Algèbre de Grassmann-Cayley

14 Pages·2016·1.1 MB·French

by  Vincent Nozick

Wedgeproduct k-blades Basesduales P2 P3 Applications Wedgeproduct k-blades Basesduales P2 P3 Applications
Introduction
Alg`ebre de Grassmann-Cayley
math´ematiques appliqu´ees
Alg`ebre de Grassmann-Cayley :
• cas particulier des alg`ebres g´eom´etriques (geometric algebra)
Vincent Nozick
• englobe les outils de g´eom´etrie classique (de Rn)
• de nouveaux op´erateurs
• application dans le jeu vid´eo et la vision par ordinateur
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Introduction Introduction
alg`ebre = espace vectoriel et multiplication
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
Espace vectoriel de Rn :
addition
Ensemble de vecteurs muni d’op´erations sur les vecteurs.
multiplication scalaire
Propri´et´es :
Propri´et´es : (a,b,c ∈Rn, α ∈R)
• le produit doit ˆetre associatif (a×b)×c =a×(b×c)
• addition de vecteurs : a= b+c
?
• pas d’obligation concernant la commutativit´e a×b =b×a
• multiplication par un scalaire : a =αb
• distributivit´e : α et β scalaires :
• distributive sur l’addition : α(a+b) =αa+αb
α(a+b) =αa+αb
(α+β)a=αa+βa
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Introduction Alg`ebre de Grassmann-Cayley
Hermann Grassmann
Exemples : progressive et regressive product (1844).
• les nombres r´eels R.
• les nombres complexes C.
• les polynˆomes. Arthur Cayley (1821-1895)
• les matrices. apllications des coordonn´ees homog`enes.
• les quaternions.
• ...
David Hestenes (1933 ∼)
remet l’alg`ebre g´eom´etrique au gouˆt du jour.
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Wedge Product Scalaires
Introduction :
• outer / wedge product (en) ↔ produit ext´erieur (fr)
Multiplication scalaire :
• not´e a∧b (lire a “wedge” b, ou bien a “ext´erieur” b)
soient α,β ∈R (scalaires) et a∈Rn (un vecteur)
Propri´et´e principale :
• a∧b exprime la surface (orient´ee) du parall´elogramme form´e α∧β =β∧α =βα
par a et b.
α∧a =a∧α = αa
→ multiplication standard
• caract`ere orient´e : a∧b =−b∧a
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Anticommutativit´e Mise `a l’´echelle
Antisym´etrie : a∧b =−b∧a (propri´et´e la plus importante)
Propri´et´e :
Propri´et´e : a∧a =−a∧a ⇒ a∧a = 0
(αa)∧b =a∧(αb) =α(a∧b)
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Distributivit´e
soient α,β ∈R et a,b,c ∈Rn
Propri´et´e :
Multiplication scalaire : α∧β =β∧α =βα
β∧a =a∧β =βa
Antisym´etrie : a∧b =−b∧a (anticommutativit´e)
⇒a∧a= 0
Mise `a l’´echelle : a∧(βb) =β(a∧b)
Distributivit´e : a∧(b+c) = (a∧b)+(a∧c)
a∧(b+c) = (a∧b)+(a∧c) (a+b)∧c = (a∧c)+(b∧c)
Associativit´e : (a∧b)∧c =a∧(b∧c) (alg`ebre)
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Bivecteur Bivecteur en 2D
D´efinition :
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
Le wedge de deux vecteurs a et b de Rn donne un bivecteur a∧b, a = ax =a e +a e b = bx =b e +b e
a x 1 y 2 b x 1 y 2
que l’on peut repr´esenter par une surface orient´ee : y y
a∧b = (a e +a e ) ∧ (b e +b e )
x 1 y 2 x 1 y 2
= (a b )(e ∧e ) + (a b )(e ∧e )
x x 1 1 x y 1 2
+ (a b )(e ∧e )+ (a b )(e ∧e )
y x 2 1 y y 2 2
= (a b −a b )(e ∧e )
x y y x 1 2
= (a b −a b )e
x y y x 12
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Bivecteur Trivecteur
Bivecteur en 3D:
   
