Ý

²Ü²ÈÆîÆÎ ºðÎð²â²öàôÂÚàôÜ ºì
¶Ì²ÚÆÜ Ð²Üð²Ð²ÞÆì

àõëáõÙÝ³Ï³Ý Ó»éݳñÏ

§Ö²ðî²ð²¶ºî¦
ºðºì²Ü 2003
1
Ðî¸ 514.12:512.64(07)
¶Ø¸ 22.151.5+22.143ó73
² 706

²é³ù»ÉÛ³Ý Ð.ê. ¨ áõñÇßÝ»ñ
² 706 ²Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ ¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí. Ð.ê. ²é³
ù»ÉÛ³Ý, Ð.Ø. ÊáëñáíÛ³Ý, ì.². ØÇñ½áÛ³Ý.- ºñ.: ÐäÖÐ §Ö³ñ-
ï³ñ³·»ï¦ Ññ³ï., 2003.- 172 ¿ç:

²Ý³ÉÇïÇÏ »ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ ¨ ·Í³ÛÇÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßÇí, áõëáõÙ-
Ý³Ï³Ý Ó»éݳñÏÇ ÑÇÙùáõÙ ¹ñí³Í »Ý ѳÝñ³Ñ³ßíÇó ¨ ³Ý³ÉÇïÇÏ
»ñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝÇó ÐäÖÐ-áõ٠ϳñ¹³óí³Í ¹³ë³ËáëáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²Û¹
»ñÏáõ Ïáõñë»ñÁ Çñ³ñ Ñ»ï áõÝ»Ý ß³ï ÑåÙ³Ý Ï»ï»ñ, ѻ勉µ³ñ
Ýñ³Ýó Ññ³ï³ñ³ÏáõÙÁ ѳٳï»Õ Çñ³Ï³Ý ¿ ¨ µÝ³Ï³Ý:
î»ë³Ï³Ý ÝÛáõÃÇ ß³ñ³¹ñ³ÝùÁ Éáõë³µ³Ýí³Í ¿ Ù»Í Ãíáí
ûñÇݳÏÝ»ñáí ¨ áõÕ»Ïóí³Í ¿ ËݹÇñÝ»ñáí, áñáÝù ѳ׳Ë
å³ñáõݳÏáõÙ »Ý Éñ³óáõóÇã ÝÛáõÃ:
àõëáõÙÝ³Ï³Ý Ó»éݳñÏÁ ݳ˳ï»ëí³Í ¿ ÐäÖÐ-Ç ¨ ³ÛÉ
µáõÑ»ñÇ ³é³çÇÝ ÏáõñëÇ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

¶ñ³ËáëÝ»ñª ýǽ. Ù³Ã. ·Çï. ¹áÏïáñ ì.Ð. سñïÇñáëÛ³Ý
ýǽ. Ù³Ã. ·Çï. ûÏ. ¹áó. È.¼. ¶¨áñ·Û³Ý

1602050000
² 2003 ¶Ø¸ 22.151.5+22.143ó73
0139(01)2003

ISBN 99930-988-1-7

ä³ïí»ñª 698 îå³ù³Ý³Ïª 500

îå³·ñí³Í ¿ г۳ëï³ÝÇ ä»ï³Ï³Ý Ö³ñï³ñ³·Çï³Ï³Ý
гٳÉë³ñ³ÝÇ ïå³ñ³ÝáõÙ
ºñ¨³Ý, î»ñÛ³Ý 105
2
¶ÈàôÊ 1. ¸ºîºðØÆܲÜîܺð

1. ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇݳÝïÝ»ñ ¨ Ýñ³Ýó
ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