a b
x x D´efinition :
a = ay  et b = by  Le wedge de trois vecteurs a, b et c de Rn donne un trivecteur
a b
z z a∧b∧c, que l’on peut repr´esenter par un volume orient´e :
a∧b = (a b −a b ) e +(a b −a b ) e +(a b −a b ) e
x y y x 12 x z z x 13 y z z y 23
Remarques :
• le bivecteur de R3 a∧b poss`ede 3 composantes.
• dans R3, le wedge product correspond au produit vectoriel.
(cid:44)→ bivecteur souvent confondu avec le vecteur.
(cid:44)→ le produit vectoriel n’est pas associatif (a×b)×c(cid:54)=a×(b×c)
(cid:44)→ le wedge est associatif et d´efini dans toutes les dimensions.
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Trivecteur Trivecteur
Trivecteur en 2D :
soient trois vecteurs a, b et c de R2, d´ecompos´es selon les vecteurs Trivecteur en 3D:
de bases (e1,e2) :  a   b   c 
x x x
(cid:18) a (cid:19) (cid:18) b (cid:19) (cid:18) c (cid:19) a= ay  b = by  et c = cy 
a = x b = x et c = x a b c
a b c z z z
y y y
on a :
(cid:16) (cid:17)
a∧b∧c = c (a b −a b )+c (a b −a b )+c (a b −a b ) e
z x y y x y x z z x x y z z y 123
a∧b∧c = (a e +a e ) ∧ (b e +b e ) ∧ (c e +c e )
x 1 y 2 x 1 y 2 x 1 y 2
a∧b ∧ c = (a b −a b )(e ∧e ) ∧ (c e +c e )
x y y x 1 2 x 1 y 2
= c (a b −a b )(e ∧e ∧e )
x x y y x 1 2 1
+cy(axby −aybx)(e1∧e2∧e2) Remarque :
= 0 le trivecteur de R3 a∧b∧c n’a qu’une composante.
⇒ pas de trivecteurs dans R2.
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Trivecteur k-blade
k-blade: g´en´eralisation des scalaires, vecteurs,
bivecteurs, trivecteurs, ...
Produit mixte : (en 3D seulement)
Grade d’une blade: nombre de vecteurs qu’il faut wedger pour
obtenir l’entit´e voulue.
a∧b∧c ⇔ (a×b)·c
scalar → 0-blade
ou` × est le produit vectoriel (de R3) et · est le produit scalaire. a → 1-blade
a∧b → 2-blade
a∧b∧c → 3-blade
. .
. .
. .
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Bases Propri´et´es des bases
EnnD,lenombredebasesd’unk-vecteurestlecoefficientbinomial:
En 4D (utilis´e dans P3) :
(cid:18) (cid:19)
n n!
=
k k!(n−k)!
1 scalaire (1) (grade 0)
On a donc au total 2n bases.
4 vecteurs (e1,e2,e3,e4) (grade 1)
6 bivecteurs (e12,e13,e14,e23,e24,e34) (grade 2) dimension nombre de vecteurs ind´ependants de la base du k-blade
4 trivecteurs (e123,e124,e134,e234) (grade 3) 2 1 2 1
3 1 3 3 1
1 quadvecteur (e1234) (grade 4) 4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
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Les bases duales Bases et bases duales de P3 (4D)
1 scalar 1 anti-quadvector (grade 0)
Propri´et´e : e{i}∧e{i} =e1···n (1) (e1234)
4 vectors 4 anti-trivectors (grade 1)
En 4D : (e1,e2,e3,e4) (e123,e124,e134,e234)
e12= e34 6 bivectors 6 anti-bivectors (grade 2)
e =−e e =−e e =−e
1 234 13 24 123 4 (e12,e13,e14,e23,e24,e34) (e12,e13,e14,e23,e24,e34)
e = e e = e e = e
2 134 14 23 124 3
e3=−e124 e23= e14 e134=−e2 4 trivectors 4 anti-vectors (grade 3)
e = e e =−e e = e
4 123 24 13 234 1 (e123,e124,e134,e234) (e1,e2,e3,e4)
e = e
34 12
1 quadvector 1 anti-scalar (grade 4)
(e1234) (1)
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Wedge Product sur les bases duales Anti-wedge Product
Introduction :
• regressive / anti-wedge product (en)
• not´e u∨v (lire u “anti-wedge” v)
• propri´et´e : u∨v =u∧v
Vecteurs et anti-vecteurs :
Anti-wedge Product :
(a e +a e +a e )∧(b e +b e +b e ) = (a b +a b +a b )e
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 123 Poss`ede les mˆemes propri´et´es que le wedge product mais sur les
bases duales.
(cid:44)→ ´evoque clairement le produit scalaire.
Notations des bases :
e ∨e ∨e → e
1 2 3 123
e ∨e ∨e → e
1 2 4 124
e ∨e ∨e → e
1 3 4 134
e ∨e ∨e → e
2 3 4 234
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Grade Grade
wedge product : k-blade∧j-blade= (k+j)-blade
anti-wedge product : k-blade∨j-blade= (k+j −n)-blade
Wedge product : k-blade∧j-blade = (k+j)-blade
Exemples dans P3 (4D) :
Anti-wedge product : k-blade∨j-blade = (k+j −n)-blade 1-blade ∧ 2-blade = 3-blade
vecteur bivecteur trivecteur
1-blade ∨ 3-blade = 0-blade
anti-trivecteur anti-vecteur anti-quadvecteur
vecteur trivecteur scalaire
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Anti-wedge Mod`ele Homog`ene en 2D
Repr´esentation homog`ene:
coordonn´ees coordonn´ees
Exemples 4D : cart´esiennes homog`enes
• e ∨e =e ∧e =e =e (cid:44)→R2 (cid:44)→P2
1 2 1 2 12 34
• e ∨e = e ∧e = e =e
23 1 23 1 123 4  
(cid:18) (cid:19) x
• e ∨e =e ∧e = 0 x
23 13 23 13 x = x = y 
y
• e1∨e234 =e1∧e234 =e1234 =1 w
avec :
• w (cid:54)= 0 pour un point fini.
• w = 0 pour un point `a l’infini.
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Droites Droites
Droite dans P2 :
l =a∧b
l =a∧b =l e +l e +l e
1 12 2 13 3 23 V´erifications :
• l∧a=a∧b∧a = 0 ⇒ a∈l
x =xe +ye +we
1 2 3
• l∧b =a∧b∧b = 0 ⇒b ∈l
• soit x ∈l → x = a+α(b−a)(∗) :
Le produit l =a∧b repr´esente la droite passant par a et b :
en effet, pour un point x ∈l, on a l∧x = 0, soit : (cid:0) (cid:1)
l∧x = l∧ a+α(b−a)
= l∧a+αl∧b−αl∧a
(wl −yl +xl )e = 0
1 2 3 123
= 0
qui est bien l’´equation d’une droite en 2D (forme Hessienne).
(*)pouraetbayantlamˆemecoord.homog`ene.
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Droites Intersections
x =l ∨l =x e +x e +x e =x(cid:48)e +x(cid:48)e +x(cid:48)e
a b 1 12 2 13 3 23 1 1 2 2 3 3
D´eg´en´erescences :
l =a∧b Intersection dans P2 :
Le produit x =l ∨l repr´esente l’intersection des droites l et l :
a b a b
• en effet, pour une droite l passant par x, on a l∨x = 0, soit
• si les points a et/ou b sont `a l’infini : ¸ca fonctionne encore.
• si les points a et b sont confondus : l =a∧a = (0,0,0)(cid:62) (u l −u l +u l )e = 0
x 1 y 2 w 3 123
(cid:44)→droite d´eg´en´er´e de P2
qui est bien l’´equation d’une droite en 2D(forme Hessienne).
• Par ailleurs, on a bien :
• x∨l =l ∨l ∨l =0 ⇒ x∈l
a a b a a
• x∨l =l ∨l ∨l =0 ⇒ x∈l
b a b b b
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Intersections Bilan P2
Objets :
point ∧ point = droite
D´eg´en´erescences :
droite ∨ droite = point intersection
x =l ∨l
a b
Propri´et´es :
point ∧ droite = 0 → point ∈ droite
• si les droites la et lb sont parall`eles : x est un point `a l’infini droite ∧ point = 0 → point ∈ droite
(cid:44)→ x = (x,y,0)(cid:62)
point ∨ droite = 0 → point ∈ droite
• si les droites l et l sont confondus : x =l ∨l = (0,0,0)(cid:62) droite ∨ point = 0 → point ∈ droite
a b a a
(cid:44)→point d´eg´en´er´e de P2
Remarque :
x ∈l peut s’´ecrire des 2 fac¸ons : x∧l = 0 e et x∨l = 0 e
123 123
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Distance point/droite Mod`ele Homog`ene en 2D
l = l e +l e +l e x =xe +ye +we Formules explicites :
1 12 2 13 3 23 1 2 3
Points : x = xe + ye + we
1 2 3
l∧x =wl −yl +xl = 0
1 2 3 x(cid:48) = x(cid:48)e + y(cid:48)e + w(cid:48)e
1 2 3
Line : l = l e + l e + l e
1 12 2 13 3 23
Distance point / droite : d =l∧x
⊥
x∧x(cid:48) = (xy(cid:48)−x(cid:48)y)e +(xz(cid:48)−x(cid:48)z)e +(yw(cid:48)−w(cid:48)y)e
Sous 2 conditions : 12 13 23
• forme Hessienne normalis´ee : (cid:107)(l2,l3)(cid:62)(cid:107)2 = 1 l∧x = (wl1−yl2+xl3)e123
• coordonn´ee homog`ene `a 1 : w = 1
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Mod`ele Homog`ene en 3D Droites
Repr´esentation homog`ene :
coordonn´ees coordonn´ees Droites de P3 :
cart´esiennes homog`enes
(cid:44)→ R3 (cid:44)→ P3 l =a∧b =l e +l e +l e +l e +l e +l e
1 12 2 13 3 14 4 23 5 24 6 34
 
  x
x
 y 
x = y  x =  Droites de Plu¨cker :
 z 
z
w
L={u :v} =(cid:8)(l ,l ,l )(cid:62) : (−l ,l ,−l )(cid:62)(cid:9)
3 5 6 4 2 1
avec :
• w (cid:54)= 0 pour un point fini.
• w = 0 pour un point `a l’infini.
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