¸Çï³ñÏ»Ýù ãáñë Ãí»ñÇó ϳ½Ùí³Í Ñ»ï¨Û³É ³ÕÛáõë³ÏÁ, áñÁ ϳÝ-
í³Ý»Ýù »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ù³é³ÏáõëÇ Ù³ïñÇóª
⎛a a ⎞
⎜ 11 12 ⎟:
⎜ ⎟
a a
⎝ ⎠
21 22
(1)
Ù³ïñÇóÁ ϳ½ÙáÕ Ãí»ñÁ Ý߳ݳÏí³Í »Ý »ñÏáõ Çݹ»ùëÝ»ñáí: ²é³çÇÝ
Çݹ»ùëÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë ïáÕÇ Ñ³Ù³ñÁ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ Çݹ»ùëÁª ëÛ³Ý
ѳٳñÁ, áñáõÙ ·ïÝíáõÙ ¿ ïñí³Í ÃÇíÁ: úñÇÝ³Ï a −Á ·ïÝíáõÙ ¿
12
Ù³ïñÇóÇ ³é³çÇÝ ïáÕáõÙ ¨ »ñÏñáñ¹ ëÛáõÝáõÙ: a , a , a , a
11 12 21 22
Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý (1) Ù³ïñÇóÇ ï³ññ»ñ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: (1) Ù³ïñÇóÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç
¹»ï»ñÙÇݳÝï ÏáãíáõÙ ¿ a a −a a ÃÇíÁ: ²ÛÝ ÏÝ߳ݳϻÝù Ñ»ï»-
11 22 21 12
íÛ³É Ó¨áíª
a a
11 12 :
a a
21 22
²ÛëåÇëáí, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý
a a
11 12 = a a −a a :
a a 11 22 21 12
21 22
2 5
úñÇݳÏ: = 2⋅(−4)−5⋅3= −23:
3 −4
ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇݳÝïÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝ-
Ý»ñáíª
гïÏáõÃÛáõÝ 1: ¸»ï»ñÙÇݳÝïÇ ³ñÅ»ùÁ ãÇ ÷áËíÇ, »Ã» Ýñ³ ѳ-
Ù³å³ï³ëË³Ý ïáÕ»ñÁ ¨ ëÛáõÝ»ñÁ ÷áËí»Ý ï»Õ»ñáí, ³ÛëÇÝùݪ
a a a a
11 12 = 11 21 :
a a a a
21 22 12 22
гïÏáõÃÛáõÝ 2: ¸»ï»ñÙÇݳÝïÇ »ñÏáõ ïáÕ»ñÇ (ëÛáõÝ»ñÇ) ï»Õ»ñÁ
÷áË»ÉÇë ¹»ï»ñÙÇݳÝïÁ ÷áËáõÙ ¿ ÙdzÛÝ Ýß³ÝÁ, ³ÛëÇÝùݪ
3
a a a a
11 12 = − 21 22 :
a a a a
21 22 11 12
гïÏáõÃÛáõÝ 3: ºñÏáõ Ùdzï»ë³Ï ïáÕ»ñ (ëÛáõÝ»ñ) áõÝ»óáÕ ¹»-
ï»ñÙÇݳÝïÁ ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ:
гïÏáõÃÛáõÝ 4: ºÃ» ¹»ï»ñÙÇݳÝïÇ áñ¨¿ ïáÕÇ (ëÛ³Ý) µáÉáñ
ï³ññ»ñÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù λ Ãíáí, ³å³ ¹»ï»ñÙÇݳÝïÁ ϵ³½Ù³-
å³ïÏíÇ λ−áí, ³ÛëÇÝùÝ, ûñÇݳϪ
a λa a a
11 12 = λ 11 12 :
a λa a a
21 22 21 22
гïÏáõÃÛáõÝ 5: ºÃ» ¹»ï»ñÙÇݳÝïÇ áñ¨¿ ïáÕÁ (ëÛáõÝÁ) ϳ½Ùí³Í
¿ ½ñáÝ»ñÇó, ³å³ ¹»ï»ñÙÇݳÝïÁ ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ:
гïÏáõÃÛáõÝ 6: ºÃ» ¹»ï»ñÙÇݳÝïÇ áñ¨¿ ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ï³ññ»ñÇÝ
·áõÙ³ñ»Ýù ÙÛáõë ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ѳٳå³ï³ëË³Ý ï³ññ»ñÁª µ³½Ù³-
å³ïÏ»Éáí ÙǨÝáõÛÝ λ Ãíáí, ³å³ ¹»ï»ñÙÇݳÝïÇ ³ñÅ»ùÁ ãÇ ÷áËíÇ,
³ÛëÇÝùݪ Ù³ëݳíáñ³å»ë
a +λa a a a
11 12 12 = 11 12 :
a +λa a a a
21 22 22 21 22
²Ûë ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ³å³óáõóíáõÙ »Ýª û·ïí»Éáí
¹»ï»ñÙÇݳÝïÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó:

2. ºññáñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇݳÝïÝ»ñ ¨ Ýñ³Ýó
ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

¸Çï³ñÏ»Ýù ÇÝÁ Ãí»ñÇó ϳ½Ùí³Í Ñ»ï¨Û³É ³ÕÛáõë³ÏÁ, áñÁ ϳÝ-
í³Ý»Ýù »ññáñ¹ ϳñ·Ç ù³é³ÏáõëÇ Ù³ïñÇóª
⎛a a a ⎞
⎜ 11 12 13⎟
⎜a a a ⎟: (1)
21 22 23
⎜ ⎟
a a a
⎝ ⎠
31 32 33
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: (1) Ù³ïñÇóÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ »ññáñ¹ ϳñ·Ç
¹»ï»ñÙÇݳÝïÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ÃÇíÁª
a a a +a a a +a a a −a a a −a a a −a a a :
11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13 21 12 33 11 23 32
²ÛÝ ÏÝ߳ݳϻÝù Ñ»ï¨Û³É Ó¨áíª
4
a a a
11 12 13
a a a :
21 22 23
a a a
31 32 33
²ÛëåÇëáí, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý
a a a
11 12 13
a a a = a a a +a a a +a a a −a a a −
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13
a a a
31 32 33
−a a a −a a a : (2)
21 12 33 11 23 32
àñå»ë½Ç ÑÇß»Ýù, û (2) µ³Ý³Ó¨Ç ³ç Ù³ëÇ áñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÝ
»Ý í»ñóñ³Í ¹ñ³Ï³Ý Ýß³Ýáí ¨ áñáÝùª µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³Ýáí, ѳñÙ³ñ ¿
û·ï³·áñÍ»É »é³ÝÏÛ³Ý Ï³ÝáÝÁª

+
¯

úñÇݳÏ:
3 −2 1
−2 1 3 =3⋅1⋅(−2)+(−2)⋅3⋅2+(−2)⋅0⋅1−2⋅1⋅1−

2 0 −2
−(−2)(−2)(−2)−3⋅0⋅3= −12:
ºññáñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇݳÝïÝ ûÅïí³Í ¿ µáÉáñ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»-
ñáí, áñáÝù ï»ÕÇ áõÝ»ÇÝ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇݳÝïÇ Ñ³Ù³ñ: ²Û¹
ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ϳñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É:
ºññáñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇݳÝïÇ áõñÇß Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ Ó¨³Ï»ñ-
å»Éáõ ѳٳñ ͳÝáóݳÝù ÙÇÝáñÇ ¨ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óÙ³Ý
·³Õ³÷³ñÝ»ñÇÝ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: (1) Ù³ïñÇóÇ (ϳ٠Ýñ³Ý ѳٳå³ï³ë˳ÝáÕ ¹»-
ï»ñÙÇݳÝïÇ) a ï³ññÇ ÙÇÝáñ ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ i−ñ¹ ïáÕÇ ¨ j−ñ¹
ij
5
ëÛ³Ý çÝçáõÙÇó Ñ»ïá Ùݳó³Í ï³ññ»ñÇó ϳ½Ùí³Í »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç
¹»ï»ñÙÇݳÝïÁ: ²ÛÝ ÏÝ߳ݳϻÝù M −áí:
ij
a a
úñÇÝ³Ï ¹»ï»ñÙÇݳÝïÇ a ï³ññÇ ÙÇÝáñÁª M = 21 23 :
12 12 a a
31 33
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: (1) Ù³ïñÇóÇ (ϳ٠Ýñ³Ý ѳٳå³ï³ë˳ÝáÕ ¹»-
ï»ñÙÇݳÝïÇ) a ï³ññÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõÙ ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹
ij
ï³ññÇ ÙÇÝáñÁ í»ñóñ³Í (−1)i+j Ýß³Ýáí: ²ÛÝ ÏÝ߳ݳϻÝù A −áí:
ij
²ÛëåÇëáíª
A =(−1)i+jM :
ij ij
»áñ»Ù 1: ¸»ï»ñÙÇݳÝïÁ ѳí³ë³ñ ¿ Çñ áñ¨¿ ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ï³ñ-
ñ»ñÇ ¨ Ýñ³Ýó ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³-
ñÇÝ:
²ÛëÇÝùÝ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª
∆ = a A +a A +a A , ∆ = a A +a A +a A ,
11 11 12 12 13 13 11 11 21 21 31 31
∆ = a A +a A +a A , ∆ = a A +a A +a A ,
21 21 22 22 23 23 12 12 22 22 33 33
∆ = a A +a A +a A , ∆ = a A +a A +a A ,
31 31 32 32 33 33 13 13 23 23 33 33
áñï»Õ ∆−áí Ý߳ݳÏí³Í ¿ »ññáñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇݳÝïÁ:
²å³óáõó»Ýù ³Ûë ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, ûñÇݳÏ, ³é³çÇÝÁ: ¸ñ³
ѳٳñ µ³í³Ï³Ý ¿ (2) µ³Ý³Ó¨Ç ³ç Ù³ëÁ Ý»ñϳ۳óÝ»É Ñ»ï¨Û³É
ï»ëùáíª
∆ = a (a a −a a )+a (a a −a a )+a (a a −a a )=
11 22 33 32 23 12 23 31 21 33 13 21 32 31 22

= a A +a A +a A :
11 11 12 12 13 13
OñÇݳÏ: ì»ñÉáõÍ»Éáí Áëï ³é³çÇÝ ïáÕÇ ï³ññ»ñÇ, ѳßí»É Ñ»ï»-
íÛ³É ¹»ï»ñÙÇݳÝïÁª
2 4 6
∆ = 5 12 19 :
3 9 17
ÈáõÍáõÙ:
12 19 5 19 5 12
∆ = 2 −4 +6 =8:
9 17 3 17 3 9
6
»áñ»Ù 2: ¸»ï»ñÙÇݳÝïÇ áñ¨¿ ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ï³ññ»ñÇ ¨ Ù»Ï ³ÛÉ
ïáÕÇ (ëÛ³Ý) ѳٳå³ï³ëË³Ý ï³ññ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõÙ-
Ý»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ:
²å³óáõó»Ýù, ûñÇݳÏ, áñ »ñÏñáñ¹ ëÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ¨ ³é³çÇÝ ëÛ³Ý
ѳٳå³ï³ëË³Ý ï³ññ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ³ñï³-
¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ³ÛëÇÝùݪ
a A +a A +a A =0:
12 11 22 21 32 31
¸ñ³ ѳٳñ ∆ ¹»ï»ñÙÇݳÝïÁ í»ñÉáõÍ»Ýù Áëï ³é³çÇÝ ëÛ³Ý
ï³ññ»ñǪ
∆ = a A +a A +a A :
11 11 21 21 31 31
(3)
ä³ñ½ ¿, áñ A , A , A ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõÙÝ»ñÁ ϳË-
11 21 31
í³Í ã»Ý a , a , a ï³ññ»ñÇó, ѻ勉µ³ñ (3) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ
11 21 31
a , a , a −»ñÇ Ýϳïٳٵ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ ¿ ¨ (3)-Ç Ù»ç a , a , a
11 21 31 11 21 31
Ãí»ñÁ ϳñáÕ »Ýù ÷á˳ñÇÝ»É ó³Ýϳó³Í Ãí»ñáí: öá˳ñÇÝ»Éáí a ,
11
a , a Ãí»ñÁ a , a , a Ãí»ñáíª (3)-Ç Ó³Ë Ù³ëáõÙ, Ïëï³Ý³Ýù
21 31 12 22 32
Ùdzï»ë³Ï ëÛáõÝ»ñáí ¹»ï»ñÙÇݳÝï, áñÁ ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ:
²ÛëåÇëáíª a A +a A +a A =0:
12 11 22 21 32 31

3. n−ñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇݳÝïÇ ·³Õ³÷³ñÁ

¸Çï³ñÏ»Ýù n2 Ãí»ñÇó ϳ½Ùí³Í Ñ»ï¨Û³É ³ÕÛáõë³ÏÁ, áñÁ ϳÝ-
í³Ý»Ýù n−ñ¹ ϳñ·Ç ù³é³ÏáõëÇ Ù³ïñÇóª
⎛a a ... a ⎞
⎜ 11 12 1n ⎟
⎜a a ... a ⎟
21 22 2n :
⎜ ⎟
... ... ... ...
⎜ ⎟
⎜ ⎟
a a ... a
⎝ ⎠
n1 n2 nn
(1)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: (1) Ù³ïñÇóÇ a ï³ññÇ ÙÇÝáñ ÏáãíáõÙ ¿ Ýñ³ i−ñ¹
ij
ïáÕÇ ¨ j−ñ¹ ëÛ³Ý çÝçáõÙÇó Ñ»ïá Ùݳó³Í ï³ññ»ñÇó ϳ½Ùí³Í
n−1−ñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇݳÝïÁ: ²ÛÝ ÏÝ߳ݳϻÝù M −áí:
ij
7
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: (1) Ù³ïñÇóÇ a ï³ññÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Éñ³óáõÙ
ij
ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ï³ññÇ ÙÇÝáñÁ í»ñóñ³Í (−1)i+j Ýß³Ýáí: ²ÛÝ ÏÝ߳ݳ-
Ï»Ýù A −áí:
ij
²ÛëåÇëáíª
A =(−1)i+jM :
ij ij
ÜϳïÇ áõݻݳÉáí Ï»ï 2 – Ç Ã»áñ»Ù 1 – Á, n−ñ¹ ϳñ·Ç
ù³é³Ïáõ-ëÇ Ù³ïñÇóÇ ¹»ï»ñÙÇݳÝïÁ ë³ÑٳݻÝù Ñ»ï¨Û³É Ó¨áíª
ê³ÑÙ³ÝáõÙ: (1) Ù³ïñÇóÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ n−ñ¹ ϳñ·Ç
¹»ï»ñÙÇݳÝï ÏáãíáõÙ ¿ a A +a A +...+a A ÃÇíÁ: ÆÝãÁ
11 11 12 12 1n 1n
ÏÝß³-ݳϻÝù Ñ»ï¨Û³É Ó¨áíª
a a ... a
11 12 1n
a a ... a
21 22 2n :
... ... ... ...
a a ... a
n1 n2 nn
²ÛëåÇëáí, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý
a a ... a
11 12 1n
a a ... a
21 22 2n = a A +a A +...+a A :
... ... ... ... 11 11 12 12 1n 1n
a a ... a
n1 n2 nn
n−ñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇݳÝïÝ ûÅïí³Í ¿ µáÉáñ ³ÛÝ Ñ³ïÏáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñáí, áñáÝù ï»ÕÇ áõÝ»Ý »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ ϳñ·Ç ¹»ï»ñÙÇ-
ݳÝïÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ²Û¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ù»Ýù ã»Ýù ³å³óáõóÇ:

8
¶ÈàôÊ 2. ìºÎîàðܺð

1. ì»ÏïáñÇ ·³Õ³÷³ñÁ

üǽÇϳÛÇ, ٻ˳ÝÇϳÛÇ ¨ ï»ËÝÇÏ³Ï³Ý ·ÇïáõÃáõÝÝ»ñÇ ï³ñµ»ñ
µ³ÅÇÝÝ»ñ áõëáõÙݳëÇñ»ÉÇë ѳݹÇåáõÙ »Ýù ³ÛÝåÇëÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ,
áñáÝù µ³óÇ Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇó, µÝáõó·ñíáõÙ »Ý ݳ¨
ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç áõÝ»ó³Í áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: ²Û¹åÇëÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
ÏáãíáõÙ »Ý í»Ïïá-ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ: úñÇݳÏ, Ù³ñÙÝÇ íñ³ ³½¹áÕ
áõÅÁ, Ù³ñÙÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ¨ ³ñ³·³óáõÙÁ, »ñµ ³ÛÝ ß³ñÅíáõÙ ¿
ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç, ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ïñí³Í Ï»ïáõÙ Ù³·ÝÇë³Ï³Ý
¹³ßïÇ É³ñí³ÍáõÃÛáõÝÁ í»Ïïáñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý:
ê³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñ: î³ñ³ÍáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í A ¨ B Ï»ï»ñÇ Ï³ñ-
·³íáñí³Í ½áõÛ·Á áñáßáõÙ ¿ áõÕÕáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ Ñ³ïí³Í, áñÁ Ù»Ýù
ϳÝí³Ý»Ýù í»Ïïáñ ¨ ÏÝ߳ݳϻÝù AB−áí: A−Ý ÏáãíáõÙ ¿
í»ÏïáñÇ ëÏǽµ, ÇëÏ B−ݪ í»ñç: ì»ÏïáñÁ ÏÝ߳ݳϻÝù ݳ¨ Ù»Ï
r
ï³éáíª a (ÝÏ. 1):

ºÃ» í»ÏïáñÇ ëÏǽµÁ ¨ í»ñçÁ ѳÙÁÝÏ-ÝáõÙ B

»Ý, ³å³ ³ÛÝ Ïr³Ýí³Ý»Ýù ½ñáÛ³Ï³Ý í»Ï-ïáñ ¨ ar
ÏÝ߳ݳϻÝù 0−áí:

A
AB áã ½ñáÛ³Ï³Ý í»ÏïáñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝ
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